Marco de Heath-Jarrow-Morton

El marco Heath-Jarrow-Morton ( HJM ) es un marco general para modelar la evolución de las curvas de tipos de interés , en particular las curvas de tipos a plazo instantáneos (a diferencia de los tipos a plazo simples ). Cuando se supone que la volatilidad y la deriva del tipo de interés a plazo instantáneo son deterministas , esto se conoce como modelo gaussiano de tipos a plazo de Heath-Jarrow-Morton (HJM) . ^{[1] : 394} Para la modelización directa de tipos forward simples, el modelo de Brace-Gatarek-Musiela representa un ejemplo.

El marco HJM se origina en el trabajo de David Heath , Robert A. Jarrow y Andrew Morton a finales de la década de 1980, especialmente la fijación de precios de bonos y la estructura temporal de las tasas de interés: una nueva metodología (1987) – documento de trabajo, Universidad de Cornell y Bond. fijación de precios y estructura temporal de las tasas de interés: una nueva metodología (1989) – documento de trabajo (edición revisada), Universidad de Cornell. Sin embargo, tiene sus críticos, y Paul Wilmott lo describe como "... en realidad, sólo una gran alfombra para barrer [los errores]". ^{[2] [3]}

Estructura

La clave de estas técnicas es el reconocimiento de que las derivas de la evolución sin arbitraje de ciertas variables pueden expresarse como funciones de sus volatilidades y las correlaciones entre ellas. En otras palabras, no es necesaria ninguna estimación de la deriva.

Los modelos desarrollados según el marco HJM se diferencian de los llamados modelos de tipo corto en el sentido de que los modelos tipo HJM capturan la dinámica completa de toda la curva de tipos a plazo , mientras que los modelos de tipo corto sólo capturan la dinámica de un punto. en la curva (el tipo corto).

Sin embargo, los modelos desarrollados según el marco general de HJM a menudo no son markovianos y pueden incluso tener dimensiones infinitas. Varios investigadores han hecho grandes contribuciones para abordar este problema. Muestran que si la estructura de volatilidad de los tipos forward satisface ciertas condiciones, entonces un modelo HJM puede expresarse enteramente mediante un sistema Markoviano de estados finitos, haciéndolo computacionalmente factible. Los ejemplos incluyen un modelo de un factor y dos estados (O. Cheyette, "Term Structure Dynamics and Mortgage Valuation", Journal of Fixed Income, 1, 1992; P. Ritchken y L. Sankarasubramanian en "Volatility Structures of Forward Rates and the Dynamics of Term Structure", Mathematical Finance , 5, No. 1, enero de 1995) y versiones posteriores multifactoriales.

formulación matemática

La clase de modelos desarrollados por Heath, Jarrow y Morton (1992) se basa en la modelización de tipos de interés a plazo.

El modelo comienza introduciendo la tasa forward instantánea , que se define como la tasa de capitalización continua disponible en un momento dado, vista desde el tiempo . La relación entre los precios de los bonos y el tipo forward también se proporciona de la siguiente manera: ${\displaystyle \textstyle f(t,T)}$ ${\displaystyle \textstyle t\leq T}$ ${\displaystyle \textstyle T}$ ${\displaystyle \textstyle t}$

${\displaystyle P(t,T)=e^{-\int _{t}^{T}f(t,s)ds}}$

Este es el precio en el momento de un bono cupón cero que paga $1 al vencimiento . La cuenta del mercado monetario libre de riesgo también se define como ${\displaystyle \textstyle P(t,T)}$ ${\displaystyle \textstyle t}$ ${\displaystyle \textstyle T\geq t}$

${\displaystyle \beta (t)=e^{\int _{0}^{t}f(u,u)du}}$

Esta última ecuación nos permite definir el tipo corto libre de riesgo. El marco HJM supone que la dinámica de una medida de fijación de precios neutral al riesgo es la siguiente: ${\displaystyle \textstyle f(t,t)\triangleq r(t)}$ ${\displaystyle \textstyle f(t,s)}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle df(t,s)=\mu (t,s)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)dW_{t}}$

Donde es un proceso Wiener adimensional y , son procesos adaptados . Ahora, basándonos en estas dinámicas para , intentaremos encontrar la dinámica y las condiciones que deben cumplirse bajo reglas de fijación de precios neutrales al riesgo. Definamos el siguiente proceso: ${\displaystyle \textstyle W_{t}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \mu (u,s)}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(u,s)}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}_{u}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle P(t,s)}$

