Geometría de Ruppeiner

La geometría de Ruppeiner es una geometría termodinámica (un tipo de geometría de la información ) que utiliza el lenguaje de la geometría de Riemann para estudiar la termodinámica . George Ruppeiner la propuso en 1979. Afirmó que los sistemas termodinámicos pueden representarse mediante la geometría de Riemann y que las propiedades estadísticas pueden derivarse del modelo.

Este modelo geométrico se basa en la inclusión de la teoría de fluctuaciones en los axiomas de la termodinámica del equilibrio , es decir, existen estados de equilibrio que pueden representarse mediante puntos en superficies bidimensionales (variedades) y la distancia entre estos estados de equilibrio está relacionada con la fluctuación entre ellos. Este concepto está asociado a probabilidades, es decir, cuanto menos probable sea una fluctuación entre estados, más alejados están. Esto se puede reconocer si se considera el tensor métrico g _ij en la fórmula de la distancia (elemento de línea) entre los dos estados de equilibrio.

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}^{R}dx^{i}dx^{j},\,}$

donde la matriz de coeficientes g _ij es el tensor métrico simétrico que se llama métrica de Ruppeiner , definida como un hessiano negativo de la función de entropía

${\displaystyle g_{ij}^{R}=-\partial _{i}\partial _{j}S(U,N^{a})}$

donde U es la energía interna (masa) del sistema y N ^a se refiere a los parámetros extensivos del sistema. Matemáticamente, la geometría de Ruppeiner es un tipo particular de geometría de información y es similar a la métrica de Fisher-Rao utilizada en estadística matemática.

La métrica de Ruppeiner puede entenderse como el límite termodinámico (límite de sistemas grandes) de la métrica de información de Fisher más general . ^[1] Para sistemas pequeños (sistemas donde las fluctuaciones son grandes), la métrica de Ruppeiner puede no existir, ya que no se garantiza que las segundas derivadas de la entropía sean no negativas.

La métrica de Ruppeiner está relacionada conformemente con la métrica de Weinhold a través de

${\displaystyle ds_{R}^{2}={\frac {1}{T}}ds_{W}^{2}\,}$

donde T es la temperatura del sistema en consideración. La demostración de la relación conforme se puede hacer fácilmente si se escribe la primera ley de la termodinámica ( dU = TdS + ...) en forma diferencial con unas pocas manipulaciones. La geometría de Weinhold también se considera una geometría termodinámica. Se define como una hessiana de la energía interna con respecto a la entropía y otros parámetros extensivos.

${\displaystyle g_{ij}^{W}=\partial _{i}\partial _{j}U(S,N^{a})}$

Desde hace tiempo se ha observado que la métrica de Ruppeiner es plana para sistemas con mecánicas estadísticas subyacentes que no interactúan, como el gas ideal. Las singularidades de curvatura indican comportamientos críticos. Además, se ha aplicado a varios sistemas estadísticos, incluido el gas de Van der Waals . Recientemente, se ha estudiado el gas Anyon utilizando este enfoque.

Aplicación a sistemas de agujeros negros

Esta geometría se ha aplicado a la termodinámica de los agujeros negros , con algunos resultados físicamente relevantes. El caso más significativo desde el punto de vista físico es el del agujero negro de Kerr en dimensiones superiores, donde la singularidad de la curvatura indica inestabilidad termodinámica, como se había descubierto anteriormente con métodos convencionales.

La entropía de un agujero negro viene dada por la conocida fórmula de Bekenstein-Hawking

${\displaystyle S={\frac {k_{\text{B}}c^{3}A}{4G\hbar }}}$

donde es la constante de Boltzmann , es la velocidad de la luz , es la constante de gravitación newtoniana y es el área del horizonte de sucesos del agujero negro. Calcular la geometría de Ruppeiner de la entropía del agujero negro es, en principio, sencillo, pero es importante que la entropía se escriba en términos de parámetros extensivos, ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle S=S(M,N^{a})}$

donde ADM es la masa del agujero negro y N ^a son las cargas conservadas y a va de 1 a n . La firma de la métrica refleja el signo del calor específico del agujero . Para un agujero negro de Reissner-Nordström , la métrica de Ruppeiner tiene una firma lorentziana que corresponde a la capacidad calorífica negativa que posee, mientras que para el agujero negro BTZ , tenemos una firma euclidiana . Este cálculo no se puede realizar para el agujero negro de Schwarzschild, porque su entropía es ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S=S(M)}$

lo que hace que la métrica sea degenerada.

Referencias

1. Crooks, Gavin E. (2007). "Medición de la longitud termodinámica". Phys. Rev. Lett . 99 : 100602. arXiv : 0706.0559 . Código Bibliográfico :2007PhRvL..99j0602C. doi :10.1103/PhysRevLett.99.100602.

• Ruppeiner, George (1995). "Geometría riemanniana en la teoría de fluctuaciones termodinámicas". Reseñas de Física Moderna . 67 (3): 605–659. Bibcode :1995RvMP...67..605R. doi :10.1103/RevModPhys.67.605..
• Åman, John E.; Bengtsson, Ingemar; Pidokrajt, Narit; Ward, John (2008). "Geometrías termodinámicas de agujeros negros". La undécima reunión de Marcel Grossmann . págs. 1511–1513. doi :10.1142/9789812834300_0182.