Función de onda esferoidal alargada

Las funciones de onda esferoidales alargadas son funciones propias del laplaciano en coordenadas esferoidales alargadas, adaptadas a condiciones de contorno en ciertos elipsoides de revolución (una elipse rotada alrededor de su eje largo, “forma de cigarro”). Relacionadas con ellas están las funciones de onda esferoidales achatadas (elipsoide “con forma de panqueque”). ^[1]

Soluciones a la ecuación de onda

Resolver la ecuación de Helmholtz , , por el método de separación de variables en coordenadas esferoidales alargadas , , con: ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi +k^{2}\Phi =0}$ ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\varphi )}$

${\displaystyle \ x=a{\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\cos \varphi ,}$

${\displaystyle \ y=a{\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\sin \varphi ,}$

${\displaystyle \ z=a\,\xi \,\eta ,}$

y , , y . Aquí, es la distancia interfocal de la sección transversal elíptica del esferoide alargado. Si se establece , la solución se puede escribir como el producto de , una función de onda esferoidal radial y una función de onda esferoidal angular . ${\displaystyle \xi \geq 1}$ ${\displaystyle |\eta |\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq 2\pi }$ ${\displaystyle 2a>0}$ ${\displaystyle c=ka}$ ${\displaystyle \Phi (\xi ,\eta ,\varphi )}$ ${\displaystyle e^{{\rm {i}}m\varphi }}$ ${\displaystyle R_{mn}(c,\xi )}$ ${\displaystyle S_{mn}(c,\eta )}$

La función de onda radial satisface la ecuación diferencial ordinaria lineal : ${\displaystyle R_{mn}(c,\xi )}$

${\displaystyle \ (\xi ^{2}-1){\frac {d^{2}R_{mn}(c,\xi )}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(c,\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}+{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}-1}}\right){R_{mn}(c,\xi )}=0}$

La función de onda angular satisface la ecuación diferencial:

${\displaystyle \ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}S_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2\eta {\frac {dS_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}+\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\eta ^{2}+{\frac {m^{2}}{\eta ^{2}-1}}\right){S_{mn}(c,\eta )}=0}$

Se trata de la misma ecuación diferencial que en el caso de la función de onda radial. Sin embargo, el rango de la variable es diferente: en la función de onda radial, , mientras que en la función de onda angular, . El valor propio de este problema de Sturm-Liouville está determinado por el requisito de que debe ser finito para . ${\displaystyle \xi \geq 1}$ ${\displaystyle |\eta |\leq 1}$ ${\displaystyle \lambda _{mn}(c)}$ ${\displaystyle {S_{mn}(c,\eta )}}$ ${\displaystyle \eta \to \pm 1}$

Para ambas ecuaciones diferenciales, redúzcase a las ecuaciones satisfechas por los polinomios de Legendre asociados . Para , las funciones de onda esferoidales angulares pueden expandirse como una serie de funciones de Legendre. ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle c\neq 0}$

Si uno escribe , la función satisface ${\displaystyle S_{mn}(c,\eta )=(1-\eta ^{2})^{m/2}Y_{mn}(c,\eta )}$ ${\displaystyle Y_{mn}(c,\eta )}$

${\displaystyle \ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}Y_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2(m+1)\eta {\frac {dY_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}-\left(c^{2}\eta ^{2}+m(m+1)-\lambda _{mn}(c)\right){Y_{mn}(c,\eta )}=0,}$

que se conoce como ecuación de onda esferoidal . Esta ecuación auxiliar ha sido utilizada por Stratton. ^[2]

Señales de banda limitada

En el procesamiento de señales, las funciones de onda esferoidales alargadas (PSWF) son útiles como funciones propias de una operación de limitación temporal seguida de un filtro de paso bajo. Sea el operador de truncamiento temporal, tal que si y solo si tiene soporte en . De manera similar, sea un operador de filtrado de paso bajo ideal, tal que si y solo si su transformada de Fourier está limitada a . El operador resulta ser lineal, acotado y autoadjunto . Para denotamos con la -ésima función propia , definida como ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(t)=Df(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle [-T,T]}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(t)=Bf(t)}$ ${\displaystyle [-\Omega ,\Omega ]}$ ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle \psi _{n}(c,t)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \ BD\psi _{n}(c,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\Omega }^{\Omega }\left(\int _{-T}^{T}\psi _{n}(c,\tau )e^{-i\omega \tau }\,d\tau \right)e^{i\omega t}\,d\omega =\lambda _{n}(c)\psi _{n}(c,t),}$

donde son los valores propios asociados, y es una constante. Las funciones limitadas por banda son las funciones de onda esferoidales alargadas, proporcionales a las introducidas anteriormente. ^[3] (Véase también Problema de concentración espectral ). ${\displaystyle 1>\lambda _{0}(c)>\lambda _{1}(c)>\cdots >0}$ ${\displaystyle c=T\Omega }$ ${\displaystyle \{\psi _{n}(c,t)\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle S_{0n}(c,t/T)}$

