Función Sinc

Función matemática especial definida como sin(x)/x

En matemáticas , física e ingeniería , la función sinc , denotada por sinc( x ) , tiene dos formas, normalizada y no normalizada. ^[1]

La función sinc como audio, a 2000 Hz (±1,5 segundos alrededor de cero)

En matemáticas, la función sinc no normalizada histórica se define para x ≠ 0 por $${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.}$$

Alternativamente, la función sinc no normalizada a menudo se denomina función de muestreo , indicada como Sa( x ). ^[2]

En el procesamiento de señales digitales y la teoría de la información , la función sinc normalizada se define comúnmente para x ≠ 0 por $${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}$$

En cualquier caso, el valor en x = 0 se define como el valor límite para todo número real a ≠ 0 (el límite se puede demostrar utilizando el teorema del apretón ). $${\displaystyle \operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}$$

La normalización hace que la integral definida de la función sobre los números reales sea igual a 1 (mientras que la misma integral de la función sinc no normalizada tiene un valor de π ). Como otra propiedad útil, los ceros de la función sinc normalizada son los valores enteros distintos de cero de x .

La función sinc normalizada es la transformada de Fourier de la función rectangular sin escala. Se utiliza en el concepto de reconstrucción de una señal continua de banda limitada a partir de muestras de esa señal espaciadas uniformemente.

La única diferencia entre las dos definiciones está en la escala de la variable independiente (el eje x ) por un factor de π . En ambos casos, el valor de la función en la singularidad removible en cero se entiende como el valor límite 1. La función sinc es entonces analítica en todas partes y, por lo tanto, una función completa .

La función también se ha llamado seno cardinal o función cardinal seno . ^{[3] [4]} El término sinc / ˈ s ɪ ŋ k / fue introducido por Philip M. Woodward en su artículo de 1952 "Teoría de la información y probabilidad inversa en telecomunicaciones", en el que dijo que la función "ocurre tan a menudo en el análisis de Fourier y sus aplicaciones que parece merecer alguna notación propia", ^[5] y su libro de 1953 Probability and Information Theory, with Applications to Radar . ^{[6] [7]} La ​​función en sí fue derivada matemáticamente por primera vez en esta forma por Lord Rayleigh en su expresión ( fórmula de Rayleigh ) para la función de Bessel esférica de orden cero del primer tipo.

Propiedades

Los máximos y mínimos locales (pequeños puntos blancos) de la función sinc roja no normalizada corresponden a sus intersecciones con la función coseno azul .

Los cruces por cero del sinc no normalizado ocurren en múltiplos enteros distintos de cero de π , mientras que los cruces por cero del sinc normalizado ocurren en múltiplos enteros distintos de cero.

Los máximos y mínimos locales de la función sinc no normalizada corresponden a sus intersecciones con la función coseno . Es decir ,pecado( ξ )/o⁠ = cos( ξ ) para todos los puntos ξ donde la derivada de ⁠pecado( x )/incógnita⁠ es cero y por lo tanto se alcanza un extremo local. Esto se deduce de la derivada de la función sinc: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.}$$

Los primeros términos de la serie infinita para la coordenada x del extremo n -ésimo con coordenada x positiva son donde y donde n impar conduce a un mínimo local, y n par a un máximo local. Debido a la simetría alrededor del eje y , existen extremos con coordenadas x − x _n . Además, hay un máximo absoluto en ξ ₀ = (0, 1) . $${\displaystyle x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}$$ $${\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}$$

La función sinc normalizada tiene una representación simple como el producto infinito : $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$$

La función seno cardinal sinc(z) representada en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i

y está relacionada con la función gamma Γ( x ) a través de la fórmula de reflexión de Euler : $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.}$$

Euler descubrió ^[8] que y debido a la identidad producto-suma ^[9] $${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}$$

Gráfico de coloración del dominio de sinc z = ⁠pecado z/el⁠

$${\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,}$$El producto de Euler puede reformularse como una suma $${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}$$

La transformada continua de Fourier del sinc normalizado (a frecuencia ordinaria) es rect ( f ) : donde la función rectangular es 1 para el argumento entre − ⁠ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}$$1/2⁠ y ⁠1/2⁠ , y cero en caso contrario. Esto corresponde al hecho de que el filtro sinc es el filtro paso bajo ideal ( de pared de ladrillos , es decir, con respuesta de frecuencia rectangular) .

