Función de onda esferoidal oblata

En matemáticas aplicadas, las funciones de onda esferoidales achatadas (como también las funciones de onda esferoidales alargadas y otras funciones relacionadas ^[1] ) intervienen en la solución de la ecuación de Helmholtz en coordenadas esferoidales achatadas . Al resolver esta ecuación, , por el método de separación de variables, , con: ${\displaystyle \Delta \Phi +k^{2}\Phi =0}$ ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\varphi )}$

${\displaystyle \ z=(d/2)\xi \eta ,}$

${\displaystyle \ x=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}+1)(1-\eta ^{2})}}\cos \varphi ,}$

${\displaystyle \ y=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}+1)(1-\eta ^{2})}}\sin \varphi ,}$

${\displaystyle \ \xi \geq 0{\text{ and }}|\eta |\leq 1.}$

La solución se puede escribir como el producto de una función de onda esferoidal radial y una función de onda esferoidal angular por . Aquí , siendo la longitud interfocal de la sección transversal elíptica del esferoide achatado . ${\displaystyle \Phi (\xi ,\eta ,\varphi )}$ ${\displaystyle R_{mn}(-ic,i\xi )}$ ${\displaystyle S_{mn}(-ic,\eta )}$ ${\displaystyle e^{im\varphi }}$ ${\displaystyle c=kd/2}$ ${\displaystyle d}$

La función de onda radial satisface la ecuación diferencial ordinaria lineal : ${\displaystyle R_{mn}(-ic,i\xi )}$

${\displaystyle \ (\xi ^{2}+1){\frac {d^{2}R_{mn}(-ic,i\xi )}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(-ic,i\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}-{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}+1}}\right){R_{mn}(-ic,i\xi )}=0}$.

La función de onda angular satisface la ecuación diferencial:

${\displaystyle \ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}S_{mn}(-ic,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2\eta {\frac {dS_{mn}(-ic,\eta )}{d\eta }}+\left(\lambda _{mn}(c)+c^{2}\eta ^{2}-{\frac {m^{2}}{1-\eta ^{2}}}\right){S_{mn}(-ic,\eta )}=0}$.

Se trata de la misma ecuación diferencial que en el caso de la función de onda radial, sin embargo, el rango de la coordenada radial es diferente al de la coordenada angular . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

El valor propio de este problema de Sturm-Liouville está fijado por el requisito de que sea finito para . ${\displaystyle \lambda _{mn}(-ic)}$ ${\displaystyle {S_{mn}(-ic,\eta )}}$ ${\displaystyle |\eta |=1}$

Para estas dos ecuaciones diferenciales, redúzcase a las ecuaciones satisfechas por los polinomios de Legendre asociados . Para , las funciones de onda esferoidales angulares pueden desarrollarse como una serie de funciones de Legendre. Tales desarrollos han sido considerados por Müller. ^[2] ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle c\neq 0}$

Las ecuaciones diferenciales dadas anteriormente para las funciones de onda radiales y angulares achatadas se pueden obtener a partir de las ecuaciones correspondientes para las funciones de onda esferoidales achatadas mediante la sustitución de por y por . La notación para las funciones esferoidales achatadas refleja esta relación. ${\displaystyle -ic}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i\xi }$ ${\displaystyle \xi }$

Existen diferentes esquemas de normalización para funciones esferoidales. Se puede encontrar una tabla de los diferentes esquemas en Abramowitz y Stegun. ^[3] Abramowitz y Stegun (y el presente artículo) siguen la notación de Flammer. ^[4]

Originalmente, las funciones de onda esferoidales fueron introducidas por C. Niven, ^{[5] lo que condujo a una ecuación de Helmholtz en coordenadas esferoidales. Strutt, [6]} Stratton et al., ^[7] Meixner y Schafke, ^[8] y Flammer escribieron monografías que unían muchos aspectos de la teoría de las funciones de onda esferoidales . ^[4]

Flammer ^[4] proporcionó una discusión exhaustiva del cálculo de los valores propios, funciones de onda angulares y funciones de onda radiales tanto para el caso achatado como para el achatado. Muchos han desarrollado programas informáticos para este propósito, incluidos Van Buren et al., ^[9] King y Van Buren, ^[10] Baier et al., ^[11] Zhang y Jin, ^[12] y Thompson. ^[13] Van Buren ha desarrollado recientemente nuevos métodos para calcular funciones de onda esferoidales achatadas que extienden la capacidad de obtener valores numéricos a rangos de parámetros extremadamente amplios. Estos resultados se basan en trabajos anteriores sobre funciones de onda esferoidales achatadas. ^{[14] [15]} El código fuente de Fortran que combina los nuevos resultados con los métodos tradicionales está disponible en http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.

