Función zeta de Ihara

En matemáticas , la función zeta de Ihara es una función zeta asociada a un grafo finito . Se parece mucho a la función zeta de Selberg y se utiliza para relacionar paseos cerrados con el espectro de la matriz de adyacencia . La función zeta de Ihara fue definida por primera vez por Yasutaka Ihara en la década de 1960 en el contexto de subgrupos discretos del grupo lineal especial p-ádico de dos por dos . Jean-Pierre Serre sugirió en su libro Trees que la definición original de Ihara puede reinterpretarse de manera gráfica. Fue Toshikazu Sunada quien puso en práctica esta sugerencia en 1985. Como observó Sunada, un grafo regular es un grafo de Ramanujan si y solo si su función zeta de Ihara satisface un análogo de la hipótesis de Riemann . ^[1]

Definición

La función zeta de Ihara se define como la continuación analítica del producto infinito

${\displaystyle \zeta _{G}(u)=\prod _{p}{\frac {1}{1-u^{{L}(p)}}},}$

donde L ( p ) es la longitud de . El producto en la definición se toma sobre todas las geodésicas cerradas primos del grafo , donde las geodésicas que difieren por una rotación cíclica se consideran iguales. Una geodésica cerrada sobre (conocida en teoría de grafos como un " paseo cerrado reducido "; no es una geodésica de grafo) es una secuencia finita de vértices tal que ${\displaystyle L(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p=(v_{0},\ldots ,v_{k-1})}$

${\displaystyle (v_{i},v_{(i+1){\bmod {k}}})\in E,}$

${\displaystyle v_{i}\neq v_{(i+2){\bmod {k}}}.}$

El entero es la longitud . La geodésica cerrada es prima si no se puede obtener repitiendo una geodésica cerrada veces, para un entero . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m>1}$

Esta formulación de teoría de grafos se debe a Sunada.

La fórmula de Ihara

Ihara (y Sunada en el contexto de la teoría de grafos) demostraron que para los grafos regulares la función zeta es una función racional. Si es un grafo regular con matriz de adyacencia entonces ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle q+1}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{(1-u^{2})^{r(G)-1}\det(I-Au+qu^{2}I)}},}$

¿Dónde está el rango del circuito de ? Si está conexo y tiene vértices, . ${\displaystyle r(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r(G)-1=(q-1)n/2}$

La función zeta de Ihara es, de hecho, siempre el recíproco de un polinomio gráfico :

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}~,}$

¿Dónde está el operador de adyacencia de Ki-ichiro Hashimoto? Hyman Bass dio una fórmula determinante que involucra al operador de adyacencia. ${\displaystyle T}$

Aplicaciones

La función zeta de Ihara juega un papel importante en el estudio de grupos libres , teoría de grafos espectrales y sistemas dinámicos , especialmente dinámica simbólica , donde la función zeta de Ihara es un ejemplo de una función zeta de Ruelle . ^[3]

Referencias

1. Terras (1999) pág. 678
2. Terras (1999) pág. 677
3. Terras (2010) pág. 29

• Ihara, Yasutaka (1966). "Sobre subgrupos discretos del grupo lineal proyectivo dos por dos sobre cuerpos p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -ádicos". Revista de la Sociedad Matemática de Japón . 18 : 219–235. doi : 10.2969/jmsj/01830219 . MR  0223463. Zbl  0158.27702.
• Sunada, Toshikazu (1986). "Funciones L en geometría y algunas aplicaciones". Curvatura y topología de variedades de Riemann . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 1201. págs. 266–284. doi :10.1007/BFb0075662. ISBN. 978-3-540-16770-9.Zbl 0605.58046  .
• Bass, Hyman (1992). "La función zeta de Ihara-Selberg de un retículo de árbol". Revista Internacional de Matemáticas . 3 (6): 717–797. doi :10.1142/S0129167X92000357. MR  1194071. Zbl  0767.11025.
• Stark, Harold M. (1999). "Funciones zeta de grafos con trayectorias múltiples". En Hejhal, Dennis A. ; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C. ; et al. (eds.). Aplicaciones emergentes de la teoría de números . IMA Vol. Math. Appl. Vol. 109. Springer . págs. 601–615. ISBN 0-387-98824-6.Zbl 0988.11040  .
• Terras, Audrey (1999). "Un estudio de fórmulas de trazas discretas". En Hejhal, Dennis A. ; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C. ; et al. (eds.). Aplicaciones emergentes de la teoría de números . IMA Vol. Math. Appl. Vol. 109. Springer. págs. 643–681. ISBN 0-387-98824-6.Zbl 0982.11031  .
• Terras, Audrey (2010). Funciones zeta de gráficos: un paseo por el jardín . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 128. Cambridge University Press . ISBN 0-521-11367-9.Zbl 1206.05003  .