En física matemática , los axiomas de Wightman (también llamados axiomas de Gårding–Wightman ), [1] [2] nombrados en honor a Arthur Wightman , [3] son un intento de formulación matemáticamente rigurosa de la teoría cuántica de campos . Arthur Wightman formuló los axiomas a principios de la década de 1950, [4] pero se publicaron por primera vez recién en 1964 [5] después de que la teoría de dispersión de Haag–Ruelle [6] [7] afirmara su importancia.
Los axiomas existen en el contexto de la teoría cuántica de campos constructiva y su objetivo es proporcionar una base para el tratamiento riguroso de los campos cuánticos y una base estricta para los métodos perturbativos utilizados. Uno de los Problemas del Milenio es implementar los axiomas de Wightman en el caso de los campos de Yang-Mills .
Una idea básica de los axiomas de Wightman es que existe un espacio de Hilbert , sobre el cual actúa unitariamente el grupo de Poincaré . De esta manera, se implementan los conceptos de energía, momento, momento angular y centro de masas (correspondientes a los impulsos).
También existe un supuesto de estabilidad, que restringe el espectro del cuadrimpulso al cono de luz positivo (y su frontera). Sin embargo, esto no es suficiente para implementar la localidad . Para ello, los axiomas de Wightman tienen operadores dependientes de la posición llamados campos cuánticos, que forman representaciones covariantes del grupo de Poincaré .
Como la teoría cuántica de campos adolece de problemas relacionados con el ultravioleta , el valor de un campo en un punto no está bien definido. Para evitarlo, los axiomas de Wightman introducen la idea de aplicar una función de prueba para controlar las divergencias ultravioleta, que surgen incluso en una teoría de campo libre . Como los axiomas tratan con operadores no acotados , los dominios de los operadores deben especificarse.
Los axiomas de Wightman restringen la estructura causal de la teoría al imponer conmutatividad o anticonmutatividad entre campos separados espacialmente.
También postulan la existencia de un estado invariante de Poincaré llamado vacío y exigen que sea único. Además, los axiomas suponen que el vacío es "cíclico", es decir, que el conjunto de todos los vectores obtenibles evaluando en el estado de vacío elementos del álgebra polinómica generada por los operadores de campo difuso es un subconjunto denso de todo el espacio de Hilbert.
Por último, está la restricción de causalidad primitiva, que establece que cualquier polinomio en los campos difusos puede aproximarse con precisión arbitraria (es decir, es el límite de operadores en la topología débil ) mediante polinomios en campos difusos sobre funciones de prueba con apoyo en un conjunto abierto en el espacio de Minkowski cuyo cierre causal es todo el espacio de Minkowski.
La mecánica cuántica se describe según von Neumann ; en particular, los estados puros están dados por los rayos, es decir, los subespacios unidimensionales, de algún espacio de Hilbert complejo separable . A continuación, el producto escalar de los vectores del espacio de Hilbert Ψ y Φ se denota por , y la norma de Ψ se denota por . La probabilidad de transición entre dos estados puros [Ψ] y [Φ] se puede definir en términos de representantes vectoriales no nulos Ψ y Φ como
y es independiente de qué vectores representativos Ψ y Φ se elijan.
La teoría de la simetría se describe según Wigner. Esto es para aprovechar la exitosa descripción de partículas relativistas por EP Wigner en su famoso artículo de 1939; vea la clasificación de Wigner . Wigner postuló que la probabilidad de transición entre estados es la misma para todos los observadores relacionados por una transformación de la relatividad especial . De manera más general, consideró que la afirmación de que una teoría es invariante bajo un grupo G se expresa en términos de la invariancia de la probabilidad de transición entre dos rayos cualesquiera. La afirmación postula que el grupo actúa sobre el conjunto de rayos, es decir, sobre el espacio proyectivo. Sea ( a , L ) un elemento del grupo de Poincaré (el grupo no homogéneo de Lorentz). Por lo tanto, a es un cuatrivector de Lorentz real que representa el cambio del origen del espacio-tiempo x ↦ x − a , donde x está en el espacio de Minkowski M 4 , y L es una transformación de Lorentz , que puede definirse como una transformación lineal del espacio-tiempo de cuatro dimensiones que preserva la distancia de Lorentz c 2 t 2 − x ⋅ x de cada vector ( ct , x ). Entonces la teoría es invariante bajo el grupo de Poincaré si para cada rayo Ψ del espacio de Hilbert y cada elemento del grupo ( a , L ) se le da un rayo transformado Ψ( a , L ) y la probabilidad de transición no cambia con la transformación:
El teorema de Wigner dice que bajo estas condiciones, las transformaciones en el espacio de Hilbert son operadores lineales o antilineales (si además preservan la norma, entonces son operadores unitarios o antiunitarios); el operador de simetría en el espacio proyectivo de rayos puede ser elevado al espacio de Hilbert subyacente. Al hacer esto para cada elemento del grupo ( a , L ), obtenemos una familia de operadores unitarios o antiunitarios U ( a , L ) en nuestro espacio de Hilbert, tales que el rayo Ψ transformado por ( a , L ) es el mismo que el rayo que contiene a U ( a , L )ψ. Si restringimos la atención a los elementos del grupo conectados a la identidad, entonces el caso antiunitario no ocurre.
