Ecuación de Goldman

Generalización de la ecuación de Nernst para el potencial de membrana

La ecuación de voltaje de Goldman-Hodgkin-Katz , a veces llamada ecuación de Goldman , se utiliza en la fisiología de la membrana celular para determinar el potencial de reposo a través de la membrana de una célula, teniendo en cuenta todos los iones que pasan a través de esa membrana.

Los descubridores de esto son David E. Goldman, de la Universidad de Columbia , y los premios Nobel de Medicina Alan Lloyd Hodgkin y Bernard Katz .

Ecuación para iones monovalentes

La ecuación de voltaje GHK para especies iónicas positivas monovalentes y negativas: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle E_{m}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {out} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {in} }}{\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {in} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}$

Esto da como resultado lo siguiente si consideramos una membrana que separa dos soluciones: ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \mathrm {K} _{x}\mathrm {Na} _{1-x}\mathrm {Cl} }$

${\displaystyle E_{m,\mathrm {K} _{x}\mathrm {\text{Na}} _{1-x}\mathrm {Cl} }={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{-}]_{\mathrm {in} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}$

Es " similar a Nernst " pero tiene un término para cada ion permeable:

${\displaystyle E_{m,{\text{Na}}}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }}{[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}$

• ${\displaystyle E_{m}}$= el potencial de membrana (en voltios , equivalente a julios por culombio )
• ${\displaystyle P_{\mathrm {ion} }}$= la selectividad para ese ion (en metros por segundo)
• ${\displaystyle [\mathrm {ion} ]_{\mathrm {out} }}$= la concentración extracelular de ese ion (en moles por metro cúbico, para que coincida con las otras unidades del SI ) ^[4]
• ${\displaystyle [\mathrm {ion} ]_{\mathrm {in} }}$= la concentración intracelular de ese ion (en moles por metro cúbico) ^[4]
• ${\displaystyle R}$= la constante del gas ideal (julios por kelvin por mol) ^[4]
• ${\displaystyle T}$= la temperatura en kelvin ^[4]
• ${\displaystyle F}$= Constante de Faraday (culombios por mol)

${\displaystyle {\frac {RT}{F}}}$es aproximadamente 26,7 mV a la temperatura corporal humana (37 °C); al tener en cuenta la fórmula de cambio de base entre el logaritmo natural, ln, y el logaritmo con base 10 , se convierte en , un valor utilizado a menudo en neurociencia. ${\displaystyle ([\log _{10}\exp(1)]^{-1}=\ln(10)=2.30258...)}$ ${\displaystyle 26.7\,\mathrm {mV} \cdot 2.303=61.5\,\mathrm {mV} }$

${\displaystyle E_{X}=61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{+}]_{\mathrm {out} }}{[X^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}=-61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{-}]_{\mathrm {out} }}{[X^{-}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}$

La carga iónica determina el signo de la contribución del potencial de membrana. Durante un potencial de acción, aunque el potencial de membrana cambia aproximadamente 100 mV, las concentraciones de iones dentro y fuera de la célula no cambian significativamente. Siempre están muy cerca de sus respectivas concentraciones cuando la membrana está en su potencial de reposo.

Calcular el primer término

Usando , , (asumiendo la temperatura corporal) y el hecho de que un voltio es igual a un julio de energía por culombio de carga, la ecuación ${\displaystyle R\approx {\frac {8.3\ \mathrm {J} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {mol} }}}$ ${\displaystyle F\approx {\frac {9.6\times 10^{4}\ \mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {V} }}}$ ${\displaystyle T=37\ ^{\circ }\mathrm {C} =310\ \mathrm {K} }$

${\displaystyle E_{X}={\frac {RT}{zF}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}}$

se puede reducir a

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{X}&\approx {\frac {0.0267\ \mathrm {V} }{z}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}\\&={\frac {26.7\ \mathrm {mV} }{z}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}\\&\approx {\frac {61.5\ \mathrm {mV} }{z}}\log {\frac {X_{o}}{X_{i}}}&{\text{ since }}\ln 10\approx 2.303\end{aligned}}}$

cual es la ecuación de Nernst .

