Representación de Husimi Q

Herramienta de simulación de física computacional

La representación Q de Husimi , introducida por Kôdi Husimi en 1940, ^[1] es una distribución de cuasiprobabilidad comúnmente utilizada en mecánica cuántica ^[2] para representar la distribución del espacio de fases de un estado cuántico como la luz en la formulación del espacio de fases . ^[3] Se utiliza en el campo de la óptica cuántica ^[4] y particularmente para fines tomográficos . También se aplica en el estudio de los efectos cuánticos en superconductores . ^[5]

Distribución de Husimi del estado coherente comprimido

Función de distribución de Husimi de tres estados coherentes fusionados

Definición y propiedades

La distribución Q de Husimi (denominada función Q en el contexto de la óptica cuántica ) es una de las distribuciones más simples de cuasiprobabilidad en el espacio de fases . Está construida de tal manera que los observables escritos en orden antinormal siguen el teorema de equivalencia óptica . Esto significa que es esencialmente la matriz de densidad puesta en orden normal . Esto hace que sea relativamente fácil de calcular en comparación con otras distribuciones de cuasiprobabilidad a través de la fórmula

${\displaystyle Q(\alpha )={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle ,}$

que es proporcional a una traza del operador que involucra la proyección al estado coherente . Produce una representación gráfica del estado ρ para ilustrar varias de sus propiedades matemáticas. ^[6] Su relativa facilidad de cálculo está relacionada con su suavidad en comparación con otras distribuciones de cuasiprobabilidad. De hecho, puede entenderse como la transformada de Weierstrass de la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner , es decir, un suavizado por un filtro gaussiano , ${\displaystyle {\hat {\rho }}|\alpha \rangle \langle \alpha |}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle Q(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta )e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta .}$

Como estas transformadas de Gauss son esencialmente invertibles en el dominio de Fourier a través del teorema de convolución , Q proporciona una descripción equivalente de la mecánica cuántica en el espacio de fases a la proporcionada por la distribución de Wigner.

Alternativamente, se puede calcular la distribución Q de Husimi tomando la transformada de Segal-Bargmann de la función de onda y luego calculando la densidad de probabilidad asociada.

Q se normaliza a la unidad,

${\displaystyle \int Q(\alpha )\,d^{2}\alpha =1}$

y es definida no negativa ^[7] y acotada :

${\displaystyle 0\leq Q(\alpha )\leq {\frac {1}{\pi }}.}$

A pesar de que Q es definida no negativa y acotada como una distribución de probabilidad conjunta estándar , esta similitud puede ser engañosa, porque los diferentes estados coherentes no son ortogonales. Dos puntos diferentes α no representan contingencias físicas disjuntas; por lo tanto, Q(α) no representa la probabilidad de estados mutuamente excluyentes , como se requiere en el tercer axioma de la teoría de la probabilidad .

Q también puede obtenerse mediante una transformada de Weierstrass diferente de la representación P de Glauber-Sudarshan ,

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ,}$

dado , y el producto interno estándar de estados coherentes. ${\displaystyle {\hat {\rho }}=\int P(\beta ,\beta ^{*})|{\beta }\rangle \langle {\beta }|\,d^{2}\beta }$

Véase también

• Distribución de cuasiprobabilidad § Funciones características
• Luz no clásica
• Representación P de Glauber-Sudarshan
• Entropía de Wehrl

Referencias

1. Kôdi Husimi (1940). "Algunas propiedades formales de la matriz de densidad", Proc. Phys. Math. Soc. Jpn. 22 : 264-314. J Harriman y M Casida (1993), Int Jou Quant Chem 45 : 263-294 doi :10.1002/qua.560450304.
2. Dirac, PAM (1982). Los principios de la mecánica cuántica (cuarta edición). Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. pág. 18 y siguientes. ISBN 0-19-852011-5.
3. Ulf Leonhardt (1997). Medición del estado cuántico de la luz , Cambridge Studies in Modern Optics. ISBN 0521497302 , ISBN 978-0521497305 .  
4. HJ Carmichael (2002). Métodos estadísticos en óptica cuántica I: ecuaciones maestras y ecuaciones de Fokker-Planck , Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54882-9 
5. Callaway, DJE (1990). "Sobre la notable estructura del estado intermedio superconductor". Física nuclear B . 344 (3): 627–645. Código Bibliográfico :1990NuPhB.344..627C. doi :10.1016/0550-3213(90)90672-Z.
6. Cosmas K. Zachos , David B. Fairlie y Thomas L. Curtright (2005). Mecánica cuántica en el espacio de fases , (World Scientific, Singapur) ISBN 978-981-238-384-6 [1] . 
7. Cartwright, ND (1975). "Una distribución de tipo Wigner no negativa". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 83 (1): 210–818. Bibcode :1976PhyA...83..210C. doi :10.1016/0378-4371(76)90145-X.