Categoría de mayor peso

Teoría de categorías

En el campo matemático de la teoría de la representación , una categoría de mayor peso es una categoría k -lineal C (aquí k es un campo ) que

• es localmente artiniano ^[1]
• tiene suficientes inyectables
• satisface

${\displaystyle B\cap \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)=\bigcup _{\alpha }\left(B\cap A_{\alpha }\right)}$

para todos los subobjetos B y cada familia de subobjetos { A _α } de cada objeto X

y tal que existe un conjunto parcial localmente finito Λ (cuyos elementos se denominan pesos de C ) que satisface las siguientes condiciones: ^[2]

• El poset Λ indexa un conjunto exhaustivo de objetos simples no isomorfos { S ( λ )} en C .
• Λ también indexa una colección de objetos { A ( λ )} de objetos de C tales que existen incrustaciones S ( λ ) →  A ( λ ) tales que todos los factores de composición S ( μ ) de A ( λ )/ S ( λ ) satisfacen μ  <  λ . ^[3]
• Para todo μ , λ en Λ,

${\displaystyle \dim _{k}\operatorname {Hom} _{k}(A(\lambda ),A(\mu ))}$

es finito, y la multiplicidad ^[4]

${\displaystyle [A(\lambda ):S(\mu )]}$

También es finito.

• Cada S ( λ ) tiene una envolvente inyectiva I ( λ ) en C dotada de una filtración creciente

${\displaystyle 0=F_{0}(\lambda )\subseteq F_{1}(\lambda )\subseteq \dots \subseteq I(\lambda )}$

de tal manera que

1. ${\displaystyle F_{1}(\lambda )=A(\lambda )}$
2. para n > 1, para algunos μ = λ ( n ) > λ ${\displaystyle F_{n}(\lambda )/F_{n-1}(\lambda )\cong A(\mu )}$
3. para cada μ en Λ, λ ( n ) = μ solo para un número finito de n
4. ${\displaystyle \bigcup _{i}F_{i}(\lambda )=I(\lambda ).}$

Ejemplos

• La categoría del módulo del -álgebra de matrices triangulares superiores sobre . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle k}$
• Este concepto recibe su nombre de la categoría de módulos de mayor peso de las álgebras de Lie.
• Un álgebra de dimensión finita es cuasihereditaria si y solo si su categoría de módulo es una categoría de mayor peso. En particular, todas las categorías de módulo sobre álgebras semisimples y hereditarias son categorías de mayor peso. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$
• Un álgebra celular sobre un campo es cuasihereditaria (y, por lo tanto, su categoría de módulo es una categoría de mayor peso) si y solo si su determinante de Cartan es 1.

Notas

1. En el sentido de que admite límites directos arbitrarios de subobjetos y cada objeto es una unión de sus subobjetos de longitud finita .
2. Cline, Parshall y Scott 1988, §3
3. Aquí, un factor de composición de un objeto A en C es, por definición, un factor de composición de uno de sus subobjetos de longitud finita.
4. Aquí, si A es un objeto en C y S es un objeto simple en C , la multiplicidad [A:S] es, por definición, el supremo de la multiplicidad de S en todos los subobjetos de longitud finita de A.

Referencias

• Cline, E.; Parshall, B.; Scott, L. (enero de 1988). "Álgebras de dimensión finita y categorías de mayor peso" (PDF) . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1988 (391). Berlín, Alemania : Walter de Gruyter : 85–99. CiteSeerX  10.1.1.112.6181 . doi :10.1515/crll.1988.391.85. ISSN  0075-4102. OCLC  1782270. S2CID  118202731 . Consultado el 17 de julio de 2012 .

Véase también

• Categoría O