Sistema hamiltoniano

Sistema dinámico gobernado por las ecuaciones de Hamilton

Un sistema hamiltoniano es un sistema dinámico regido por las ecuaciones de Hamilton . En física , este sistema dinámico describe la evolución de un sistema físico como un sistema planetario o un electrón en un campo electromagnético . Estos sistemas pueden estudiarse tanto en mecánica hamiltoniana como en teoría de sistemas dinámicos .

Descripción general

De manera informal, un sistema hamiltoniano es un formalismo matemático desarrollado por Hamilton para describir las ecuaciones de evolución de un sistema físico. La ventaja de esta descripción es que proporciona información importante sobre la dinámica, incluso si el problema del valor inicial no se puede resolver analíticamente. Un ejemplo es el movimiento planetario de tres cuerpos : si bien no existe una solución de forma cerrada para el problema general, Poincaré demostró por primera vez que presenta un caos determinista .

Formalmente, un sistema hamiltoniano es un sistema dinámico caracterizado por la función escalar , también conocida como hamiltoniano. ^[1] El estado del sistema, , se describe mediante las coordenadas generalizadas y , correspondientes al momento y la posición generalizados respectivamente. Ambos y son vectores de valor real con la misma dimensión  N . Por lo tanto, el estado se describe completamente mediante el vector 2 N -dimensional ${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

y las ecuaciones de evolución vienen dadas por las ecuaciones de Hamilton :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\\[5pt]&{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}.\end{aligned}}}$

La trayectoria es la solución del problema de valor inicial definido por las ecuaciones de Hamilton y la condición inicial . ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t=0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}}$

Sistemas hamiltonianos independientes del tiempo

Si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, es decir, si , entonces el hamiltoniano no varía en absoluto con el tiempo: ^[1] ${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

y por lo tanto el hamiltoniano es una constante de movimiento , cuya constante es igual a la energía total del sistema: . Ejemplos de tales sistemas son el péndulo no amortiguado , el oscilador armónico y el billar dinámico . ${\displaystyle H=E}$

Ejemplo

Un ejemplo de un sistema hamiltoniano independiente del tiempo es el oscilador armónico. Consideremos el sistema definido por las coordenadas y . Entonces el hamiltoniano viene dado por ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\dot {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}=x}$

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kq^{2}}{2}}.}$

El hamiltoniano de este sistema no depende del tiempo y por lo tanto la energía del sistema se conserva.

Estructura simpléctica

Una propiedad importante de un sistema dinámico hamiltoniano es que tiene una estructura simpléctica . ^[1] Escritura

${\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\\{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\\\end{bmatrix}}}$

La ecuación de evolución del sistema dinámico se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})}$

dónde

${\displaystyle M_{N}={\begin{bmatrix}0&I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}}$

y I _N es la matriz identidad N × N.

Una consecuencia importante de esta propiedad es que se conserva un volumen infinitesimal del espacio de fases. ^[1] Un corolario de esto es el teorema de Liouville , que establece que en un sistema hamiltoniano, el volumen del espacio de fases de una superficie cerrada se conserva bajo la evolución del tiempo. ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\oint _{\partial V}d{\boldsymbol {r}}&=\oint _{\partial V}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\oint _{\partial V}\left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\int _{V}\nabla _{\boldsymbol {r}}\cdot \left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\,dV\\&=\int _{V}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{j}}}\right)\,dV\\&=0\end{aligned}}}$

donde la tercera igualdad proviene del teorema de divergencia .

Caos hamiltoniano

Ciertos sistemas hamiltonianos presentan un comportamiento caótico . Cuando la evolución de un sistema hamiltoniano es muy sensible a las condiciones iniciales y el movimiento parece aleatorio y errático, se dice que el sistema presenta un caos hamiltoniano.

