Teorema de incremento

En el análisis no estándar , un campo de las matemáticas, el teorema del incremento establece lo siguiente: Supongamos que una función y = f ( x ) es diferenciable en x y que Δ x es infinitesimal . Entonces, para algún ε infinitesimal , donde $${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon \,\Delta x}$$ $${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).}$$

Si entonces podemos escribir lo que implica que , o en otras palabras, que está infinitamente cerca de , o es la parte estándar de . ${\textstyle \Delta x\neq 0}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)+\varepsilon ,}$$ ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}\approx f'(x)}$ ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ ${\textstyle f'(x)}$ ${\textstyle f'(x)}$ ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Existe un teorema similar en el cálculo estándar. Supongamos nuevamente que y = f ( x ) es diferenciable, pero ahora sea Δ x un número real estándar distinto de cero. Entonces, la misma ecuación se cumple con la misma definición de Δ y , pero en lugar de que ε sea infinitesimal, tenemos (tratando x y f como dados de modo que ε es una función de Δ x únicamente). $${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon \,\Delta x}$$ $${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\varepsilon =0}$$

Véase también

• Cálculo no estándar
• Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal
• Abraham Robinson
• Teorema de Taylor

Referencias

• Howard Jerome Keisler : Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal . Primera edición, 1976; segunda edición, 1986. Este libro ya no se imprime. El editor ha devuelto los derechos de autor al autor, que ha puesto a disposición la segunda edición en formato .pdf, disponible para su descarga en http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
• Robinson, Abraham (1996). Análisis no estándar (edición revisada). Princeton University Press. ISBN 0-691-04490-2.