Esta integral de Fourier, incluido el caso especial, es una integral impropia (véase integral de Dirichlet ) y no una integral de Lebesgue convergente , como $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}$$

La función sinc normalizada tiene propiedades que la hacen ideal en relación con la interpolación de funciones muestreadas de banda limitada :

• Es una función de interpolación, es decir, sinc(0) = 1 , y sinc( k ) = 0 para un entero distinto de cero k .
• Las funciones x _k ( t ) = sinc( t − k ) ( k entero) forman una base ortonormal para funciones de banda limitada en el espacio funcional L ² ( R ) , con la frecuencia angular más alta ω _H = π (es decir, la frecuencia de ciclo más alta f _H = ⁠1/2⁠ ).

Otras propiedades de las dos funciones sinc incluyen:

• La función sinc no normalizada es la función de Bessel esférica de orden cero de primer tipo, j ₀ ( x ) . La función sinc normalizada es j ₀ (π x ) .
• donde Si( x ) es la integral del seno , $${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).}$$
• λ sinc( λx ) (no normalizada) es una de las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria lineal. La otra es ⁠ $${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}$$cos( λx )/incógnita⁠ , que no está acotada en x = 0 , a diferencia de su contraparte, la función sinc.
• Usando sinc normalizado, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}$$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}$
• La siguiente integral impropia involucra la función sinc (no normalizada): $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}$$

Relación con la distribución delta de Dirac

La función sinc normalizada se puede utilizar como una función delta naciente , lo que significa que se cumple el siguiente límite débil :

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}$$

Este no es un límite ordinario, ya que el lado izquierdo no converge. Más bien, significa que

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}$$

para cada función de Schwartz , como se puede ver en el teorema de inversión de Fourier . En la expresión anterior, cuando a → 0 , el número de oscilaciones por unidad de longitud de la función sinc tiende al infinito. Sin embargo, la expresión siempre oscila dentro de una envolvente de ± ⁠1/πx​⁠ , independientemente del valor de a .

Esto complica la imagen informal de δ ( x ) como cero para todo x excepto en el punto x = 0 , e ilustra el problema de pensar en la función delta como una función en lugar de como una distribución. Una situación similar se encuentra en el fenómeno de Gibbs .

Suma

Todas las sumas en esta sección se refieren a la función sinc no normalizada.

La suma de sinc( n ) sobre el entero n desde 1 hasta ∞ es igual a ⁠π − 1/2:​

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

La suma de los cuadrados también es igual aπ − 1/2⁠ : ^{[10] [11]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

Cuando los signos de los sumandos se alternan y comienzan con +, la suma es igual a ⁠1/2:​ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

Las sumas alternas de los cuadrados y los cubos también son iguales1/2⁠ : ^[12] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

Expansión de la serie

La serie de Taylor de la función sinc no normalizada se puede obtener a partir de la del seno (que también produce su valor 1 en x = 0 ): $${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

La serie converge para todo x . La versión normalizada se deduce fácilmente: $${\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

Euler comparó famosamente esta serie con la expansión de la forma del producto infinito para resolver el problema de Basilea .

Dimensiones superiores

El producto de funciones sinc 1-D proporciona fácilmente una función sinc multivariante para la cuadrícula cartesiana cuadrada ( red ): sinc _C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) , cuya transformada de Fourier es la función indicadora de un cuadrado en el espacio de frecuencia (es decir, la pared de ladrillos definida en el espacio 2-D). La función sinc para una red no cartesiana (por ejemplo, red hexagonal ) es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora de la zona de Brillouin de esa red. Por ejemplo, la función sinc para la red hexagonal es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora del hexágono unitario en el espacio de frecuencia. Para una red no cartesiana, esta función no se puede obtener mediante un simple producto tensorial. Sin embargo, la fórmula explícita para la función sinc para las redes hexagonales , cúbicas centradas en el cuerpo , cúbicas centradas en las caras y otras redes de dimensiones superiores se puede derivar explícitamente ^[13] utilizando las propiedades geométricas de las zonas de Brillouin y su conexión con los zonotopos .