${\displaystyle Y_{t}\triangleq \log P(t,s)=-\int _{t}^{s}f(t,u)du}$

La dinámica de se puede obtener mediante la regla de Leibniz : ${\displaystyle \textstyle Y_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=f(t,t)dt-\int _{t}^{s}df(t,u)du\\&=r_{t}dt-\int _{t}^{s}\mu (t,u)dtdu-\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}du\end{aligned}}}$

Si definimos y asumimos que se satisfacen las condiciones del teorema de Fubini en la fórmula de la dinámica de , obtenemos: ${\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}=\int _{t}^{s}\mu (t,u)du}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}=\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)du}$ ${\displaystyle \textstyle Y_{t}}$

${\displaystyle dY_{t}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}$

Según el lema de Itō , las dinámicas de son entonces: ${\displaystyle \textstyle P(t,T)}$

${\displaystyle {\frac {dP(t,s)}{P(t,s)}}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}$

Pero debe haber una martingala bajo la medida de fijación de precios , por eso lo exigimos . Diferenciando esto con respecto a obtenemos: ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(t,s)}{\beta (t)}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}}$ ${\displaystyle \textstyle s}$

${\displaystyle \mu (t,u)={\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds}$

Lo que finalmente nos dice que la dinámica de debe ser de la siguiente forma: ${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle df(t,u)=\left({\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds\right)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}}$

Lo que nos permite fijar el precio de los bonos y los derivados de tipos de interés en función de nuestra elección . ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

Ver también

• Negro–Derman–Modelo de juguete
• Modelo Brace-Gatarek-Musiela
• modelo chen
• modelo cheyette
• Modelo Ho-Lee
• Modelo casco-blanco

Referencias

Notas

1. M. Musiela, M. Rutkowski: Métodos de martingala en modelos financieros. 2da ed. Nueva York: Springer-Verlag, 2004. Imprimir.
2. El plan de un experto en matemáticas para reformar Wall Street, Newsweek, mayo de 2009
3. Semana de noticias 2009

Fuentes

• Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1990). Precio de los bonos y estructura temporal de las tasas de interés: una aproximación en tiempo discreto. Revista de análisis financiero y cuantitativo , 25:419-440.
• Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1991). Valoración de siniestros contingentes con evolución aleatoria de los tipos de interés Archivado el 28 de abril de 2017 en Wayback Machine . Revisión de los mercados de futuros , 9:54-76.
• Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1992). Precio de los bonos y estructura temporal de las tasas de interés: una nueva metodología para la valoración de reclamaciones contingentes. Econométrica , 60(1):77-105. doi :10.2307/2951677
• Robert Jarrow (2002). Modelización de valores de renta fija y opciones de tipos de interés (2ª ed.). Economía y Finanzas de Stanford. ISBN 0-8047-4438-6 

Otras lecturas

• Árboles no tupidos para modelos gaussianos HJM y lognormales directos, profesor Alan Brace, Universidad Tecnológica de Sydney
• El modelo de estructura temporal de Heath-Jarrow-Morton Archivado el 23 de septiembre de 2015 en Wayback Machine , Prof. Don Chance EJ Ourso College of Business , Universidad Estatal de Luisiana
• Recombinación de árboles para modelos unidimensionales de tasas de interés a plazo, Dariusz Gatarek, Wyższa Szkoła Biznesu – National-Louis University y Jaroslaw Kolakowski
• Implementación de una estructura temporal sin arbitraje de modelos de tasas de interés en tiempo discreto cuando las tasas de interés se distribuyen normalmente, Dwight M Grant y Gautam Vora. The Journal of Fixed Income, marzo de 1999, vol. 8, núm. 4: págs. 85–98
• Modelo Heath-Jarrow-Morton y su aplicación, Vladimir I Pozdynyakov, Universidad de Pennsylvania
• Un estudio empírico de las propiedades de convergencia del árbol de tipos a plazo HJM no recombinante en la fijación de precios de derivados de tipos de interés, AR Radhakrishnan Universidad de Nueva York
• Modelado de tasas de interés con Heath, Jarrow y Morton. Dr. Donald van Deventer, Corporación Kamakura :
  • Con un factor y volatilidad dependiente del vencimiento Archivado el 9 de agosto de 2020 en la Wayback Machine.
  • Con un factor y volatilidad dependiente de la tasa y el vencimiento Archivado el 5 de marzo de 2016 en la Wayback Machine.
  • Con dos factores y volatilidad dependiente de la tasa y el vencimiento Archivado el 4 de marzo de 2016 en la Wayback Machine.
  • Con tres factores y volatilidad dependiente de la tasa y el vencimiento Archivado el 20 de septiembre de 2020 en la Wayback Machine.