Geodésicas como flujos hamiltonianos

En matemáticas , las ecuaciones geodésicas son ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden , y se presentan comúnmente en forma de ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange . Sin embargo, también pueden presentarse como un conjunto de ecuaciones acopladas de primer orden, en forma de ecuaciones de Hamilton . Esta última formulación se desarrolla en este artículo.

Descripción general

Con frecuencia se dice que las geodésicas son "líneas rectas en el espacio curvo". Si se utiliza el enfoque de Hamilton-Jacobi para la ecuación geodésica , se puede dar a esta afirmación un significado muy intuitivo: las geodésicas describen los movimientos de partículas que no experimentan ninguna fuerza. En el espacio plano, es bien sabido que una partícula que se mueve en línea recta seguirá moviéndose en línea recta si no experimenta fuerzas externas; esta es la primera ley de Newton . Se sabe bien que el hamiltoniano que describe dicho movimiento es donde p es el momento . Es la conservación del momento lo que conduce al movimiento rectilíneo de una partícula. En una superficie curva, están en juego exactamente las mismas ideas, excepto que, para medir las distancias correctamente, se debe utilizar la métrica de Riemann . Para medir los momentos correctamente, se debe utilizar la inversa de la métrica. El movimiento de una partícula libre en una superficie curva todavía tiene exactamente la misma forma que antes, es decir, consiste enteramente en un término cinético . El movimiento resultante sigue siendo, en cierto sentido, una "línea recta", por lo que a veces se dice que las geodésicas son "líneas rectas en el espacio curvo". Esta idea se desarrolla con mayor detalle a continuación. ${\displaystyle H=p^{2}/2m}$

La geodésica como aplicación del principio de mínima acción

Dada una variedad ( pseudo- ) riemanniana M , una geodésica puede definirse como la curva que resulta de la aplicación del principio de mínima acción . Se puede derivar una ecuación diferencial que describa su forma, utilizando principios variacionales , minimizando (o encontrando el extremo) de la energía de una curva. Dada una curva suave

${\displaystyle \gamma :I\to M}$

que mapea un intervalo I de la recta de números reales a la variedad M , se escribe la energía

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{I}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt,}$

donde es el vector tangente a la curva en el punto . Aquí, es el tensor métrico en la variedad M . ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\in I}$ ${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$

Utilizando la energía dada anteriormente como la acción, se puede optar por resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange o las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . Ambos métodos dan como solución la ecuación geodésica ; sin embargo, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi proporcionan una mayor comprensión de la estructura de la variedad, como se muestra a continuación. En términos de las coordenadas locales en M , la ecuación geodésica (de Euler-Lagrange) es

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{a}}{dt^{2}}}+\Gamma _{bc}^{a}{\frac {dx^{b}}{dt}}{\frac {dx^{c}}{dt}}=0}$

donde x ^a ( t ) son las coordenadas de la curva γ( t ), son los símbolos de Christoffel y los índices repetidos implican el uso de la convención de suma . ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}}$

Enfoque hamiltoniano de las ecuaciones geodésicas

Las geodésicas pueden entenderse como flujos hamiltonianos de un campo vectorial hamiltoniano especial definido en el espacio cotangente de la variedad. El hamiltoniano se construye a partir de la métrica de la variedad y, por lo tanto, es una forma cuadrática que consiste enteramente en el término cinético .

Las ecuaciones geodésicas son ecuaciones diferenciales de segundo orden; pueden reexpresarse como ecuaciones de primer orden introduciendo variables independientes adicionales, como se muestra a continuación. Nótese que una vecindad de coordenadas U con coordenadas x _a induce una trivialización local de

${\displaystyle T^{*}M|_{U}\simeq U\times \mathbb {R} ^{n}}$

por el mapa que envía un punto

${\displaystyle \eta \in T_{x}^{*}M|_{U}}$

de la forma hasta el punto . Luego introduzca el hamiltoniano como ${\displaystyle \eta =p_{a}dx^{a}}$ ${\displaystyle (x,p_{a})\in U\times \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H(x,p)={\frac {1}{2}}g^{ab}(x)p_{a}p_{b}.}$

Aquí, g ^ab ( x ) es la inversa del tensor métrico : g ^ab ( x ) g _bc ( x ) = . El comportamiento del tensor métrico bajo transformaciones de coordenadas implica que H es invariante bajo un cambio de variable. Las ecuaciones geodésicas pueden entonces escribirse como ${\displaystyle \delta _{c}^{a}}$

${\displaystyle {\dot {x}}^{a}={\frac {\partial H}{\partial p_{a}}}=g^{ab}(x)p_{b}}$

y

${\displaystyle {\dot {p}}_{a}=-{\frac {\partial H}{\partial x^{a}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{bc}(x)}{\partial x^{a}}}p_{b}p_{c}.}$

El flujo determinado por estas ecuaciones se denomina flujo cogeodésico ; una simple sustitución de una en la otra da como resultado las ecuaciones de Euler-Lagrange, que dan el flujo geodésico en el fibrado tangente TM . Las líneas geodésicas son las proyecciones de las curvas integrales del flujo geodésico sobre la variedad M. Este es un flujo hamiltoniano y el hamiltoniano es constante a lo largo de las geodésicas:

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial x^{a}}}{\dot {x}}^{a}+{\frac {\partial H}{\partial p_{a}}}{\dot {p}}_{a}=-{\dot {p}}_{a}{\dot {x}}^{a}+{\dot {x}}^{a}{\dot {p}}_{a}=0.}$

Así, el flujo geodésico divide el haz cotangente en conjuntos de niveles de energía constante.

${\displaystyle M_{E}=\{(x,p)\in T^{*}M:H(x,p)=E\}}$

para cada energía E ≥ 0, de modo que

${\displaystyle T^{*}M=\bigcup _{E\geq 0}M_{E}}$.

Referencias

• Terence Tao, The Euler-Arnold Equation , 2010: http://terrytao.wordpress.com/2010/06/07/the-euler-arnold-equation/ Véase la discusión al principio
• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN  0-8053-0102-X Véase la sección 2.7 .
• BA Dubrovin, AT Fomenko y SP Novikov, Geometría moderna: métodos y aplicaciones, parte I , (1984) Springer-Verlag, Berlín ISBN 0-387-90872-2 Véase el capítulo 5, en particular la sección 33 .