Fluido Herschel-Bulkley

El fluido de Herschel-Bulkley es un modelo generalizado de un fluido no newtoniano , en el que la deformación que experimenta el fluido está relacionada con la tensión de una manera complicada y no lineal. Tres parámetros caracterizan esta relación: la consistencia k , el índice de fluidez n y la tensión de corte de fluencia . La consistencia es una simple constante de proporcionalidad, mientras que el índice de fluidez mide el grado en el que el fluido se vuelve pseudoplástico o se vuelve más espeso. La pintura común es un ejemplo de un fluido pseudoplástico, mientras que el oobleck proporciona una realización de un fluido espesante. Finalmente, la tensión de fluencia cuantifica la cantidad de tensión que el fluido puede experimentar antes de ceder y comenzar a fluir. ${\displaystyle \tau _{0}}$

Este modelo de fluido no newtoniano fue introducido por Winslow Herschel y Ronald Bulkley en 1926. ^{[1] [2]}

Definición

En una dimensión, la ecuación constitutiva del modelo de Herschel-Bulkley después de que se haya alcanzado el límite elástico se puede escribir en la forma: ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\dot {\gamma }}=0,\qquad \qquad \mathrm {if} \ \tau <\tau _{0}}$

${\displaystyle \tau =\tau _{0}+k{\dot {\gamma }}^{n},\qquad \mathrm {if} \ \tau \geq \tau _{0}}$

donde es la tensión de corte [Pa], la tensión de fluencia [Pa], el índice de consistencia [Pa s ], la velocidad de corte [s ] y el índice de flujo [adimensional]. Si el fluido Herschel-Bulkley se comporta como un sólido rígido (no deformable), de lo contrario se comporta como un fluido. Para el fluido es pseudoplástico, mientras que para el fluido es espesante. Si y , este modelo se reduce al de un fluido newtoniano . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ^{n}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle ^{-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau <\tau _{0}}$ ${\displaystyle n<1}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \tau _{0}=0}$

Reformulado como tensor, podemos escribir en cambio:

${\displaystyle {\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}=0,\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {if} \ |{\underline {\underline {\tau }}}|<\tau _{0}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\tau }}}=\left({\frac {\tau _{0}}{|{\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}|}}+k|{\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}|^{n-1}\right){\underline {\underline {\dot {\gamma }}}},\qquad \qquad \mathrm {if} \ |{\underline {\underline {\tau }}}|\geq \tau _{0}}$

donde denota el segundo invariante del tensor de velocidad de deformación . Nótese que los subrayados dobles indican una cantidad de tensor. ${\displaystyle |{\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}|={\sqrt {{\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}{\dot {\gamma }}_{ij}{\dot {\gamma }}_{ij}}}}$ ${\displaystyle {\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}}$

Modelado de fluidos Herschel-Bulkley mediante regularización

La viscosidad asociada con la tensión de Herschel-Bulkley diverge hasta el infinito a medida que la tasa de deformación se acerca a cero. Esta divergencia hace que el modelo sea difícil de implementar en simulaciones numéricas, por lo que es común implementar modelos regularizados con una viscosidad límite superior. Por ejemplo, el fluido de Herschel-Bulkley se puede aproximar como un modelo de fluido newtoniano generalizado con una viscosidad efectiva (o aparente) dada como ^[5]

${\displaystyle \mu _{\operatorname {eff} }={\begin{cases}\mu _{0},&|{\dot {\gamma }}|\leq {\dot {\gamma }}_{0}\\\tau _{0}|{\dot {\gamma }}|^{-1}+k|{\dot {\gamma }}|^{n-1},&|{\dot {\gamma }}|\geq {\dot {\gamma }}_{0}\end{cases}}}$

En este caso, la viscosidad límite sustituye a la divergencia a bajas tasas de deformación. Su valor se elige de forma que se garantice que la viscosidad sea una función continua de la tasa de deformación. Una viscosidad límite elevada significa que el fluido solo fluirá en respuesta a una gran fuerza aplicada. Esta característica captura el comportamiento de tipo Bingham del fluido. No es totalmente posible capturar el comportamiento rígido descrito por la ecuación constitutiva del modelo de Herschel-Bulkley utilizando un modelo regularizado. Esto se debe a que una viscosidad efectiva finita siempre conducirá a un pequeño grado de fluencia bajo la influencia de fuerzas externas (por ejemplo, la gravedad). La escala de tiempo característica del fenómeno que se está estudiando es, por tanto, una consideración importante a la hora de elegir un umbral de regularización. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}=k{\dot {\gamma }}_{0}^{n-1}+\tau _{0}{\dot {\gamma }}_{0}^{-1}}$

En un flujo incompresible, el tensor de tensión viscosa se da como una viscosidad, multiplicada por el tensor de tasa de deformación.

