El modelo de Hindmarsh-Rose de la actividad neuronal tiene como objetivo estudiar el comportamiento de descarga -descarga del potencial de membrana observado en experimentos realizados con una sola neurona. La variable relevante es el potencial de membrana, x ( t ), que se escribe en unidades adimensionales . Hay dos variables más, y ( t ) y z ( t ), que tienen en cuenta el transporte de iones a través de la membrana mediante los canales iónicos . El transporte de iones de sodio y potasio se realiza a través de canales iónicos rápidos y su velocidad se mide por y ( t ), que se denomina variable de descarga. z ( t ) corresponde a una corriente de adaptación , que se incrementa en cada descarga, lo que lleva a una disminución en la tasa de descarga. Entonces, el modelo de Hindmarsh-Rose tiene la forma matemática de un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales sobre las variables dinámicas adimensionales x ( t ), y ( t ), y z ( t ). Dicen:
dónde
El modelo tiene ocho parámetros: a , b , c , d , r , s , x R e I . Es común fijar algunos de ellos y dejar que los demás sean parámetros de control. Normalmente el parámetro I , que significa la corriente que entra en la neurona, se toma como parámetro de control. Otros parámetros de control utilizados a menudo en la literatura son a , b , c , d o r , los primeros cuatro modelan el funcionamiento de los canales iónicos rápidos y el último los canales iónicos lentos, respectivamente. Con frecuencia, los parámetros que se mantienen fijos son s = 4 y x R = -8/5. Cuando a , b , c , d son fijos, los valores dados son a = 1, b = 3, c = 1 y d = 5. El parámetro r gobierna la escala de tiempo de la adaptación neuronal y es algo del orden de 10 −3 , e I varía entre −10 y 10.
La tercera ecuación de estado:
permite una gran variedad de comportamientos dinámicos del potencial de membrana, descritos por la variable x, incluido un comportamiento impredecible, que se conoce como dinámica caótica . Esto hace que el modelo de Hindmarsh-Rose sea relativamente simple y proporcione una buena descripción cualitativa de los muchos patrones diferentes que se observan empíricamente.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y+\phi (x)-z+I,\\{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x)-y,\\{\frac {dz}{dt}}&=r[s(x-x_{R})-z],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09b646dc48b5bbd1f1f5bed50f9b05985e3d90b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dz}{dt}}&=r[s(x-x_{R})-z],\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cbdb3107720874c7ae0e1b6fadd2c5ddab9d22c)