Modelo de Wilson-Cowan

Modelo matemático de las interacciones entre poblaciones neuronales

En neurociencia computacional , el modelo de Wilson-Cowan describe la dinámica de las interacciones entre poblaciones de neuronas modelo excitatorias e inhibitorias muy simples . Fue desarrollado por Hugh R. Wilson y Jack D. Cowan ^{[1] [2]} y las extensiones del modelo se han utilizado ampliamente en el modelado de poblaciones neuronales. ^{[3] [4] [5] [6]} El modelo es importante históricamente porque utiliza métodos de plano de fase y soluciones numéricas para describir las respuestas de las poblaciones neuronales a los estímulos. Debido a que las neuronas modelo son simples, solo se predicen el comportamiento del ciclo límite elemental, es decir, las oscilaciones neuronales y las respuestas evocadas dependientes del estímulo. Los hallazgos clave incluyen la existencia de múltiples estados estables e histéresis en la respuesta de la población.

Descripción matemática

El modelo de Wilson-Cowan considera una población homogénea de neuronas interconectadas de subtipos excitatorios e inhibidores. Todas las células reciben el mismo número de aferentes excitatorios e inhibidores, es decir, todas las células reciben la misma excitación media, x(t). El objetivo es analizar la evolución en el tiempo del número de células excitatorias e inhibidoras que se activan en el momento t y t, respectivamente. ${\displaystyle E(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$

Las ecuaciones que describen esta evolución son el modelo de Wilson-Cowan:

${\displaystyle E(t+\tau )=\left[1-\int _{t-r}^{t}E(t')dt'\right]\;S_{e}\left(\int _{-\infty }^{t}\alpha (t-t')[c_{1}E(t')-c_{2}I(t')+P(t')]dt'\right)}$

${\displaystyle I(t+\tau )=\left[1-\int _{t-r}^{t}I(t')dt'\right]\;S_{i}\left(\int _{-\infty }^{t}\alpha (t-t')[c_{3}E(t')-c_{4}I(t')+Q(t')]dt'\right)}$

dónde:

• ${\displaystyle S_{e}\{\}}$y son funciones de forma sigmoidea que dependen de la distribución de los umbrales de activación (ver más abajo) ${\displaystyle S_{i}\{\}}$
• ${\displaystyle \alpha (t)}$es la función de decaimiento del estímulo
• ${\displaystyle c_{1}}$y son respectivamente el coeficiente de conectividad que da el número promedio de sinapsis excitatorias e inhibidoras por célula excitadora; y sus contrapartes para las células inhibidoras ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{4}}$
• ${\displaystyle P(t)}$y son la entrada externa a las poblaciones excitatorias/inhibitorias. ${\displaystyle Q(t)}$

Si denota el potencial umbral de una célula y es la distribución de umbrales en todas las células, entonces la proporción esperada de neuronas que reciben una excitación en el nivel umbral o por encima de él por unidad de tiempo es: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle D(\theta )}$

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}D(\theta )d\theta }$,

que es una función de la forma sigmoidea si es unimodal. ${\displaystyle D()}$

Si en lugar de que todas las células reciban las mismas entradas excitatorias y diferente umbral, consideramos que todas las células tienen el mismo umbral pero diferente número de sinapsis aferentes por célula, siendo la distribución del número de sinapsis aferentes, se debe utilizar una variante de función: ${\displaystyle C(w)}$ ${\displaystyle S()}$

${\displaystyle S(x)=\int _{\frac {\theta }{x}}^{\infty }C(w)dw}$

Derivación del modelo

Si denotamos por el período refractario después de un desencadenante, la proporción de células en período refractario es y la proporción de células sensibles (capaces de desencadenar) es . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \int _{t-r}^{t}E(t')dt'}$ ${\displaystyle 1-\int _{t-r}^{t}E(t')dt'}$

El nivel de excitación promedio de una célula excitadora en el momento es: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}\alpha (t-t')[c_{1}E(t')-c_{2}I(t')+P(t')]dt'}$

Así, el número de células que se activan en un momento dado es el número de células que no están en intervalo refractario, Y que han alcanzado el nivel excitatorio, , obteniéndose de esta manera el producto del lado derecho de la primera ecuación del modelo (con el supuesto de términos no correlacionados). El mismo razonamiento se puede hacer para las células inhibidoras, obteniéndose la segunda ecuación. ${\displaystyle E(t+\tau )}$ ${\displaystyle 1-\int _{t-r}^{t}E(t')dt'}$ ${\displaystyle S_{e}(x(t))}$

Simplificación del modelo asumiendo granulado grueso en el tiempo

Cuando se asume un modelado de grano grueso en el tiempo , el modelo se simplifica, siendo las nuevas ecuaciones del modelo:

${\displaystyle \tau {\frac {d{\bar {E}}}{dt}}=-{\bar {E}}+(1-r{\bar {E}})S_{e}[kc_{1}{\bar {E}}(t)-kc_{2}{\bar {I}}(t)+kP(t)]}$

${\displaystyle \tau '{\frac {d{\bar {I}}}{dt}}=-{\bar {I}}+(1-r'{\bar {I}})S_{i}[k'c_{3}{\bar {E}}(t)-k'c_{4}{\bar {I}}(t)+k'Q(t)]}$

donde los términos de barra son las versiones de grano grueso en el tiempo de los términos originales.