Los trabajos pioneros en esta área fueron realizados por Slepian y Pollak, ^[4] Landau y Pollak, ^{[5] [6]} y Slepian. ^{[7] [8]}

Las funciones de onda esferoidales alargadas cuyo dominio es una (porción de) la superficie de la esfera unitaria se denominan más generalmente "funciones de Slep". ^[9] Estas son de gran utilidad en disciplinas como la geodesia, ^[10] la cosmología, ^[11] o la tomografía ^[12].

Información técnica e historia

Existen diferentes esquemas de normalización para funciones esferoidales. Se puede encontrar una tabla de los diferentes esquemas en Abramowitz y Stegun ^[13], quienes siguen la notación de Flammer. ^[14] La Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas proporcionada por el NIST es un excelente recurso para funciones de onda esferoidales.

Las tablas de valores numéricos de funciones de onda esferoidales se proporcionan en Flammer, ^[14] Hunter, ^{[15] [16]} Hanish et al., ^{[17] [18] [19]} y Van Buren et al. ^[20]

Originalmente, las funciones de onda esferoidales fueron introducidas por C. Niven, ^{[21] lo que condujo a una ecuación de Helmholtz en coordenadas esferoidales. Strutt, [22]} Stratton et al., ^[23] Meixner y Schafke, ^[24] y Flammer escribieron monografías que unían muchos aspectos de la teoría de las funciones de onda esferoidales. ^[14]

Flammer ^[14] proporcionó una discusión exhaustiva del cálculo de los valores propios, funciones de onda angulares y funciones de onda radiales tanto para el caso alargado como para el achatado. Muchos han desarrollado programas informáticos para este propósito, incluidos King et al., ^[25] Patz y Van Buren, ^[26] Baier et al., ^[27] Zhang y Jin, ^[28] Thompson ^[29] y Falloon. ^[30] Van Buren y Boisvert ^{[31] [32]} han desarrollado recientemente nuevos métodos para calcular funciones de onda esferoidales alargadas que amplían la capacidad de obtener valores numéricos a rangos de parámetros extremadamente amplios. El código fuente Fortran que combina los nuevos resultados con los métodos tradicionales está disponible en http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.

Müller ha derivado expansiones asintóticas de funciones de onda esferoidales alargadas angulares para valores grandes de ^[33] . También investigó la relación entre expansiones asintóticas de funciones de onda esferoidales ^{[34] [35] .} ${\displaystyle c}$