Las tablas de valores numéricos de funciones de onda esferoidales achatadas se proporcionan en Flammer, ^[4] Hanish et al., ^{[16] [17] [18]} y Van Buren et al. ^[19]

^{Müller [20]} derivó expansiones asintóticas de funciones de onda esferoidales oblatas angulares para valores grandes de y de manera similar para funciones de onda esferoidales alargadas. ^[21] ${\displaystyle c}$

La Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas http://dlmf.nist.gov proporcionada por NIST es un excelente recurso para funciones de onda esferoidales.

Referencias

1. FM Arscott, Ecuaciones diferenciales periódicas , Pergamon Press (1964).
2. HJW Müller, Asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen und ihre Verwandtschaft mit Kugelfunktionen , Z. angew. Matemáticas. Mec. 44 (1964) 371-374, Über asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen , Z. angew. Matemáticas. Mec. 45 (1965) 29-36.
3. . M. Abramowitz e I. Stegun. Manual de funciones matemáticas , págs. 751-759 (Dover, Nueva York, 1972)
4. C. Flammer. Funciones de onda esferoidales Stanford University Press, Stanford, CA, 1957
5. C. Niven sobre la conducción del calor en elipsoides de revolución. Philosophical transactions of the Royal Society of London, 171 p. 117 (1880)
6. MJO. Lamesche, Mathieusche y Verdandte Funktionen en Physik und Technik Ergebn. Matemáticas. Ud. Grenzeb, 1 , págs. 199-323, 1932
7. JA Stratton, PM Morse, JL Chu y FJ Corbató. Funciones de onda esferoidal Wiley, Nueva York, 1956
8. J. Meixner y FW Schafke. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen Springer-Verlag, Berlín, 1954
9. AL Van Buren, RV Baier y S Hanish Un programa informático Fortran para calcular las funciones radiales esferoidales oblatas de primer y segundo tipo y sus primeras derivadas. (1970)
10. BJ King y AL Van Buren Un programa informático Fortran para calcular las funciones de ángulos esferoidales prolados y oblatos del primer tipo y sus derivadas primera y segunda. (1970)
11. RV Baier, AL Van Buren, S. Hanish, BJ King - Funciones de onda esferoidales: su uso y evaluación The Journal of the Acoustical Society of America, 48 , págs. 102-102 (1970)
12. S. Zhang y J. Jin. Cálculo de funciones especiales , Wiley, Nueva York, 1996
13. WJ Thomson Funciones de onda esferoidal Archivado el 16 de febrero de 2010 en Wayback Machine Computing in Science & Engineering p. 84, mayo-junio de 1999
14. AL Van Buren y JE Boisvert. Cálculo preciso de funciones radiales esferoidales alargadas de primer tipo y sus primeras derivadas , Quarterly of Applied Mathematics 60 , págs. 589-599, 2002
15. AL Van Buren y JE Boisvert. Cálculo mejorado de funciones radiales esferoidales alargadas de segundo tipo y sus primeras derivadas , Quarterly of Applied Mathematics 62 , págs. 493-507, 2004
16. S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren y BJ King Tablas de funciones de onda esferoidales radiales, volumen 4, achatado, m = 0 (1970)
17. S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren y BJ King Tablas de funciones de onda esferoidales radiales, volumen 5, achatado, m = 1 (1970)
18. S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren y BJ King Tablas de funciones de onda esferoidales radiales, volumen 6, achatado, m = 2 (1970)
19. AL Van Buren, BJ King, RV Baier y S. Hanish. Tablas de funciones de onda esferoidales angulares, vol. 2, oblata, m = 0 , Naval Research Lab. Publicación, Oficina de Imprenta del Gobierno de los EE. UU., 1975
20. HJW Müller, Expansiones asintóticas de funciones de onda esferoidales oblatas y sus números característicos , J. reine angew. Math. 211 (1962) 33 - 47
21. HJW Müller, Expansiones asintóticas de funciones de onda esperoidales alargadas y sus números característicos , J. reine angw. Math. 212 (1963) 26 - 48

Enlaces externos

• Funciones de onda esferoidales de MathWorld
• Función de onda esferoidal alargada de MathWorld
• Función de onda esferoidal oblata de MathWorld