Aplicación a la epilepsia

La determinación de tres conceptos es fundamental para comprender la hipersincronización de la actividad neurofisiológica a nivel global (sistema): ^[7]

1. El mecanismo por el cual la actividad neurofisiológica normal (basal) evoluciona hacia una hipersincronización de grandes regiones del cerebro durante las convulsiones epilépticas.
2. Los factores clave que rigen la tasa de expansión de las regiones hipersincronizadas
3. La dinámica del patrón de actividad electrofisiológica a gran escala

Un análisis canónico de estas cuestiones, desarrollado en 2008 por Shusterman y Troy utilizando el modelo Wilson-Cowan ^[7] , predice características cualitativas y cuantitativas de la actividad epileptiforme. En particular, predice con precisión la velocidad de propagación de las convulsiones epilépticas (que es aproximadamente de 4 a 7 veces más lenta que la actividad de las ondas cerebrales normales) en un sujeto humano con electrodos electroencefalográficos implantados crónicamente. ^{[8] [9]}

Transición a la hipersincronización

La transición desde un estado normal de actividad cerebral a ataques epilépticos no fue formulada teóricamente hasta 2008, cuando se trazó por primera vez un camino teórico desde un estado de referencia hasta oscilaciones autosostenidas a gran escala, que se propagan uniformemente desde el punto de estímulo. ^[7]

Se ha definido un estado realista de actividad fisiológica basal, utilizando la siguiente definición de dos componentes : ^[7]

(1) Un componente independiente del tiempo representado por la actividad excitatoria subumbral E y la actividad inhibitoria superumbral I.

(2) Un componente que varía con el tiempo y que puede incluir ondas de un solo pulso, ondas multipulso u ondas periódicas causadas por la actividad neuronal espontánea.

Este estado de referencia representa la actividad del cerebro en el estado de relajación, en el que las neuronas reciben cierto nivel de estimulación espontánea y débil por pequeñas concentraciones de sustancias neurohormonales presentes de forma natural. En los adultos despiertos, este estado se asocia comúnmente con el ritmo alfa , mientras que los ritmos más lentos ( theta y delta ) se observan habitualmente durante la relajación más profunda y el sueño. Para describir este entorno general, se puede utilizar una extensión espacialmente dependiente de 3 variables del modelo clásico de Wilson-Cowan. ^[10] En condiciones iniciales apropiadas, ^[7] el componente excitatorio, u, domina sobre el componente inhibidor, I, y el sistema de tres variables se reduce al modelo de tipo Pinto-Ermentrout de dos variables ^[11]. ${\displaystyle (u,I,v)}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=u-v+\int _{R^{2}}\omega (x-x',y-y')f(u-\theta )\,dxdy+\zeta (x,y,t),}$

${\displaystyle {\partial v \over \partial t}=\epsilon (\beta u-v).}$

La variable v gobierna la recuperación de la excitación u; y determina la tasa de cambio de la recuperación. La función de conexión es positiva, continua, simétrica y tiene la forma típica . ^[11] En la Ref. ^[7] La ​​función de tasa de disparo, que generalmente se acepta que tiene una forma sigmoidea que aumenta bruscamente, se aproxima mediante , donde H denota la función de Heaviside; es un estímulo de corta duración. Este sistema se ha utilizado con éxito en una amplia variedad de estudios de investigación en neurociencia. ^{[11] [12] [13] [14] [15]} En particular, predijo la existencia de ondas espirales, que pueden ocurrir durante las convulsiones; esta predicción teórica se confirmó posteriormente experimentalmente utilizando imágenes ópticas de cortes de la corteza de la rata. ^[16] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \omega (x,y)}$ ${\displaystyle \omega =Ae^{-\lambda {\sqrt {-(x^{2}+y^{2})}}}}$ ${\displaystyle (A,\lambda )=(2.1,1).}$ ${\displaystyle f(u-\theta )=H(u-\theta )}$ ${\displaystyle \zeta (x,y,t)}$ ${\displaystyle (u,v)}$

