Gráfico (topología)

Espacio topológico que surge de un grafo usual

En topología , una rama de las matemáticas , un grafo es un espacio topológico que surge de un grafo habitual sustituyendo los vértices por puntos y cada arista por una copia del intervalo unitario , donde se identifica con el punto asociado a y con el punto asociado a . Es decir, como espacios topológicos, los grafos son exactamente los 1-complejos simpliciales y también exactamente los complejos CW unidimensionales . ^[1] ${\displaystyle G=(E,V)}$ ${\displaystyle e=xy\in E}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle y}$

Así, en particular, lleva la topología cociente del conjunto

${\displaystyle X_{0}\sqcup \bigsqcup _{e\in E}I_{e}}$

bajo el mapa de cocientes utilizado para pegar. Aquí está el esqueleto 0 (que consta de un punto para cada vértice ), están los intervalos cerrados pegados a él, uno para cada arista , y es la unión disjunta . ^[1] ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle I_{e}}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle \sqcup }$

La topología de este espacio se llama topología gráfica .

Subgrafos y arboles

Un subgrafo de un grafo es un subespacio que también es un grafo y cuyos nodos están todos contenidos en el esqueleto 0 de . es un subgrafo si y solo si consta de vértices y aristas de y es cerrado. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Un subgrafo se denomina árbol si es contráctil como un espacio topológico. ^[1] Esto se puede demostrar como equivalente a la definición habitual de un árbol en la teoría de grafos , es decir, un grafo conexo sin ciclos . ${\displaystyle T\subseteq X}$

Propiedades

• El espacio topológico asociado de un gráfico es conexo (con respecto a la topología del gráfico) si y sólo si el gráfico original es conexo .
• Todo grafo conexo contiene al menos un árbol maximal , es decir, un árbol que es máximo con respecto al orden inducido por la inclusión de conjuntos en cuyos subgrafos hay árboles. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$
• Si es un grafo y un árbol maximalista, entonces el grupo fundamental es igual al grupo libre generado por los elementos , donde corresponden biyectivamente a las aristas de ; de hecho, es homotópicamente equivalente a una suma en cuña de círculos . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\subseteq X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle (f_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \{f_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X\setminus T}$ ${\displaystyle X}$
• La formación del espacio topológico asociado a un grafo como el anterior equivale a un funtor de la categoría de grafos a la categoría de espacios topológicos .
• Todo espacio de cobertura que se proyecta sobre un grafo es también un grafo. ^[1]

Véase también

• Homología de grafos
• Teoría de grafos topológicos
• Teorema de Nielsen-Schreier , cuya prueba estándar hace uso de este concepto.

Referencias

1. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge University Press. pág. 83 y siguientes. ISBN 0-521-79540-0.