Polinomio armónico

Polinomio cuyo laplaciano es cero

En matemáticas , un polinomio cuyo laplaciano es cero se denomina polinomio armónico . ^{[1] [2]} ${\displaystyle p}$

Los polinomios armónicos forman un subespacio del espacio vectorial de polinomios sobre el cuerpo dado . De hecho, forman un subespacio graduado . ^[3] Para el cuerpo real ( ), los polinomios armónicos son importantes en física matemática. ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El Laplaciano es la suma de las derivadas parciales de segundo orden con respecto a cada una de las variables, y es un operador diferencial invariante bajo la acción del grupo ortogonal a través del grupo de rotaciones.

El teorema estándar de separación de variables ^{[ cita requerida ]} establece que todo polinomio multivariado sobre un cuerpo puede descomponerse como una suma finita de productos de un polinomio radial y un polinomio armónico. Esto es equivalente a la afirmación de que el anillo de polinomios es un módulo libre sobre el anillo de polinomios radiales. ^[7]

Ejemplos

Consideremos un polinomio univariado de grado . Para ser armónico, este polinomio debe satisfacer ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p(x):=\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}}$

Polinomios armónicos reales en dos variables hasta grado 6, graficados sobre el disco unitario.

$${\displaystyle 0={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x)=\sum _{k=2}^{d}k(k-1)a_{k}x^{k-2}}$$en todos los puntos . En particular, cuando , tenemos un polinomio , que debe satisfacer la condición . Por lo tanto, los únicos polinomios armónicos de una variable (real) son funciones afines . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}}$ ${\displaystyle a_{2}=0}$ ${\displaystyle x\mapsto a_{0}+a_{1}x}$

En el caso multivariable, se encuentran espacios no triviales de polinomios armónicos. Consideremos, por ejemplo, el polinomio cuadrático bivariado donde son coeficientes reales. El laplaciano de este polinomio está dado por $${\displaystyle p(x,y):=a_{0,0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+a_{1,1}xy+a_{2,0}x^{2}+a_{0,2}y^{2},}$$ ${\displaystyle a_{0,0},a_{1,0},a_{0,1},a_{1,1},a_{2,0},a_{0,2}}$ $${\displaystyle \Delta p(x,y)={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x,y)+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}p(x,y)=2(a_{2,0}+a_{0,2}).}$$

Por lo tanto, para que sea armónico, sus coeficientes solo deben satisfacer la relación . De manera equivalente, todos los polinomios armónicos bivariados cuadráticos (reales) son combinaciones lineales de los polinomios ${\displaystyle p(x,y)}$ ${\displaystyle a_{2,0}=-a_{0,2}}$ $${\displaystyle 1,\quad x,\quad y,\quad xy,\quad x^{2}-y^{2}.}$$

Nótese que, como en cualquier espacio vectorial, existen otras opciones de base para este mismo espacio de polinomios.

A continuación se muestra una base para polinomios armónicos bivariados reales hasta el grado 6: $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{0}(x,y)&=1\\\phi _{1,1}(x,y)&=x&\phi _{1,2}(x,y)&=y\\\phi _{2,1}(x,y)&=xy&\phi _{2,2}(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\\phi _{3,1}(x,y)&=y^{3}-3x^{2}y&\phi _{3,2}(x,y)&=x^{3}-3xy^{2}\\\phi _{4,1}(x,y)&=x^{3}y-xy^{3}&\phi _{4,2}(x,y)&=-x^{4}+6x^{2}y^{2}-y^{4}\\\phi _{5,1}(x,y)&=5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}&\phi _{5,2}(x,y)&=x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\\\phi _{6,1}(x,y)&=3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}&\phi _{6,2}(x,y)&=-x^{6}+15x^{4}y^{2}-15x^{2}y^{4}+y^{6}\end{aligned}}}$$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Función armónica
• Armónicos esféricos
• Armónicos esféricos zonales
• Polinomio multilineal

Referencias

1. Walsh, JL (1927). "Sobre la expansión de funciones armónicas en términos de polinomios armónicos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 13 (4): 175–180. Bibcode :1927PNAS...13..175W. doi : 10.1073/pnas.13.4.175 . PMC  1084921 . PMID  16577046.
2. Helgason, Sigurdur (2003). "Capítulo III. Invariantes y polinomios armónicos". Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas . Encuestas y monografías matemáticas, vol. 83. American Mathematical Society. págs. 345–384. ISBN 9780821826737.
3. Felder, Giovanni; Veselov, Alexander P. (2001). "Acción de los grupos de Coxeter sobre polinomios m-armónicos y ecuaciones KZ". arXiv : math/0108012 .
4. Sobolev, Sergeĭ Lʹvovich (2016). Ecuaciones diferenciales parciales de física matemática. Serie internacional de monografías sobre matemáticas puras y aplicadas. Elsevier. pp. 401–408. ISBN 9781483181363.
5. Whittaker, Edmund T. (1903). "Sobre las ecuaciones diferenciales parciales de la física matemática". Mathematische Annalen . 57 (3): 333–355. doi :10.1007/bf01444290. S2CID  122153032.
6. Byerly, William Elwood (1893). "Capítulo VI. Armónicos esféricos". Tratado elemental sobre las series de Fourier y los armónicos esféricos, cilíndricos y elipsoidales, con aplicaciones a problemas de física matemática . Dover. págs. 195-218.
7. Cf. Corolario 1.8 de Axler, Sheldon; Ramey, Wade (1995), Polinomios armónicos y problemas de tipo Dirichlet

• Representaciones de anillos polinómicos en grupos de Lie de Bertram Kostant publicado en el American Journal of Mathematics Vol 85 No 3 (julio de 1963) doi :10.2307/2373130