Tasa de expansión

La expansión de regiones hipersincronizadas que exhiben oscilaciones volumétricas estables de gran amplitud ocurre cuando las oscilaciones coexisten con el estado de reposo estable . Para entender el mecanismo responsable de la expansión, es necesario linealizar el sistema alrededor de cuando se mantiene fijo. El sistema linealizado exhibe oscilaciones de decaimiento subumbral cuya frecuencia aumenta a medida que aumenta. En un valor crítico donde la frecuencia de oscilación es lo suficientemente alta, ocurre biestabilidad en el sistema: una solución periódica estable, independiente del espacio (oscilación volumétrica) y un estado de reposo estable coexisten en un rango continuo de parámetros. Cuando se producen oscilaciones masivas, ^[7] "La tasa de expansión de la región de hipersincronización está determinada por una interacción entre dos características clave: (i) la velocidad c de las ondas que se forman y se propagan hacia afuera desde el borde de la región, y (ii) la forma cóncava del gráfico de la variable de activación u a medida que aumenta, durante cada ciclo de oscilación masiva, desde el estado de reposo u = 0 hasta el umbral de activación. Los experimentos numéricos muestran que durante el aumento de u hacia el umbral, a medida que la tasa de aumento vertical se ralentiza, a lo largo del intervalo de tiempo debido al componente cóncavo, la onda solitaria estable que emana de la región hace que la región se expanda espacialmente a una tasa proporcional a la velocidad de la onda. A partir de esta observación inicial, es natural esperar que la constante de proporcionalidad sea la fracción del tiempo que la solución es cóncava durante un ciclo". Por lo tanto, cuando , la tasa de expansión de la región se estima mediante ^[7] ${\displaystyle (u,v)=(0,0)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta ^{*}}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle \beta \geq \beta ^{*}}$ ${\displaystyle \Delta t,}$ ${\displaystyle \beta \geq \beta ^{*}}$

${\displaystyle Rate=(\Delta t/T)*c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)}$

donde es la longitud del intervalo de tiempo subumbral, T es el período de la solución periódica; c es la velocidad de las ondas que emanan de la región de hipersincronización. Un valor realista de c , derivado por Wilson et al., ^[17] es c = 22,4 mm/s. ${\displaystyle \Delta t}$

Cómo evaluar la relación ${\displaystyle \Delta t/T?}$ Para determinar los valores es necesario analizar la oscilación volumétrica subyacente que satisface el sistema espacialmente independiente ${\displaystyle \Delta t/T}$

${\displaystyle {{du} \over {dt}}=u-v+H(u-\theta ),}$

${\displaystyle {{dv} \over {dt}}=\epsilon (\beta u-v).}$

Este sistema se deriva utilizando funciones estándar y valores de parámetros , y ^{[7] [11] [12] [13]} Las oscilaciones en masa ocurren cuando . Cuando , Shusterman y Troy analizaron las oscilaciones en masa y encontraron . Esto da el rango ${\displaystyle \omega =2.1e^{-\lambda {\sqrt {-(x^{2}+y^{2})}}}}$ ${\displaystyle \epsilon =0.1}$ ${\displaystyle \theta =0.1}$ ${\displaystyle \beta \geq \beta ^{*}=12.61}$ ${\displaystyle 12.61\leq \beta \leq 17}$ ${\displaystyle 0.136\leq \Delta t/T\leq 0.238}$

${\displaystyle 3.046mm/s\leq Rate\leq 5.331mm/s~~~~~~~~~~~~(2)}$

Dado que la ecuación (1) muestra que la tasa de migración es una fracción de la velocidad de la onda viajera, lo que es consistente con las observaciones experimentales y clínicas con respecto a la propagación lenta de la actividad epiléptica. ^[18] Este mecanismo de migración también proporciona una explicación plausible para la propagación y el mantenimiento de la actividad epileptiforme sin una fuente impulsora que, a pesar de una serie de estudios experimentales, nunca se ha observado. ^[18] ${\displaystyle 0.136\leq \Delta t/T\leq 0.238}$

Comparación de tasas de migración teóricas y experimentales

La tasa de migración de la actividad hipersincrónica que se registró experimentalmente durante las convulsiones en un sujeto humano, utilizando electrodos subdurales implantados crónicamente en la superficie del lóbulo temporal izquierdo, ^[8] se ha estimado como ^[7]

${\displaystyle Rate\approx 4mm/s}$,

lo cual es consistente con el rango predicho teóricamente dado anteriormente en (2). La relación en la fórmula (1) muestra que el borde delantero de la región de actividad convulsiva sincrónica migra aproximadamente 4 a 7 veces más lentamente que la actividad de ondas cerebrales normales, lo cual concuerda con los datos experimentales descritos anteriormente. ^[8] ${\displaystyle Rate/c}$

En resumen, el modelado matemático y el análisis teórico de la actividad electrofisiológica a gran escala proporcionan herramientas para predecir la propagación y la migración de la actividad cerebral hipersincrónica, lo que puede ser útil para la evaluación diagnóstica y el tratamiento de pacientes con epilepsia. También podría ser útil para predecir la migración y propagación de la actividad eléctrica en grandes regiones del cerebro que se produce durante el sueño profundo ( onda delta ), la actividad cognitiva y en otros entornos funcionales.

Referencias

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