Isomorfismo de Satake

En matemáticas, el isomorfismo de Satake , introducido por Ichirō Satake  (1963), identifica el álgebra de Hecke de un grupo reductivo sobre un cuerpo local con un anillo de invariantes del grupo de Weyl . La equivalencia geométrica de Satake es una versión geométrica del isomorfismo de Satake, demostrada por Ivan Mirković y Kari Vilonen  (2007).

Declaración

Isomorfismo clásico de Satake . Sea un grupo algebraico semisimple , sea un cuerpo local no arquimediano y sea su anillo de enteros. Es fácil ver que es un grassmanniano . Para simplificar, podemos pensar que y , para un número primo; en este caso, es una variedad algebraica de dimensión infinita (Ginzburg 2000). Se denota la categoría de todas las funciones esféricas soportadas de forma compacta en biinvariante bajo la acción de como , el cuerpo de números complejos, que es un álgebra de Hecke y también puede tratarse como un esquema de grupo sobre . Sea el toro máximo de , sea el grupo de Weyl de . Se puede asociar una variedad de cocarácter a . Sea el conjunto de todos los cocarácteres de , es decir . La variedad de cocarácter es básicamente el esquema de grupo creado añadiendo los elementos de como variables a , es decir . Hay una acción natural de sobre la variedad de cocarácter , inducida por la acción natural de sobre . Entonces el isomorfismo de Satake es un isomorfismo algebraico de la categoría de funciones esféricas a la parte -invariante de la variedad cocarácter antes mencionada. En fórmulas: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle Gr=G(K)/G(O)}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((x))}$ ${\displaystyle O=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} [[x]]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Gr}$ ${\displaystyle G(K)}$ ${\displaystyle G(O)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{c}[G(O)\backslash G(K)/G(O)]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle T(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X_{*}(T(\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle T(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X_{*}(T(\mathbb {C} ))=\mathrm {Hom} (\mathbb {C} ^{*},T(\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle X_{*}(T(\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))=\mathbb {C} [X_{*}(T(\mathbb {C} ))]}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \mathbb {C} _{c}[G(O)\backslash G(K)/G(O)]\quad \xrightarrow {\sim } \quad \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))^{W}}$.

Isomorfismo geométrico de Satake . Como dijo Ginzburg (Ginzburg 2000), "geométrico" significa teoría de haces. Para obtener la versión geométrica del isomorfismo de Satake, hay que cambiar la parte izquierda del isomorfismo, utilizando el grupo de Grothendieck de la categoría de haces perversos en para reemplazar la categoría de funciones esféricas ; el reemplazo es de facto un isomorfismo algebraico sobre (Ginzburg 2000). También hay que reemplazar el lado derecho del isomorfismo por el grupo de Grothendieck de representaciones complejas de dimensión finita del dual de Langlands de ; el reemplazo es también un isomorfismo algebraico sobre (Ginzburg 2000). Sea la categoría de haces perversos en . Entonces, el isomorfismo geométrico de Satake es ${\displaystyle Gr}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {}^{L}G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {Perv} (Gr)}$ ${\displaystyle Gr}$

${\displaystyle K(\mathrm {Perv} (Gr))\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \quad \xrightarrow {\sim } \quad K(\mathrm {Rep} ({}^{L}G))\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$,

donde in representa el grupo de Grothendieck . Esto se puede simplificar obviamente a ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(\mathrm {Rep} ({}^{L}G))}$

${\displaystyle \mathrm {Perv} (Gr)\quad \xrightarrow {\sim } \quad \mathrm {Rep} ({}^{L}G)}$,

lo cual es a fortiori una equivalencia de las categorías tannakianas (Ginzburg 2000).

Notas

Referencias

• Gross, Benedict H. (1998), "Sobre el isomorfismo de Satake", Representaciones de Galois en geometría algebraica aritmética (Durham, 1996) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 254, Cambridge University Press , págs. 223–237, doi :10.1017/CBO9780511662010.006, ISBN 9780521644198, Sr.  1696481
• Mirković, Ivan; Vilonen, Kari (2007), "Dualidad geométrica de Langlands y representaciones de grupos algebraicos sobre anillos conmutativos", Annals of Mathematics , Segunda serie, 166 (1): 95–143, arXiv : math/0401222 , doi :10.4007/annals.2007.166.95, ISSN  0003-486X, MR  2342692, S2CID  14127684
• Satake, Ichirō (1963), "Teoría de funciones esféricas en grupos algebraicos reductivos sobre cuerpos p-ádicos", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 18 (18): 5–69, doi :10.1007/BF02684781, ISSN  1618-1913, MR  0195863, S2CID  4666554
• Ginzburg, Victor (2000). "Haces perversos en un grupo de bucles y dualidad de Langlands". arXiv : alg-geom/9511007 .