Derivación

La ecuación de Goldman busca determinar el voltaje Em a través de una membrana. ^[5] Se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas _para describir el sistema, con la dirección z perpendicular a la membrana. Suponiendo que el sistema es simétrico en las direcciones x e y (alrededor y a lo largo del axón, respectivamente), solo se debe considerar la dirección z ; _por lo tanto, el voltaje Em es la integral del componente z del campo eléctrico a través de la membrana.

Según el modelo de Goldman, sólo dos factores influyen en el movimiento de iones a través de una membrana permeable: el campo eléctrico medio y la diferencia de concentración iónica de un lado a otro de la membrana. Se supone que el campo eléctrico es constante a través de la membrana, de modo que puede establecerse como E _m / L , donde L es el espesor de la membrana. Para un ion dado denotado A con valencia n _A , su flujo j _A —en otras palabras, el número de iones que cruzan por tiempo y por área de la membrana— viene dado por la fórmula

${\displaystyle j_{\mathrm {A} }=-D_{\mathrm {A} }\left({\frac {d\left[\mathrm {A} \right]}{dz}}-{\frac {n_{\mathrm {A} }F}{RT}}{\frac {E_{m}}{L}}\left[\mathrm {A} \right]\right)}$

El primer término corresponde a la ley de difusión de Fick , que da el flujo debido a la difusión a lo largo del gradiente de concentración , es decir, de alta a baja concentración. La constante D _A es la constante de difusión del ion A. El segundo término refleja el flujo debido al campo eléctrico, que aumenta linealmente con el campo eléctrico; Formalmente, es [A] multiplicado por la velocidad de deriva de los iones, con la velocidad de deriva expresada utilizando la relación de Stokes-Einstein aplicada a la movilidad electroforética . Las constantes aquí son la valencia de carga n _A del ion A (por ejemplo, +1 para K ⁺ , +2 para Ca ²⁺ y −1 para Cl ⁻ ), la temperatura T (en kelvins ), la constante molar de los gases R , y la F de Faraday , que es la carga total de un mol de electrones .

Esta es una EDO de primer orden de la forma y' = ay + b , con y = [A] y y' = d[A]/d z ; integrando ambos lados desde z = 0 hasta z = L con las condiciones de contorno [A](0) = [A] _{de entrada} y [A]( L ) = [A] _{de salida} , se obtiene la solución

${\displaystyle j_{\mathrm {A} }=\mu n_{\mathrm {A} }P_{\mathrm {A} }{\frac {\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {out} }-\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {in} }e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}{1-e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}}}$

donde μ es un número adimensional

${\displaystyle \mu ={\frac {FE_{m}}{RT}}}$

y P _A es la permeabilidad iónica, definida aquí como

${\displaystyle P_{\mathrm {A} }={\frac {D_{\mathrm {A} }}{L}}}$

La densidad de corriente eléctrica J _A es igual a la carga q _A del ion multiplicada por el flujo j _A

${\displaystyle J_{A}=q_{\mathrm {A} }j_{\mathrm {A} }}$

La densidad de corriente se expresa en unidades de (amperios/m2 ⁾ . El flujo molar se expresa en unidades de (mol/(sm2 ⁾ ). Por lo tanto, para obtener la densidad de corriente a partir del flujo molar, es necesario multiplicarlo por la constante de Faraday F (culombios/mol). F se cancelará en la siguiente ecuación. Como ya se ha tenido en cuenta la valencia anteriormente, la carga q _A de cada ion en la ecuación anterior debe interpretarse como +1 o -1, dependiendo de la polaridad del ion.