Referencias

1. FM Arscott, Ecuaciones diferenciales periódicas , Pergamon Press (1964).
2. JA Stratton Funciones esferoidales Actas de la Academia Nacional de Ciencias (EE. UU.) 21 (1935) 51.
3. "30.15 Funciones de onda esferoidales: análisis de señales". Biblioteca digital de funciones matemáticas . NIST . Consultado el 20 de mayo de 2021 .
4. D. Slepian y HO Pollak, Funciones de onda esferoidales alargadas, análisis de Fourier e incertidumbre – I , Bell System Technical Journal 40 (1961) 43.
5. HJ Landau y HO Pollak, Funciones de onda esferoidales alargadas, análisis de Fourier e incertidumbre – II , Bell System Technical Journal 40 (1961) 65.
6. HJ Landau y HO Pollak. Funciones de onda esferoidales alargadas, análisis de Fourier e incertidumbre – III: La dimensión del espacio de señales esencialmente limitadas en el tiempo y en la banda , Bell System Technical Journal 41 (1962) 1295.
7. D. Funciones de onda esferoidales alargadas de Slepian, análisis de Fourier e incertidumbre – IV: extensiones a muchas dimensiones; funciones esferoidales alargadas generalizadas , Bell System Technical Journal 43 (1964) 3009–3057
8. D. Slepian. Funciones de onda esferoidales alargadas, análisis de Fourier e incertidumbre – V: el caso discreto , Bell System Technical Journal 57 (1978) 1371.
9. FJ Simons, MA Wieczorek y FA Dahlen. Concentración espacioespectral en una esfera . SIAM Review 48 (2006) 504–536, doi :10.1137/S0036144504445765
10. FJ Simons y FA Dahlen, Funciones esféricas de Slepian y la brecha polar en geodesia , Geophysical Journal International 166 (2006) 1039–1061. doi :10.1111/j.1365-246X.2006.03065.x
11. FA Dahlen y FJ Simons, Estimación espectral en una esfera en geofísica y cosmología . Geophysical Journal International 174 (2008) 774–807. doi :10.1111/j.1365-246X.2008.03854.x
12. Marone F, Stampanoni M., Algoritmo de reconstrucción de regridding para imágenes tomográficas en tiempo real . J Synchrotron Radiat. (2012) doi :10.1107/S0909049512032864
13. M. Abramowitz e I. Stegun, Manual de funciones matemáticas, págs. 751-759 (Dover, Nueva York, 1972)
14. C. Flammer, Funciones de onda esferoidales , Stanford University Press, Stanford, CA, 1957.
15. Tablas de funciones esferoidales alargadas para m=0: Volumen I. (1965)
16. Tablas de funciones esferoidales alargadas para m=0: Volumen II. (1965)
17. S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren y BJ King Tablas de funciones de onda esferoidales radiales, volumen 1, prolato, m = 0 (1970)
18. S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren y BJ King Tablas de funciones de onda esferoidales radiales, volumen 2, prolato, m = 1 (1970)
19. S. Hanish, RV Baier, AL Van Buren y BJ King Tablas de funciones de onda esferoidales radiales, volumen 3, prolato, m = 2 (1970)
20. AL Van Buren, BJ King, RV Baier y S. Hanish. Tablas de funciones de onda esferoidales angulares, vol. 1, prolato, m = 0 , Naval Research Lab. Publicación, Oficina de Imprenta del Gobierno de los EE. UU., 1975
21. C. Niven Sobre la conducción del calor en elipsoides de revolución , Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres, 171 (1880) 117.
22. MJO. Lamesche, Mathieusche y Verwandte Funktionen en Physik und Technik , Ergebn. Matemáticas. Ud. Grenzgeb, 1 (1932) 199–323.
23. JA Stratton, PM Morse, JL Chu y FJ Corbató. Funciones de onda esferoidal Wiley, Nueva York, 1956
24. J. Meixner y FW Schafke. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen , Springer-Verlag, Berlín, 1954
25. BJ King, RV Baier y S Hanish Un programa informático Fortran para calcular las funciones radiales esferoidales alargadas de primer y segundo tipo y sus primeras derivadas. (1970)
26. BJ Patz y AL Van Buren Un programa informático Fortran para calcular las funciones angulares esferoidales alargadas del primer tipo. (1981)
27. RV Baier, AL Van Buren, S. Hanish, BJ King - Funciones de onda esferoidales: su uso y evaluación The Journal of the Acoustical Society of America, 48 (1970) 102.
28. S. Zhang y J. Jin. Cálculo de funciones especiales , Wiley, Nueva York, 1996
29. WJ Thomson Funciones de onda esferoidal Archivado el 16 de febrero de 2010 en Wayback Machine Computing in Science & Engineering p. 84, mayo-junio de 1999
30. Tesis de PE Falloon sobre el cálculo numérico de funciones esferoidales Archivado el 11 de abril de 2011 en Wayback Machine Universidad de Australia Occidental, 2002
31. AL Van Buren y JE Boisvert. Cálculo preciso de funciones radiales esferoidales alargadas de primer tipo y sus primeras derivadas , Quarterly of Applied Mathematics 60 (2002) 589-599.
32. AL Van Buren y JE Boisvert. Cálculo mejorado de funciones radiales esferoidales alargadas de segundo tipo y sus primeras derivadas , Quarterly of Applied Mathematics 62 (2004) 493–507.
33. HJW Müller, Expansiones asintóticas de funciones de onda esferoidales alargadas y sus números característicos , J. reine u. angew. Math. 212 (1963) 26–48.
34. HJW Müller, Asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen und ihre Verwandtschaft mit Kugelfunktionen , Z. angew. Matemáticas. Mec. 44 (1964) 371–374.
35. HJW Müller, Über asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen , Z. angew. Matemáticas. Mec. 45 (1965) 29–36.

Enlaces externos

• Funciones de onda esferoidales de MathWorld
• Función de onda esferoidal alargada de MathWorld
• Función de onda esferoidal oblata de MathWorld