Orígenes

El concepto de caos en los sistemas hamiltonianos tiene sus raíces en los trabajos de Henri Poincaré , quien a finales del siglo XIX realizó contribuciones pioneras a la comprensión del problema de los tres cuerpos en la mecánica celeste . Poincaré demostró que incluso un sistema gravitacional simple de tres cuerpos podía exhibir un comportamiento complejo que no podía predecirse a largo plazo. Su trabajo se considera una de las primeras exploraciones del comportamiento caótico en sistemas físicos . ^[2]

Características

El caos hamiltoniano se caracteriza por las siguientes características: ^[1]

Sensibilidad a las condiciones iniciales : una característica distintiva de los sistemas caóticos es que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden dar lugar a trayectorias muy diferentes. Esto se conoce como el efecto mariposa. ^[3]

Mezcla : Con el tiempo, las fases del sistema se distribuyen uniformemente en el espacio de fases. ^[4]

Recurrencia : aunque es impredecible, el sistema eventualmente vuelve a visitar estados arbitrariamente cercanos a su estado inicial, lo que se conoce como recurrencia de Poincaré .

El caos hamiltoniano también está asociado con la presencia de invariantes caóticos como el exponente de Lyapunov y la entropía de Kolmogorov-Sinai , que cuantifican la velocidad a la que divergen las trayectorias cercanas y la complejidad del sistema, respectivamente. ^[1]

Aplicaciones

El caos hamiltoniano prevalece en muchas áreas de la física, particularmente en la mecánica clásica y la mecánica estadística. Por ejemplo, en la física del plasma , el comportamiento de partículas cargadas en un campo magnético puede exhibir caos hamiltoniano, lo que tiene implicaciones para la fusión nuclear y los plasmas astrofísicos . Además, en la mecánica cuántica , el caos hamiltoniano se estudia a través del caos cuántico , que busca comprender los análogos cuánticos del comportamiento caótico clásico. El caos hamiltoniano también juega un papel en la astrofísica , donde se utiliza para estudiar la dinámica de los cúmulos estelares y la estabilidad de las estructuras galácticas . ^[5]

Ejemplos

• Billar dinámico
• Sistemas planetarios , más específicamente, el problema de los n cuerpos .
• Relatividad general canónica

Véase también

• Coordenadas del ángulo de acción
• Teorema de Liouville
• Sistema integrable
• Variedad simpléctica
• Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser

• Teorema de recurrencia de Poincaré
• Exponente de Lyapunov
• Problema de los tres cuerpos
• Teoría ergódica

Referencias

1. Ott, Edward (1994). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press.
2. Poincaré, Henri. "Nuevos métodos de mecánica celeste" (1892)
3. Lorenz, Edward N. (1 de marzo de 1963). "Flujo no periódico determinista". Revista de ciencias atmosféricas . 20 (2): 130–141. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 . ISSN  0022-4928.
4. Kornfel'd, Isaak P.; Fomin, Sergej V.; Sinaj, Jakov G. (1982). Teoría ergódica . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Una serie de estudios integrales en matemáticas. Nueva York, NY Heidelberg Berlín: Springer. ISBN 978-1-4615-6929-9.
5. Regev, Oded (2009), Meyers, Robert A. (ed.), "Astrofísica, caos y complejidad en", Enciclopedia de complejidad y ciencia de sistemas , Nueva York, NY: Springer, págs. 381–399, doi :10.1007/978-0-387-30440-3_26, ISBN 978-0-387-30440-3, consultado el 25 de junio de 2023

Lectura adicional

• Almeida, AM (1992). Sistemas hamiltonianos: caos y cuantificación . Cambridge monographs on mathematics physics. Cambridge (ua: Cambridge Univ. Press )
• Audin, M., (2008). Sistemas hamiltonianos y su integrabilidad . Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4413-7 
• Dickey, LA (2003). Ecuaciones de solitones y sistemas hamiltonianos . Serie avanzada en física matemática, v. 26. River Edge, NJ: World Scientific .
• Treschev, D., y Zubelevich, O. (2010). Introducción a la teoría de perturbaciones de sistemas hamiltonianos . Heidelberg: Springer
• Zaslavsky, GM (2007). La física del caos en sistemas hamiltonianos . Londres: Imperial College Press .

Enlaces externos

• James Meiss (ed.). "Sistemas hamiltonianos". Scholarpedia .