Por ejemplo, una red hexagonal se puede generar mediante la extensión lineal (entera) de los vectores $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}$$

Denotando que se puede derivar ^[13] la función sinc para esta red hexagonal como $${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}$$

Esta construcción se puede utilizar para diseñar ventanas de Lanczos para redes multidimensionales generales. ^[13]

Véase también

• Filtro anti-aliasing  : transformación matemática que reduce el daño causado por el aliasing
• Integral de Borwein  – Tipo de integrales matemáticas
• Integral de Dirichlet  – Integral de sin(x)/x de 0 a infinito.
• Remuestreo de Lanczos  : aplicación de una fórmula matemática
• Lista de funciones matemáticas
• Ondícula de Shannon
• Filtro Sinc  : filtro de paso bajo ideal o filtro de promediado
• Métodos numéricos de Sinc
• Funciones trigonométricas de matrices  : funciones importantes para resolver ecuaciones diferenciales
• Integral trigonométrica  : Función especial definida por una integral
• Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon  : algoritmo de (re)construcción de señales
• Proyección tripel de Winkel  : proyección cartográfica de compromiso pseudoazimutal (cartografía)

Referencias

1. Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), "Métodos numéricos", Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248..
2. Singh, RP; Sapre, SD (2008). Sistemas de comunicación, 2.ª edición (edición ilustrada). Tata McGraw-Hill Education. pág. 15. ISBN 978-0-07-063454-1.Extracto de la página 15
3. Weisstein, Eric W. "Función Sinc". mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de junio de 2023 .
4. Merca, Mircea (1 de marzo de 2016). "La función seno cardinal y los números de Chebyshev-Stirling". Revista de teoría de números . 160 : 19–31. doi :10.1016/j.jnt.2015.08.018. ISSN  0022-314X. S2CID  124388262.
5. Woodward, PM; Davies, IL (marzo de 1952). "Teoría de la información y probabilidad inversa en telecomunicaciones" (PDF) . Actas del IEE - Parte III: Ingeniería de radio y comunicaciones . 99 (58): 37–44. doi :10.1049/pi-3.1952.0011.
6. Poynton, Charles A. (2003). Vídeo digital y HDTV . Morgan Kaufmann Publishers. pág. 147. ISBN 978-1-55860-792-7.
7. Woodward, Phillip M. (1953). Probabilidad y teoría de la información, con aplicaciones al radar . Londres: Pergamon Press. p. 29. ISBN 978-0-89006-103-9.OCLC 488749777  .
8. Euler, Leonhard (1735). "Sobre las sumas de series de recíprocos". arXiv : math/0506415 .
9. Luis Ortiz-Gracia; Cornelis W. Oosterlee (2016). "Una técnica de Fourier inversa wavelet de Shannon altamente eficiente para la fijación de precios de opciones europeas". SIAM J. Sci. Comput . 38 (1): B118–B143. Bibcode :2016SJSC...38B.118O. doi :10.1137/15M1014164. hdl : 2072/377498 .
10. "Problema avanzado 6241". American Mathematical Monthly . 87 (6). Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos : 496–498. Junio-julio de 1980. doi :10.1080/00029890.1980.11995075.
11. Robert Baillie; David Borwein ; Jonathan M. Borwein (diciembre de 2008). "Sorprendentes sumas e integrales de Sinc". American Mathematical Monthly . 115 (10): 888–901. doi :10.1080/00029890.2008.11920606. hdl : 1959.13/940062 . JSTOR  27642636. S2CID  496934.
12. Baillie, Robert (2008). "Diversión con las series de Fourier". arXiv : 0806.0150v2 [math.CA].
13. Ye, W.; Entezari, A. (junio de 2012). "Una construcción geométrica de funciones Sinc multivariadas". IEEE Transactions on Image Processing . 21 (6): 2969–2979. Bibcode :2012ITIP...21.2969Y. doi :10.1109/TIP.2011.2162421. PMID  21775264. S2CID  15313688.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función Sinc". MathWorld .