Teorema de Nielsen-Schreier

Teorema de que todo subgrupo de un grupo libre es en sí mismo libre

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas, el teorema de Nielsen-Schreier establece que todo subgrupo de un grupo libre es en sí mismo libre. ^{[1] [2] [3]} Lleva el nombre de Jakob Nielsen y Otto Schreier .

Declaración del teorema

Un grupo libre puede definirse a partir de una presentación de grupo que consta de un conjunto de generadores sin relaciones. Es decir, cada elemento es producto de alguna secuencia de generadores y sus inversas, pero estos elementos no obedecen a ninguna ecuación excepto aquellas que trivialmente se siguen de gg ⁻¹ = 1. Los elementos de un grupo libre pueden describirse como todas las palabras reducidas posibles. , aquellas cadenas de generadores y sus inversos en los que ningún generador es adyacente a su propio inverso. Se pueden multiplicar dos palabras reducidas concatenándolas y luego eliminando cualquier par inverso del generador que resulte de la concatenación.

El teorema de Nielsen-Schreier establece que si H es un subgrupo de un grupo libre G , entonces H es en sí mismo isomorfo a un grupo libre. Es decir, existe un conjunto S de elementos que generan H , sin relaciones no triviales entre los elementos de S.

La fórmula de Nielsen-Schreier , o fórmula del índice de Schreier , cuantifica el resultado en el caso en que el subgrupo tiene índice finito: si G es un grupo libre de rango n (libre en n generadores), y H es un subgrupo de índice finito [ G  : H ] = e , entonces H está libre de rango . ^[4] ${\displaystyle 1+e(n{-}1)}$

Ejemplo

Sea G el grupo libre con dos generadores y sea H el subgrupo formado por todas las palabras reducidas de longitud par (productos de un número par de letras ). Entonces H es generado por sus seis elementos. Una factorización de cualquier palabra reducida en H en estos generadores y sus inversas se puede construir simplemente tomando pares consecutivos de letras en la palabra reducida. Sin embargo, esta no es una presentación gratuita de H porque los últimos tres generadores pueden escribirse en términos de los tres primeros como . Más bien, H se genera como un grupo libre por los tres elementos que no tienen relaciones entre ellos; o en su lugar por varios otros triples de los seis generadores. ^[5] Además, G es libre en n = 2 generadores, H tiene índice e = [ G  : H ] = 2 en G y H es libre en 1 + e ( n –1) = 3 generadores. El teorema de Nielsen-Schreier establece que, al igual que H , cada subgrupo de un grupo libre puede generarse como un grupo libre, y si el índice de H es finito, su rango viene dado por la fórmula del índice. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a,b,a^{-1},b^{-1}}$ ${\displaystyle p=aa,\ q=ab,\ r=ba,\ s=bb,\ t=ab^{-1},\ u=a^{-1}b.}$ ${\displaystyle s=rp^{-1}q,\ t=pr^{-1},\ u=p^{-1}q}$ ${\displaystyle p=aa,\ q=ab,\ r=ba,}$

Prueba

El grupo libre G = π ₁ ( X ) tiene n = 2 generadores correspondientes a bucles a , b desde el punto base P en X . El subgrupo H de palabras de longitud par, con índice e = [ G  : H ] = 2, corresponde al gráfico de cobertura Y con dos vértices correspondientes a las clases laterales H y H' = aH = bH = a ⁻¹ H = b ^{− 1} H , y dos bordes elevados para cada uno de los bordes del bucle original a , b . Contraer una de las aristas de Y da una equivalencia de homotopía a un ramo de tres círculos, de modo que H = π ₁ ( Y ) es un grupo libre en tres generadores, por ejemplo aa , ab , ba .

Una breve demostración del teorema de Nielsen-Schreier utiliza la topología algebraica de grupos fundamentales y espacios de cobertura . ^[1] Un grupo libre G en un conjunto de generadores es el grupo fundamental de un ramo de círculos , un grafo topológico X con un solo vértice y con un borde en bucle para cada generador. ^[6] Cualquier subgrupo H del grupo fundamental es en sí mismo el grupo fundamental de un espacio de cobertura conectado Y → X. El espacio Y es un gráfico topológico (posiblemente infinito), el gráfico de clases laterales de Schreier tiene un vértice para cada clase lateral en G/H . ^[7] En cualquier gráfico topológico conectado , es posible reducir los bordes de un árbol de expansión del gráfico, produciendo un ramo de círculos que tiene el mismo grupo fundamental H. Dado que H es el grupo fundamental de un ramo de círculos, él mismo es libre. ^[6]

La homología simple permite calcular el rango de H , que es igual a h ₁ ( Y ), el primer número de Betti del espacio de cobertura, el número de ciclos independientes. Para G libre de rango n , el gráfico X tiene n aristas y 1 vértice; suponiendo que H tiene un índice finito [ G  : H ] = e , el gráfico de cobertura Y tiene en aristas y e vértices. El primer número de Betti de un gráfico es igual al número de aristas, menos el número de vértices, más el número de componentes conectados; por tanto el rango de H es:

${\displaystyle h_{1}(Y)\,=\,en-e+1\,=\,1+e(n{-}1).}$

Esta prueba se debe a Reinhold Baer y Friedrich Levi  (1936); la prueba original de Schreier forma el gráfico de Schreier de una manera diferente como cociente del gráfico de Cayley de G módulo la acción de H. ^[8]