${\displaystyle \tau _{ij}=2\mu _{\operatorname {eff} }(|{\dot {\gamma }}|)E_{ij}=\mu _{\operatorname {eff} }(|{\dot {\gamma }}|)\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right),}$

(Tenga en cuenta que indica que la viscosidad efectiva es una función de la velocidad de corte). Además, la magnitud de la velocidad de corte está dada por ${\displaystyle \mu _{\operatorname {eff} }(|{\dot {\gamma }}|)}$

${\displaystyle |{\dot {\gamma }}|={\sqrt {2E_{ij}E^{ij}}}}$.

La magnitud de la velocidad de corte es una aproximación isótropa y está acoplada con el segundo invariante del tensor de velocidad de deformación.

${\displaystyle II_{E}=tr(E_{ij}E^{jk})=E_{ij}E^{ij}}$.

Flujo de canal

Diagrama esquemático de un flujo horizontal impulsado por presión. El flujo es unidireccional en la dirección del gradiente de presión.

Una situación que se encuentra frecuentemente en los experimentos es el flujo en canal impulsado por presión ^[6] (ver diagrama). Esta situación exhibe un equilibrio en el que hay flujo solo en la dirección horizontal (a lo largo de la dirección del gradiente de presión), y el gradiente de presión y los efectos viscosos están en equilibrio. Entonces, las ecuaciones de Navier-Stokes , junto con el modelo reológico , se reducen a una sola ecuación:

Perfil de velocidad del fluido Herschel-Bulkley para varios índices de flujo n . En cada caso, la presión adimensional es . La curva continua corresponde a un fluido newtoniano ordinario ( flujo de Poiseuille ), la curva de línea discontinua corresponde a un fluido espesante por cizallamiento, mientras que la curva de línea punteada corresponde a un fluido pseudoplástico. ${\displaystyle \pi _{0}=-10}$

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial z}}\right)\,\,\,={\begin{cases}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial {z}^{2}}},&\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|<\gamma _{0}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\left(k\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|^{n-1}+\tau _{0}\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|^{-1}\right){\frac {\partial u}{\partial z}}\right],&\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|\geq \gamma _{0}\end{cases}}}$

Para resolver esta ecuación es necesario adimensionalizar las magnitudes involucradas. Se elige la profundidad del canal H como escala de longitud, la velocidad media V como escala de velocidad y la escala de presión como . Este análisis introduce el gradiente de presión adimensional ${\displaystyle P_{0}=k\left(V/H\right)^{n}}$

${\displaystyle \pi _{0}={\frac {H}{P_{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}},}$

que es negativo para el flujo de izquierda a derecha, y el número de Bingham:

${\displaystyle Bn={\frac {\tau _{0}}{k}}\left({\frac {H}{V}}\right)^{n}.}$

A continuación, el dominio de la solución se divide en tres partes, válidas para un gradiente de presión negativo:

• Una región cercana a la pared inferior donde ; ${\displaystyle \partial u/\partial z>\gamma _{0}}$
• Una región en el núcleo del fluido donde ; ${\displaystyle |\partial u/\partial z|<\gamma _{0}}$
• Una región cercana a la pared superior donde , ${\displaystyle \partial u/\partial z<-\gamma _{0}}$

Resolviendo esta ecuación obtenemos el perfil de velocidad:

${\displaystyle u\left(z\right)={\begin{cases}{\frac {n}{n+1}}{\frac {1}{\pi _{0}}}\left[\left(\pi _{0}\left(z-z_{1}\right)+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}-\left(-\pi _{0}z_{1}+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}\right],&z\in \left[0,z_{1}\right]\\{\frac {\pi _{0}}{2\mu _{0}}}\left(z^{2}-z\right)+k,&z\in \left[z_{1},z_{2}\right],\\{\frac {n}{n+1}}{\frac {1}{\pi _{0}}}\left[\left(-\pi _{0}\left(z-z_{2}\right)+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}-\left(-\pi _{0}\left(1-z_{2}\right)+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}\right],&z\in \left[z_{2},1\right]\\\end{cases}}}$

Aquí k es una constante de adaptación que es continua. El perfil respeta las condiciones de no deslizamiento en los límites del canal. ${\displaystyle u\left(z_{1}\right)}$

${\displaystyle u(0)=u(1)=0,}$

Utilizando los mismos argumentos de continuidad, se demuestra que , donde ${\displaystyle z_{1,2}={\tfrac {1}{2}}\pm \delta }$

${\displaystyle \delta ={\frac {\gamma _{0}\mu _{0}}{|\pi _{0}|}}\leq {\tfrac {1}{2}}.}$

Dado que , para un par dado, existe un gradiente de presión crítico ${\displaystyle \mu _{0}=\gamma _{0}^{n-1}+Bn/\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \left(\gamma _{0},Bn\right)}$

${\displaystyle |\pi _{0,\mathrm {c} }|=2\left(\gamma _{0}+Bn\right).}$

Si se aplica un gradiente de presión de magnitud menor que este valor crítico, el fluido no fluirá; por lo tanto, su naturaleza de Bingham es evidente. Cualquier gradiente de presión de magnitud mayor que este valor crítico dará como resultado un flujo. El flujo asociado con un fluido espesante por cizallamiento se retarda en relación con el asociado con un fluido pseudoplástico.