Sean ( a , L ) y ( b , M ) dos transformaciones de Poincaré, y denotemos su producto de grupo por ( a , L )⋅( b , M ) ; de la interpretación física vemos que el rayo que contiene a U ( a , L )[ U ( b , M )ψ] debe ser (para cualquier ψ) el rayo que contiene a U (( a , L )⋅( b , M ))ψ (asociatividad de la operación de grupo). Volviendo de los rayos al espacio de Hilbert, estos dos vectores pueden diferir en una fase (y no en norma, porque elegimos operadores unitarios), que puede depender de los dos elementos de grupo ( a , L ) y ( b , M ), es decir, no tenemos una representación de un grupo sino una representación proyectiva . Estas fases no siempre se pueden cancelar redefiniendo cada U ( a ), ejemplo para partículas de espín 1/2. Wigner demostró que lo mejor que se puede conseguir para el grupo de Poincaré es
es decir la fase es un múltiplo de . Para partículas de espín entero (piones, fotones, gravitones, ...) uno puede eliminar el signo ± mediante cambios de fase adicionales, pero para representaciones de espín medio impar, no podemos, y el signo cambia discontinuamente a medida que recorremos cualquier eje en un ángulo de 2π. Sin embargo, podemos construir una representación del grupo de cobertura del grupo de Poincaré , llamado SL(2, C ) no homogéneo ; este tiene elementos ( a , A ), donde como antes, a es un cuatrivector, pero ahora A es una matriz compleja 2 × 2 con determinante unitario. Denotamos los operadores unitarios que obtenemos por U ( a , A ), y estos nos dan una representación continua, unitaria y verdadera en la que la colección de U ( a , A ) obedece la ley de grupo del SL(2, C ) no homogéneo.
Debido al cambio de signo bajo rotaciones de 2π, los operadores hermíticos que se transforman como espín 1/2, 3/2, etc., no pueden ser observables . Esto se muestra como la regla de superselección de univalencia : las fases entre estados de espín 0, 1, 2, etc. y los de espín 1/2, 3/2, etc., no son observables. Esta regla se suma a la no observabilidad de la fase general de un vector de estado. Con respecto a los observables y estados | v ⟩, obtenemos una representación U ( a , L ) del grupo de Poincaré en subespacios de espín entero, y U ( a , A ) del no homogéneo SL(2, C ) en subespacios de enteros semienteros, que actúa de acuerdo con la siguiente interpretación:
Un conjunto correspondiente a U ( a , L )| v ⟩ debe interpretarse con respecto a las coordenadas exactamente de la misma manera que un conjunto correspondiente a | v ⟩ se interpreta con respecto a las coordenadas x ; y de manera similar para los subespacios impares.
El grupo de traslaciones del espacio-tiempo es conmutativo , por lo que los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente. Los generadores de estos grupos nos dan cuatro operadores autoadjuntos que se transforman bajo el grupo homogéneo en un cuatrivector, llamado cuatrivector de energía-momento .
La segunda parte del axioma cero de Wightman es que la representación U ( a , A ) cumple la condición espectral: que el espectro simultáneo de energía-momento está contenido en el cono delantero:
La tercera parte del axioma es que existe un único estado, representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré. Se llama vacío.
Para cada función de prueba f , es decir, para una función con un soporte compacto y derivadas continuas de cualquier orden, [8] existe un conjunto de operadores que, junto con sus adjuntos, están definidos en un subconjunto denso del espacio de estados de Hilbert, que contiene el vacío. Los campos A son distribuciones templadas con valores de operador . El espacio de estados de Hilbert está abarcado por los polinomios de campo que actúan sobre el vacío (condición de ciclicidad).
Los campos son covariantes bajo la acción del grupo de Poincaré y se transforman de acuerdo con alguna representación S del grupo de Lorentz , o SL(2, C ) si el espín no es entero:
Si los soportes de dos campos están separados espacialmente , entonces los campos conmutan o anticonmutan.
La ciclicidad y unicidad del vacío a veces se consideran por separado. Además, existe una propiedad de completitud asintótica: el espacio de estados de Hilbert está abarcado por los espacios asintóticos y , que aparecen en la matriz S de colisión . La otra propiedad importante de la teoría de campos es la brecha de masa , que no es requerida por los axiomas: el espectro de energía-momento tiene una brecha entre cero y algún número positivo.
