Función Q de Marcum

En estadística , la función Q generalizada de Marcum de orden se define como ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)={\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{b}^{\infty }x^{\nu }\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx}$

donde y y es la función de Bessel modificada de primer tipo de orden . Si , la integral converge para cualquier . La función Q de Marcum se presenta como una función de distribución acumulativa complementaria para distribuciones chi no central , chi-cuadrado no central y Rice . En ingeniería, esta función aparece en el estudio de sistemas de radar, sistemas de comunicación, sistema de colas y procesamiento de señales. Esta función fue estudiada por primera vez para , y por lo tanto nombrada así, por Jess Marcum para radares pulsados. ^[1] ${\displaystyle b\geq 0}$ ${\displaystyle a,\nu >0}$ ${\displaystyle I_{\nu -1}}$ ${\displaystyle \nu -1}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =1}$

Propiedades

Representación integral finita

Utilizando el hecho de que , la función Q generalizada de Marcum puede definirse alternativamente como una integral finita como ${\displaystyle Q_{\nu }(a,0)=1}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-{\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{0}^{b}x^{\nu }\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx.}$

Sin embargo, es preferible tener una representación integral de la función Q de Marcum tal que (i) los límites de la integral sean independientes de los argumentos de la función, (ii) y que los límites sean finitos, (iii) y que el integrando sea una función gaussiana de estos argumentos. Para valores enteros positivos de , dicha representación está dada por la integral trigonométrica ^{[2] [3]} ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{n}(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{n}(a,a)&a=b,\\1+H_{n}(a,b)&a>b,\end{array}}\right.}$

dónde

${\displaystyle H_{n}(a,b)={\frac {\zeta ^{1-n}}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{2\pi }{\frac {\cos(n-1)\theta -\zeta \cos n\theta }{1-2\zeta \cos \theta +\zeta ^{2}}}\exp(ab\cos \theta )\mathrm {d} \theta ,}$

y la relación es una constante. ${\displaystyle \zeta =a/b}$

Para cualquier real , dicha integral trigonométrica finita está dada por ^[4] ${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{\nu }(a,a)+C_{\nu }(a,b)&a=b,\\1+H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a>b,\end{array}}\right.}$

donde es como se definió anteriormente , y el término de corrección adicional está dado por ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$ ${\displaystyle \zeta =a/b}$

${\displaystyle C_{\nu }(a,b)={\frac {\sin(\nu \pi )}{\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{1}{\frac {(x/\zeta )^{\nu -1}}{\zeta +x}}\exp \left[-{\frac {ab}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]\mathrm {d} x.}$

Para valores enteros de , el término de corrección tiende a desaparecer. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle C_{\nu }(a,b)}$

Monotonía y concavidad logarítmica

• La función Q generalizada de Marcum es estrictamente creciente en y para todos y , y es estrictamente decreciente en para todos y ^[5] ${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle b,\nu >0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b\geq 0}$ ${\displaystyle \nu >0.}$

• La función es logarítmicamente cóncava para todos los ^[5] ${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$ ${\displaystyle a,b\geq 0.}$

• La función es estrictamente log-cóncava en para todos y , lo que implica que la función Q de Marcum generalizada satisface la propiedad de que lo nuevo es mejor que lo usado. ^[6] ${\displaystyle b\mapsto Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle \nu >1}$

• La función es logarítmicamente cóncava para todos los ^[5] ${\displaystyle a\mapsto 1-Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle b,\nu >0.}$

Representación en serie

• La función Q de Marcum generalizada de orden se puede representar utilizando la función Gamma incompleta como ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {\gamma (\nu +k,{\frac {b^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k)}}\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k},}$

donde es la función Gamma incompleta inferior . Esto suele denominarse representación canónica de la función Q de Marcum generalizada de orden -ésimo. ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ ${\displaystyle \nu }$

• La función Q generalizada de Marcum de orden también se puede representar utilizando polinomios de Laguerre generalizados como ^[9] ${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {L_{k}^{(\nu -1)}({\frac {a^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k+1)}}\left({\frac {b^{2}}{2}}\right)^{k+\nu },}$

donde es el polinomio de Laguerre generalizado de grado y de orden . ${\displaystyle L_{k}^{(\alpha )}(\cdot )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$

• La función Q generalizada de Marcum de orden también se puede representar como expansiones de la serie de Neumann ^{[4] [8]} ${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =1-\nu }^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{\alpha }I_{-\alpha }(ab),}$