Flujo de tuberías

Para el flujo laminar, Chilton y Stainsby ^[7] proporcionan la siguiente ecuación para calcular la caída de presión. La ecuación requiere una solución iterativa para extraer la caída de presión, ya que está presente en ambos lados de la ecuación.

${\displaystyle {\frac {\Delta P}{L}}={\frac {4K}{D}}\left({\frac {8V}{D}}\right)^{n}\left({\frac {3n+1}{4n}}\right)^{n}{\frac {1}{1-X}}\left({\frac {1}{1-aX-bX^{2}-cX^{3}}}\right)^{n}}$

${\displaystyle X={\frac {4L\tau _{y}}{D\Delta P}}}$

${\displaystyle a={\frac {1}{2n+1}}}$

${\displaystyle b={\frac {2n}{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}}}$

${\displaystyle c={\frac {2n^{2}}{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}}}$

Para el flujo turbulento, los autores proponen un método que requiere el conocimiento de la tensión cortante de la pared, pero no proporcionan un método para calcular dicha tensión. Su procedimiento se amplía en Hathoot ^[8].

${\displaystyle R={\frac {4n\rho VD\left(1-aX-bX^{2}-cX^{3}\right)}{\mu _{Wall}\left(3n+1\right)}}}$

${\displaystyle \mu _{Wall}=\tau _{Wall}^{1-1/n}\left({\frac {K}{1-X}}\right)^{1/n}}$

${\displaystyle \tau _{Wall}={\frac {D\Delta P}{4L}}}$

Todas las unidades son SI

${\displaystyle \Delta P}$Caída de presión, Pa.

${\displaystyle L}$Longitud de la tubería, m

${\displaystyle D}$Diámetro de la tubería, m

${\displaystyle V}$Velocidad media del fluido, ${\displaystyle m/s}$

Chilton y Stainsby afirman que definir el número de Reynolds como

${\displaystyle Re={\frac {R}{n^{2}\left(1-X\right)^{4}}}}$

permite utilizar correlaciones del factor de fricción newtoniano estándar .

A continuación, se puede calcular la caída de presión, dada una correlación adecuada del factor de fricción. Se requiere un procedimiento iterativo, ya que la caída de presión es necesaria para iniciar los cálculos y también para ser el resultado de los mismos.

Véase también

• Viscosidad

Referencias

1. Herschel, WH; Bulkley, R. (1926), "Konsistenzmessungen von Gummi-Benzollösungen", Kolloid Zeitschrift , 39 (4): 291–300, doi :10.1007/BF01432034, S2CID  97549389
2. Tang, Hansong S.; Kalyon, Dilhan M. (2004), "Estimación de los parámetros del deslizamiento del fluido Herschel-Bulkley debajo de la pared utilizando una combinación de viscosímetros de flujo capilar y de compresión", Rheologica Acta , 43 (1): 80–88, doi :10.1007/s00397-003-0322-y, S2CID  98243895
3. Chambon, G, Ghemmour, A y Naaim, M, 2014, "Investigación experimental de flujos de superficie libre viscoplásticos en un régimen uniforme y estable", Journal of Fluid Mechanics Mechanics 754 332--364.
4. Bates, B y Ancey, C 2017, "El problema de la rotura de presas en fluidos viscoplásticos erosionables", Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 243 64--78.
5. KC Sahu, P. Valluri, PDM Spelt y OK Matar (2007) 'Inestabilidad lineal del flujo de canal impulsado por presión de un fluido newtoniano y un fluido de Herschel-Bulkley' Phys. Fluids 19, 122101
6. DJ Acheson 'Mecánica de fluidos elemental' (1990), Oxford, pág. 51
7. Chilton, RA y R Stainsby, 1998, "Ecuaciones de pérdida de presión para flujo de tuberías no newtoniano laminar y turbulento", Journal of Hydraulic Engineering 124 (5) pp. 522 y siguientes.
8. Hathoot, HM, 2004, "Diseño de costo mínimo de tuberías que transportan fluidos no newtonianos", Alexandrian Engineering Journal , 43 (3) 375 - 382

Enlaces externos

• Descripción del fluido Herschel-Bulkley; comparación gráfica entre modelos reológicos Archivado el 31 de mayo de 2012 en Wayback Machine