Teoría de la gravitación de calibre

Intento de extender la teoría de Yang-Mills a la gravedad

En la teoría cuántica de campos , la teoría de la gravitación de calibre es el esfuerzo por extender la teoría de Yang-Mills , que proporciona una descripción universal de las interacciones fundamentales, para describir la gravedad .

La teoría de la gravitación de calibre no debe confundirse con la teoría de la gravedad de calibre , que tiene un nombre similar y que es una formulación de la gravitación (clásica) en el lenguaje del álgebra geométrica . Tampoco debe confundirse con la teoría de Kaluza-Klein , en la que los campos de calibre se utilizan para describir los campos de partículas, pero no la gravedad en sí.

Descripción general

El primer modelo de calibración de la gravedad fue sugerido por Ryoyu Utiyama (1916-1990) en 1956 ^[1], apenas dos años después del nacimiento de la propia teoría de calibración . ^[2] Sin embargo, los intentos iniciales de construir la teoría de calibración de la gravedad por analogía con los modelos de calibración de simetrías internas se encontraron con el problema de tratar las transformaciones covariantes generales y establecer el estado de calibración de una métrica pseudo-riemanniana (un campo de tétrada).

Para superar este inconveniente, se intentó representar los campos de tétrada como campos de calibración del grupo de traducción. ^[3] Los generadores infinitesimales de transformaciones covariantes generales se consideraron como aquellos del grupo de calibración de traducción, y un campo de tétrada (coframe) se identificó con la parte de traducción de una conexión afín en una variedad mundial . Cualquier conexión de este tipo es una suma de una conexión mundial lineal y una forma de soldadura donde es un marco no holonómico . Por ejemplo, si es la conexión de Cartan , entonces es la forma de soldadura canónica en . Existen diferentes interpretaciones físicas de la parte de traducción de las conexiones afines . En la teoría de calibración de dislocaciones , un campo describe una distorsión. ^[4] Al mismo tiempo, dado un marco lineal , la descomposición motiva a muchos autores a tratar un coframe como un campo de calibración de traducción. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K=\Gamma +\Theta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Theta =\Theta _{\mu }^{a}dx^{\mu }\otimes \vartheta _{a}}$ ${\displaystyle \vartheta _{a}=\vartheta _{a}^{\lambda }\partial _{\lambda }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Theta =\theta =dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \vartheta _{a}}$ ${\displaystyle \theta =\vartheta ^{a}\otimes \vartheta _{a}}$ ${\displaystyle \vartheta ^{a}}$

Las dificultades para construir la teoría de la gravitación de calibración por analogía con la de Yang-Mills resultan de que las transformaciones de calibración en estas teorías pertenecen a diferentes clases. En el caso de las simetrías internas, las transformaciones de calibración son simplemente automorfismos verticales de un fibrado principal que deja su base fija. Por otro lado, la teoría de la gravitación se construye sobre el fibrado principal de los marcos tangentes a . Pertenece a la categoría de fibrados naturales para los cuales los difeomorfismos de la base dan lugar canónicamente a automorfismos de T . ^[6] Estos automorfismos se denominan transformaciones covariantes generales. Las transformaciones covariantes generales son suficientes para reformular la relatividad general de Einstein y la teoría de la gravitación métrica-afín como las de calibración. ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle FX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\to X}$ ${\displaystyle X}$

En términos de la teoría de calibre sobre fibrados naturales, los campos de calibre son conexiones lineales en una variedad de mundos , definidas como conexiones principales en el fibrado de marco lineal , y un campo gravitacional métrico (tétrada) juega el papel de un campo de Higgs responsable de la ruptura espontánea de la simetría de las transformaciones covariantes generales. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle FX}$

La ruptura espontánea de simetría es un efecto cuántico cuando el vacío no es invariante bajo el grupo de transformación. En la teoría de gauge clásica, la ruptura espontánea de simetría ocurre si el grupo de estructura de un fibrado principal es reducible a un subgrupo cerrado , es decir, existe un subfibrado principal de con el grupo de estructura . ^[8] En virtud del conocido teorema, existe una correspondencia biunívoca entre los subfibrados principales reducidos de con el grupo de estructura y las secciones globales del fibrado cociente P / H → X . Estas secciones se tratan como campos de Higgs clásicos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$