${\displaystyle 1-Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =\nu }^{\infty }\left({\frac {b}{a}}\right)^{\alpha }I_{\alpha }(ab),}$

donde las sumas se dan en incrementos de uno. Nótese que cuando se asume un valor entero, tenemos . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle I_{\alpha }(ab)=I_{-\alpha }(ab)}$

• Para valores semienteros no negativos , tenemos una expresión de forma cerrada para la función Q de Marcum generalizada como ^{[8] [10]} ${\displaystyle \nu =n+1/2}$

${\displaystyle Q_{n+1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right)+\mathrm {erfc} \left({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right]+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {b}{a}}\right)^{k-1/2}I_{k-1/2}(ab),}$

donde es la función de error complementaria . Dado que las funciones de Bessel con parámetro semientero tienen expansiones de suma finitas como ^[4] ${\displaystyle \mathrm {erfc} (\cdot )}$

${\displaystyle I_{\pm (n+0.5)}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{k!(n-k)!}}\left[{\frac {(-1)^{k}e^{z}\mp (-1)^{n}e^{-z}}{(2z)^{k+0.5}}}\right],}$

donde es un entero no negativo, podemos representar exactamente la función Q de Marcum generalizada con un parámetro semientero. Más precisamente, tenemos ^[4] ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q_{n+1/2}(a,b)=Q(b-a)+Q(b+a)+{\frac {1}{b{\sqrt {2\pi }}}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {b}{a}}\right)^{i}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {(i+k-1)!}{k!(i-k-1)!}}\left[{\frac {(-1)^{k}e^{-(a-b)^{2}/2}+(-1)^{i}e^{-(a+b)^{2}/2}}{(2ab)^{k}}}\right],}$

para números enteros no negativos , donde es la función Q gaussiana . Alternativamente, también podemos expresar de manera más compacta las funciones de Bessel con semientero como suma de funciones seno y coseno hiperbólicos: ^[11] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q(\cdot )}$

${\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2z}{\pi }}}\left[g_{n}(z)\sinh(z)+g_{-n-1}(z)\cosh(z)\right],}$

donde , , y para cualquier valor entero de . ${\displaystyle g_{0}(z)=z^{-1}}$ ${\displaystyle g_{1}(z)=-z^{-2}}$ ${\displaystyle g_{n-1}(z)-g_{n+1}(z)=(2n+1)z^{-1}g_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$

Relación de recurrencia y función generadora

• Integrando por partes, podemos demostrar que la función Q de Marcum generalizada satisface la siguiente relación de recurrencia ^{[8] [10]}

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab).}$

• La fórmula anterior se puede generalizar fácilmente como ^[10]

${\displaystyle Q_{\nu -n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{\nu -k}(ab),}$

${\displaystyle Q_{\nu +n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{k}I_{\nu +k}(ab),}$

para entero positivo . La recurrencia anterior se puede utilizar para definir formalmente la función Q generalizada de Marcum para . Tomando y para , obtenemos la representación en serie de Neumann de la función Q generalizada de Marcum. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Q_{\infty }(a,b)=1}$ ${\displaystyle Q_{-\infty }(a,b)=0}$ ${\displaystyle n=\infty }$

• La relación de recurrencia de tres términos relacionada se da por ^[7]

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)-(1+c_{\nu }(a,b))Q_{\nu }(a,b)+c_{\nu }(a,b)Q_{\nu -1}(a,b)=0,}$

dónde

${\displaystyle c_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right){\frac {I_{\nu }(ab)}{I_{\nu +1}(ab)}}.}$

Podemos eliminar la aparición de la función de Bessel para obtener la relación de recurrencia de tercer orden ^[7]

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}Q_{\nu +2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}}{2}}-\nu \right)Q_{\nu +1}(a,b)+\left({\frac {b^{2}}{2}}+\nu \right)Q_{\nu }(a,b)-{\frac {b^{2}}{2}}Q_{\nu -1}(a,b).}$

• Otra relación de recurrencia, relacionándola con sus derivadas, está dada por

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b),}$

${\displaystyle Q_{\nu -1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b).}$