Según el lema del subgrupo de Schreier , se puede construir un conjunto de generadores para una presentación libre de H a partir de ciclos en el gráfico de cobertura formado al concatenar una ruta de árbol de expansión desde un punto base (la clase lateral de la identidad) a una de las clases laterales, una borde único que no es un árbol y una ruta de árbol de expansión inversa desde el otro punto final del borde hasta el punto base. ^{[9] [8]}

Fundamentos axiomáticos

Aunque se conocen varias demostraciones diferentes del teorema de Nielsen-Schreier, todas dependen del axioma de elección . En la demostración basada en grupos fundamentales de ramos, por ejemplo, el axioma de elección aparece bajo la forma de la afirmación de que todo grafo conexo tiene un árbol generador. El uso de este axioma es necesario, ya que existen modelos de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en los que el axioma de elección y el teorema de Nielsen-Schreier son ambos falsos. El teorema de Nielsen-Schreier, a su vez, implica una versión más débil del axioma de elección, para conjuntos finitos. ^{[10] [11]}

Historia

El teorema de Nielsen-Schreier es un análogo no abeliano de un resultado anterior de Richard Dedekind , de que todo subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre . ^[3]

Jakob Nielsen (1921) demostró originalmente una forma restringida del teorema, afirmando que cualquier subgrupo finitamente generado de un grupo libre es libre. Su prueba implica realizar una secuencia de transformaciones de Nielsen en el conjunto generador del subgrupo que reducen su longitud (como palabras reducidas en el grupo libre del que se extraen). ^{[1] [12]} Otto Schreier demostró el teorema de Nielsen-Schreier en toda su generalidad en su tesis de habilitación de 1926 , Die Untergruppen der freien Gruppe , también publicada en 1927 en Abh. matemáticas. Sem. Hamburgo. Univ. ^{[13] [14]}

La prueba topológica basada en grupos fundamentales de ramos de círculos se debe a Reinhold Baer y Friedrich Levi  (1936). Jean-Pierre Serre  (1970) publicó otra prueba topológica, basada en la teoría de Bass-Serre de acciones grupales en árboles . ^[15]

Ver también

• Teorema fundamental de los grupos cíclicos , un resultado similar para los grupos cíclicos que en el caso infinito puede verse como un caso especial del teorema de Nielsen-Schreier.
• Teorema del subgrupo de Kurosh

Notas

1. Stillwell (1993), sección 2.2.4, El teorema de Nielsen-Schreier, págs.
2. Magnus, Karrass y Solitar 1976, Corolario 2.9, p. 95.
3. Johnson (1980), Sección 2, El teorema de Nielsen-Schreier, págs.
4. Fried y Jardín (2008), pág. 355
5. Johnson (1997), ej. 15, pág. 12.
6. Stillwell (1993), Sección 2.1.8, Libertad de los generadores, p. 97.
7. Stillwell (1993), Sección 2.2.2, La propiedad del subgrupo, págs.
8. Bollobas, Bela (1998). "Capítulo VIII.1". Teoría de grafos moderna . Springer Verlag. pag. 262.ISBN​ 978-0-387-98488-9.
9. Stillwell (1993), Sección 2.2.6, Transversales de Schreier, págs.
10. Läuchli (1962)
11. Howard (1985).
12. Magnus, Karrass y Solitar 1976, sección 3.2, Un proceso de reducción, págs. 121-140.
13. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Otto Schreier", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
14. Hansen, Vagn Lundsgaard (1986), Jakob Nielsen, Artículos matemáticos recopilados: 1913-1932 , Birkhäuser, p. 117, ISBN 978-0-8176-3140-6.
15. Rotman (1995), El teorema de Nielsen-Schreier, págs.

Referencias

• Baer, ​​Reinhold ; Levi, Friedrich (1936), "Freie Produkte und ihre Untergruppen", Compositio Mathematica , 3 : 391–398.
• Frito, Michael D .; Jarden, Moshe (2008), Aritmética de campo , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11 (3.ª ed.), Springer-Verlag , pág. 70, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl  1145.12001.
• Howard, Paul E. (1985), "Subgrupos de un grupo libre y el axioma de elección", The Journal of Symbolic Logic , 50 (2): 458–467, doi :10.2307/2274234, JSTOR  2274234, MR  0793126, S2CID  33535673.
• Johnson, DL (1980), Temas de la teoría de las presentaciones grupales , serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 42, Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-23108-4.
• Johnson, DL (1997), Presentaciones de grupos , Textos de estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 15 (2ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58542-2.
• Läuchli, Hans (1962), "Auswahlaxiom in der Algebra", Commentarii Mathematici Helvetici , 37 : 1–18, doi :10.1007/bf02566957, hdl : 20.500.11850/131689 , MR  0143705, S2CID  186223589.
• Magnus, Guillermo ; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (1976), Teoría combinatoria de grupos (segunda edición revisada), Publicaciones de Dover.
• Nielsen, Jakob (1921), "Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien", Math. Tidsskrift B (en danés), 1921 : 78–94, JFM  48.0123.03.
• Rotman, Joseph J. (1995), Introducción a la teoría de grupos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 148 (4ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8.
• Serre, J.-P. (1970), Groupes Discretes , Extrait de I'Annuaire du College de France, París{{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace ).
• Serre, J.-P. (1980), Árboles , Springer-Verlag, ISBN 3-540-10103-9.
• Stillwell, John (1993), Topología clásica y teoría combinatoria de grupos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 72 (2ª ed.), Springer-Verlag.