De estos axiomas se desprenden ciertos teoremas generales:
Arthur Wightman demostró que las distribuciones de valores esperados del vacío , que satisfacen cierto conjunto de propiedades, que se desprenden de los axiomas, son suficientes para reconstruir la teoría de campo —teorema de reconstrucción de Wightman—, incluida la existencia de un estado de vacío ; no encontró la condición sobre los valores esperados del vacío que garantizara la unicidad del vacío; esta condición, la propiedad del cúmulo , fue encontrada más tarde por Res Jost , Klaus Hepp , David Ruelle y Othmar Steinmann.
Si la teoría tiene una brecha de masa , es decir, no hay masas entre 0 y alguna constante mayor que cero, entonces las distribuciones de expectativa de vacío son asintóticamente independientes en regiones distantes.
El teorema de Haag dice que no puede haber una imagen de interacción —que no podemos usar el espacio de Fock de partículas que no interactúan como un espacio de Hilbert— en el sentido de que identificaríamos los espacios de Hilbert mediante polinomios de campo que actúan sobre el vacío en un momento determinado.
El marco de Wightman no cubre estados de energía infinita como los estados de temperatura finita.
A diferencia de la teoría cuántica de campos local , los axiomas de Wightman restringen la estructura causal de la teoría explícitamente al imponer la conmutatividad o la anticonmutatividad entre campos separados de forma espacial, en lugar de derivar la estructura causal como un teorema. Si se considera una generalización de los axiomas de Wightman a dimensiones distintas de 4, este postulado de (anti)conmutatividad descarta los aniones y las estadísticas de trenza en dimensiones inferiores.
El postulado de Wightman de un estado de vacío único no necesariamente hace que los axiomas de Wightman sean inapropiados para el caso de ruptura espontánea de la simetría porque siempre podemos restringirnos a un sector de superselección .
La ciclicidad del vacío que exigen los axiomas de Wightman significa que sólo describen el sector de superselección del vacío; nuevamente, esto no es una gran pérdida de generalidad. Sin embargo, esta suposición deja de lado los estados de energía finita como los solitones, que no pueden generarse mediante un polinomio de campos untados por funciones de prueba porque un solitón, al menos desde una perspectiva de teoría de campos, es una estructura global que implica condiciones de contorno topológicas en el infinito.
El marco de Wightman no cubre las teorías de campo efectivas porque no hay límite en cuanto a cuán pequeño puede ser el soporte de una función de prueba. Es decir, no hay una escala de corte .
El marco de Wightman tampoco cubre las teorías de gauge . Incluso en las teorías de gauge abelianas, los enfoques convencionales comienzan con un "espacio de Hilbert" con una norma indefinida (por lo tanto, no es verdaderamente un espacio de Hilbert, que requiere una norma positiva-definida, pero los físicos lo llaman espacio de Hilbert de todos modos), y los estados físicos y los operadores físicos pertenecen a una cohomología . Obviamente, esto no está cubierto en ninguna parte del marco de Wightman. (Sin embargo, como lo demostraron Schwinger, Christ y Lee, Gribov, Zwanziger, Van Baal, etc., la cuantificación canónica de las teorías de gauge en gauge de Coulomb es posible con un espacio de Hilbert ordinario, y esta podría ser la forma de hacer que caigan dentro de la aplicabilidad de la sistemática de axiomas).
Los axiomas de Wightman pueden reformularse en términos de un estado llamado funcional de Wightman en un álgebra de Borchers igual al álgebra tensorial de un espacio de funciones de prueba.
Se pueden generalizar los axiomas de Wightman a dimensiones distintas de 4. En las dimensiones 2 y 3, se han construido teorías interactuantes (es decir, no libres) que satisfacen los axiomas.
Actualmente, no hay ninguna prueba de que los axiomas de Wightman puedan satisfacerse para teorías que interactúan en dimensión 4. En particular, el Modelo Estándar de física de partículas no tiene fundamentos matemáticamente rigurosos. Hay un premio de un millón de dólares para una prueba de que los axiomas de Wightman pueden satisfacerse para teorías de calibración , con el requisito adicional de una brecha de masa.
Bajo ciertas suposiciones técnicas, se ha demostrado que una QFT euclidiana puede rotarse mediante Wick para convertirse en una QFT de Wightman (véase el teorema de Osterwalder-Schrader) . Este teorema es la herramienta clave para la construcción de teorías interactivas en las dimensiones 2 y 3 que satisfacen los axiomas de Wightman.
![{\displaystyle P{\big (}[\Psi ],[\Phi ]{\big )}={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \ rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41bba3a028458b17cd7ca1495269d09599edebb)