• La función generadora ordinaria de para la integral es ^[10] ${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}Q_{n}(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}{\frac {t}{1-t}}e^{(b^{2}t+a^{2}/t)/2},}$

dónde ${\displaystyle |t|<1.}$

Relación de simetría

• Utilizando las dos representaciones de la serie de Neumann, podemos obtener la siguiente relación de simetría para la integral positiva ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)+Q_{n}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\left[I_{0}(ab)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {a^{2k}+b^{2k}}{(ab)^{k}}}I_{k}(ab)\right].}$

En particular, porque tenemos ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle Q_{1}(a,b)+Q_{1}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{0}(ab).}$

Valores especiales

Algunos valores específicos de la función Marcum-Q son ^[6]

• ${\displaystyle Q_{\nu }(0,0)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(a,0)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(a,+\infty )=0,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(0,b)={\frac {\Gamma (\nu ,b^{2}/2)}{\Gamma (\nu )}},}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(+\infty ,b)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\infty }(a,b)=1,}$
• Para , al restar las dos formas de representación de la serie de Neumann, tenemos ^[10] ${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle Q_{1}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})],}$

que cuando se combina con la fórmula recursiva da

${\displaystyle Q_{n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]+e^{-a^{2}}\sum _{k=1}^{n-1}I_{k}(a^{2}),}$

${\displaystyle Q_{-n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]-e^{-a^{2}}\sum _{k=1}^{n}I_{k}(a^{2}),}$

para cualquier entero no negativo . ${\displaystyle n}$

• Para , utilizando la definición integral básica de la función Q generalizada de Marcum, tenemos ^{[8] [10]} ${\displaystyle \nu =1/2}$

${\displaystyle Q_{1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right)+\mathrm {erfc} \left({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$

• Para , tenemos ${\displaystyle \nu =3/2}$

${\displaystyle Q_{3/2}(a,b)=Q_{1/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\sinh(ab)}{a}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.}$

• Porque tenemos ${\displaystyle \nu =5/2}$

${\displaystyle Q_{5/2}(a,b)=Q_{3/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {ab\cosh(ab)-\sinh(ab)}{a^{3}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.}$

Formas asintóticas

• Suponiendo que sea fija y grande, sea , entonces la función Marcum-Q generalizada tiene la siguiente forma asintótica ^[7] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle \zeta =a/b>0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n},}$

donde se da por ${\displaystyle \psi _{n}}$

${\displaystyle \psi _{n}={\frac {1}{2\zeta ^{\nu }{\sqrt {2\pi }}}}(-1)^{n}\left[A_{n}(\nu -1)-\zeta A_{n}(\nu )\right]\phi _{n}.}$

Las funciones y están dadas por ${\displaystyle \phi _{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle \phi _{n}=\left[{\frac {(b-a)^{2}}{2ab}}\right]^{n-{\frac {1}{2}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n,{\frac {(b-a)^{2}}{2}}\right),}$

${\displaystyle A_{n}(\nu )={\frac {2^{-n}\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu +n)}{n!\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu -n)}}.}$

La función satisface la recursión. ${\displaystyle A_{n}(\nu )}$

${\displaystyle A_{n+1}(\nu )=-{\frac {(2n+1)^{2}-4\nu ^{2}}{8(n+1)}}A_{n}(\nu ),}$

para y ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle A_{0}(\nu )=1.}$

• En el primer término de la aproximación asintótica anterior, tenemos

${\displaystyle \phi _{0}={\frac {\sqrt {2\pi ab}}{b-a}}\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right).}$

Por lo tanto, suponiendo , la aproximación asintótica del primer término de la función Marcum-Q generalizada es ^[7] ${\displaystyle b>a}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim \psi _{0}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(b-a),}$

donde es la función Q gaussiana . Aquí como ${\displaystyle Q(\cdot )}$ ${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5}$ ${\displaystyle a\uparrow b.}$

Para el caso cuando , tenemos ^[7] ${\displaystyle a>b}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 1-\psi _{0}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(a-b).}$

Aquí también como ${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5}$ ${\displaystyle a\downarrow b.}$

Diferenciación

• La derivada parcial de con respecto a y está dada por ^{[12] [13]} ${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)=a\left[Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)\right]=a\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b)=b\left[Q_{\nu -1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)\right]=-b\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -1}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu -1}(ab).}$