Existe una corriente asociada con cada tipo de ion que puede atravesar la membrana; esto se debe a que cada tipo de ion requeriría un potencial de membrana distinto para equilibrar la difusión, pero solo puede haber un potencial de membrana. Por suposición, en el voltaje de Goldman E _m , la densidad de corriente total es cero

${\displaystyle J_{tot}=\sum _{A}J_{A}=0}$

(Aunque la corriente para cada tipo de ion considerado aquí no es cero, hay otras bombas en la membrana, por ejemplo, Na ⁺ /K ⁺ -ATPasa , no consideradas aquí, que sirven para equilibrar la corriente de cada ion individual, de modo que las concentraciones de iones en ambos lados de la membrana no cambien con el tiempo en equilibrio). Si todos los iones son monovalentes, es decir, si todos los n _A son iguales a +1 o -1, esta ecuación se puede escribir

${\displaystyle w-ve^{\mu }=0}$

cuya solución es la ecuación de Goldman

${\displaystyle {\frac {FE_{m}}{RT}}=\mu =\ln {\frac {w}{v}}}$

dónde

${\displaystyle w=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {out} }+\sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle v=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {in} }+\sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {out} }}$

Si se consideran iones divalentes como el calcio , aparecen términos como e ^2μ , que es el cuadrado de e ^μ ; en este caso, la fórmula de la ecuación de Goldman se puede resolver mediante la fórmula cuadrática .

Véase también

• Bioelectrónica
• Teoría del cable
• Ecuación actual de GHK
• Modelo Hindmarsh-Rose
• Modelo de Hodgkin-Huxley
• Modelo de Morris-Lecar
• Ecuación de Nernst
• Conducción saltatoria

Referencias

1. Enderle, John (1 de enero de 2005), Enderle, John D.; Blanchard, Susan M.; Bronzino, Joseph D. (eds.), "Fenómenos bioeléctricos", Introducción a la ingeniería biomédica (segunda edición) , Ingeniería biomédica, Boston: Academic Press, págs. 627–691, doi :10.1016/b978-0-12-238662-6.50013-6, ISBN 978-0-12-238662-6, consultado el 23 de octubre de 2020
2. Reuss, Luis (1 de enero de 2008), Alpern, Robert J.; Hebert, Steven C. (eds.), "Capítulo 2: Mecanismos de transporte de iones a través de las membranas celulares y los epitelios", Seldin y Giebisch's The Kidney (cuarta edición) , San Diego: Academic Press, págs. 35-56, doi :10.1016/b978-012088488-9.50005-x, ISBN 978-0-12-088488-9, consultado el 23 de octubre de 2020
3. Enderle, John D. (1 de enero de 2012), Enderle, John D.; Bronzino, Joseph D. (eds.), "Capítulo 12 – Fenómenos bioeléctricos", Introducción a la ingeniería biomédica (tercera edición) , Ingeniería biomédica, Boston: Academic Press, págs. 747–815, doi :10.1016/b978-0-12-374979-6.00012-5, ISBN 978-0-12-374979-6, consultado el 23 de octubre de 2020
4. Bhadra, Narendra (1 de enero de 2015), Kilgore, Kevin (ed.), "2 - Principios fisiológicos de la estimulación eléctrica", Neuroprótesis implantables para restaurar la función , Woodhead Publishing Series in Biomaterials, Woodhead Publishing, págs. 13-43, doi :10.1016/b978-1-78242-101-6.00002-1, ISBN 978-1-78242-101-6, consultado el 23 de octubre de 2020
5. Junge D (1981). Excitación nerviosa y muscular (2.ª ed.). Sunderland, Massachusetts: Sinauer Associates. págs. 33-37. ISBN 0-87893-410-3.

Enlaces externos

• Fenómenos de membrana subumbral Incluye una derivación bien explicada de la ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz
• Simulador de ecuaciones de Nernst/Goldman Archivado el 8 de agosto de 2010 en Wayback Machine.
• Calculadora de la ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz
• Subprograma Java interactivo de Nernst/Goldman El voltaje de la membrana se calcula de forma interactiva a medida que cambia el número de iones entre el interior y el exterior de la célula.
• Potencial, impedancia y rectificación en membranas de Goldman (1943)