La idea de la métrica pseudo-Riemanniana como un campo de Higgs apareció mientras se construían representaciones no lineales (inducidas) del grupo lineal general GL(4, R ) , del cual el grupo de Lorentz es un subgrupo de Cartan. ^[9] El principio de equivalencia geométrica que postula la existencia de un marco de referencia en el cual los invariantes de Lorentz están definidos en toda la variedad del mundo es la justificación teórica para la reducción del grupo de estructura GL(4, R ) del fibrado de marco lineal FX al grupo de Lorentz . Entonces la propia definición de una métrica pseudo-Riemanniana en una variedad como una sección global del fibrado cociente FX / O(1, 3) → X conduce a su interpretación física como un campo de Higgs . La razón física para la ruptura de la simetría del mundo es la existencia de materia de fermiones de Dirac, cuyo grupo de simetría es la cubierta universal de dos láminas SL(2, C ) del grupo de Lorentz restringido, SO ⁺ (1, 3) . ^[10] ${\displaystyle X}$

Véase también

• Variables de Ashtekar
• Teoría de la gravitación métrica-afín
• Teoría de Einstein-Cartan
• Ruptura espontánea de simetría
• Teleparalelismo
• Reducción del grupo de estructura
• Campo de Higgs (clásico)
• Transformaciones covariantes generales
• Principio de equivalencia (geométrico)
• Teoría de calibres afines
• Teorías clásicas de campos unificados

Referencias

1. Utiyama, R. (1956). "Interpretación teórica invariante de la interacción". Physical Review . 101 : 1597. doi :10.1103/PhysRev.101.1597.
2. Blagojević, Milutin; Hehl, Friedrich W. (2013). Teorías de la gravitación basadas en indicadores: una lectura con comentarios . World Scientific. ISBN 978-184-8167-26-1.
3. Hehl, F.; McCrea, J.; Mielke, E.; Ne'eman, Y. (1995). "Teoría de la gravedad de calibración métrica-afín: ecuaciones de campo, identidades de Noether, espinores del mundo y ruptura de la invariancia del dilatón". Physics Reports . 258 : 1. arXiv : gr-qc/9402012 . doi :10.1016/0370-1573(94)00111-F.
4. Malyshev, C. (2000). "Funciones de tensión de dislocación a partir de las ecuaciones de calibre T (3) de doble rizo: linealidad y más allá". Anales de Física . 286 : 249. arXiv : cond-mat/9901316 . doi :10.1006/aphy.2000.6088.
5. Blagojević, M. (2002). Gravitación y simetrías de calibre . Bristol, Reino Unido: IOP Publishing.
6. Kolář, I.; Michor, P. W.; Slovák, J. (1993). Operaciones naturales en geometría diferencial . Berlín y Heidelberg: Springer-Verlag.
7. Ivanenko, D. ; Sardanashvily, G. (1983). "El tratamiento gauge de la gravedad". Physics Reports . 94 : 1. doi :10.1016/0370-1573(83)90046-7.
8. Nikolova, L.; Rizov, V. (1984). "Enfoque geométrico para la reducción de teorías de calibración con simetrías rotas espontáneas". Reports on Mathematical Physics . 20 : 287. doi :10.1016/0034-4877(84)90039-9.
9. Leclerc, M. (2006). "El sector de Higgs de las teorías de calibración gravitacional". Anales de Física . 321 : 708. arXiv : gr-qc/0502005 . doi :10.1016/j.aop.2005.08.009.
10. Sardanashvily, G. ; Zakharov, O. (1992). Teoría de la gravitación gauge . Singapur: World Scientific.

Bibliografía

• Kirsch, I. (2005). "Un mecanismo de Higgs para la gravedad". Phys. Rev. D. 72 : 024001. arXiv : hep-th/0503024 .

• Sardanashvily, G. (2011). "Teoría clásica de la gravitación de calibre". Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 8 : 1869–1895. arXiv : 1110.1176 .

• Obukhov, Yu. (2006). "Gravedad de calibre de Poincaré: temas seleccionados". Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 3 : 95–138. arXiv : gr-qc/0601090 .