Podemos relacionar las dos derivadas parciales como

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu +1}(a,b)=0.}$

• La derivada parcial n -ésima de con respecto a sus argumentos está dada por ^[10] ${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}Q_{\nu }(a,b)=n!(-a)^{n}\sum _{k=0}^{[n/2]}{\frac {(-2a^{2})^{-k}}{k!(n-2k)!}}\sum _{p=0}^{n-k}(-1)^{p}{\binom {n-k}{p}}Q_{\nu +p}(a,b),}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial b^{n}}}Q_{\nu }(a,b)={\frac {n!a^{1-\nu }}{2^{n}b^{n-\nu +1}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=[n/2]}^{n}{\frac {(-2b^{2})^{k}}{(n-k)!(2k-n)!}}\sum _{p=0}^{k-1}{\binom {k-1}{p}}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{p}I_{\nu -p-1}(ab).}$

Desigualdades

• La función Marcum-Q generalizada satisface una desigualdad de tipo Turán ^[5]

${\displaystyle Q_{\nu }^{2}(a,b)>{\frac {Q_{\nu -1}(a,b)+Q_{\nu +1}(a,b)}{2}}>Q_{\nu -1}(a,b)Q_{\nu +1}(a,b)}$

para todos y . ${\displaystyle a\geq b>0}$ ${\displaystyle \nu >1}$

Límites

Basado en monotonía y concavidad logarítmica

Se pueden obtener varios límites superiores e inferiores de la función Marcum-Q generalizada utilizando la monotonía y la concavidad logarítmica de la función y el hecho de que tenemos una expresión en forma cerrada para cuando tiene un valor medio entero. ${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle \nu }$

Sea y denote el par de operadores de redondeo de semienteros que asignan un real a su semientero impar izquierdo y derecho más cercano, respectivamente, de acuerdo con las relaciones ${\displaystyle \lfloor x\rfloor _{0.5}}$ ${\displaystyle \lceil x\rceil _{0.5}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor _{0.5}=\lfloor x-0.5\rfloor +0.5}$

${\displaystyle \lceil x\rceil _{0.5}=\lceil x+0.5\rceil -0.5}$

donde y denotan las funciones de piso y techo enteras. ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

• La monotonía de la función para todos y nos da el siguiente límite simple ^{[14] [8] [15]} ${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle Q_{\lfloor \nu \rfloor _{0.5}}(a,b)<Q_{\nu }(a,b)<Q_{\lceil \nu \rceil _{0.5}}(a,b).}$

Sin embargo, el error relativo de este límite no tiende a cero cuando . ^[5] Para valores enteros de , este límite se reduce a ${\displaystyle b\to \infty }$ ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n-0.5}(a,b)<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b).}$

Una aproximación muy buena de la función Q de Marcum generalizada para valores enteros se obtiene tomando la media aritmética de los límites superior e inferior ^[15] ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\approx {\frac {Q_{n-0.5}(a,b)+Q_{n+0.5}(a,b)}{2}}.}$

• Se puede obtener un límite más estricto explotando la concavidad logarítmica de en como ^[5] ${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$

${\displaystyle Q_{\nu _{1}}(a,b)^{\nu _{2}-v}Q_{\nu _{2}}(a,b)^{v-\nu _{1}}<Q_{\nu }(a,b)<{\frac {Q_{\nu _{2}}(a,b)^{\nu _{2}-\nu +1}}{Q_{\nu _{2}+1}(a,b)^{\nu _{2}-\nu }}},}$

donde y para . La estrechez de este límite mejora a medida que o aumenta. El error relativo de este límite converge a 0 cuando . ^[5] Para valores enteros de , este límite se reduce a ${\displaystyle \nu _{1}=\lfloor \nu \rfloor _{0.5}}$ ${\displaystyle \nu _{2}=\lceil \nu \rceil _{0.5}}$ ${\displaystyle \nu \geq 1.5}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle b\to \infty }$ ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle {\sqrt {Q_{n-0.5}(a,b)Q_{n+0.5}(a,b)}}<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b){\sqrt {\frac {Q_{n+0.5}(a,b)}{Q_{n+1.5}(a,b)}}}.}$

Cauchy-Schwarz en el límite

Utilizando la representación integral trigonométrica para valores enteros , se puede obtener el siguiente límite de Cauchy-Schwarz ^[3] ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}},\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle 1-Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}},\qquad \zeta >1,}$

dónde . ${\displaystyle \zeta =a/b>0}$

Límites de tipo exponencial

Para fines analíticos, a menudo resulta útil tener límites en forma exponencial simple, aunque no sean los límites más estrictos que se puedan lograr. Si , uno de esos límites para valores enteros se da como ^{[16] [3]} ${\displaystyle \zeta =a/b>0}$ ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle e^{-(b+a)^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq e^{-(b-a)^{2}/2}+{\frac {\zeta ^{1-n}-1}{\pi (1-\zeta )}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}-e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}\left[e^{-(a-b)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.}$

Cuando , el límite se simplifica para dar ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle e^{-(b+a)^{2}/2}\leq Q_{1}(a,b)\leq e^{-(b-a)^{2}/2},\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}\left[e^{-(a-b)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right]\leq Q_{1}(a,b),\qquad \zeta >1.}$

Otro límite similar obtenido a través de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se da como ^[3]

${\displaystyle e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.}$

Límite de tipo Chernoff

Los límites de tipo Chernoff para la función Q generalizada de Marcum, donde es un entero, se dan por ^{[16] [3]} ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle (1-2\lambda )^{-n}\exp \left(-\lambda b^{2}+{\frac {\lambda na^{2}}{1-2\lambda }}\right)\geq \left\{{\begin{array}{lr}Q_{n}(a,b),&b^{2}>n(a^{2}+2)\\1-Q_{n}(a,b),&b^{2}<n(a^{2}+2)\end{array}}\right.}$

donde el parámetro de Chernoff tiene un valor óptimo de ${\displaystyle (0<\lambda <1/2)}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {n}{b^{2}}}-{\frac {n}{b^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {(ab)^{2}}{n}}}}\right).}$

Aproximación semilineal

La función Marcum-Q de primer orden se puede aproximar semilinealmente mediante ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(a,b)={\begin{cases}1,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b<c_{1}\\-\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)\left(b-\beta _{0}\right)+Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right),~~~~~\mathrm {if} ~c_{1}\leq b\leq c_{2}\\0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b>c_{2}\end{cases}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{0}={\frac {a+{\sqrt {a^{2}+2}}}{2}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(a)=\max {\Bigg (}0,\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)-1}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}{\Bigg )},\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}(a)=\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}.\end{aligned}}}$

Formas equivalentes para un cálculo eficiente

Es conveniente reexpresar la función Q de Marcum como ^[18]

${\displaystyle P_{N}(X,Y)=Q_{N}({\sqrt {2NX}},{\sqrt {2Y}}).}$

La puede interpretarse como la probabilidad de detección de muestras de señales recibidas integradas de manera incoherente con una relación señal-ruido recibida constante, , con un umbral de detección normalizado . En esta forma equivalente de la función Q de Marcum, para y dados , tenemos y . Existen muchas expresiones que pueden representar . Sin embargo, las cinco más confiables, precisas y eficientes para el cálculo numérico se dan a continuación. Son de la forma uno: ^[18] ${\displaystyle P_{N}(X,Y)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X=a^{2}/2N}$ ${\displaystyle Y=b^{2}/2}$ ${\displaystyle P_{N}(X,Y)}$

${\displaystyle P_{N}(X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\sum _{m=0}^{N-1+k}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}},}$

Forma dos: ^[18]

${\displaystyle P_{N}(X,Y)=\sum _{m=0}^{N-1}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}+\sum _{m=N}^{\infty }e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\left(1-\sum _{k=0}^{m-N}e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\right),}$

Forma tres: ^[18]

${\displaystyle 1-P_{N}(X,Y)=\sum _{m=N}^{\infty }e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\sum _{k=0}^{m-N}e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}},}$

Forma cuatro: ^[18]

${\displaystyle 1-P_{N}(X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\left(1-\sum _{m=0}^{N-1+k}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\right),}$

y forma cinco: ^[18]

${\displaystyle 1-P_{N}(X,Y)=e^{-(NX+Y)}\sum _{r=N}^{\infty }\left({\frac {Y}{NX}}\right)^{r/2}I_{r}(2{\sqrt {NXY}}).}$

Entre estas cinco formas, la segunda es la más robusta. ^[18]

Aplicaciones

La función Q de Marcum generalizada se puede utilizar para representar la función de distribución acumulativa (cdf) de muchas variables aleatorias:

• Si es una distribución exponencial con parámetro de tasa , entonces su cdf está dada por ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\sqrt {2\lambda x}}\right)}$

• Si es una distribución de Erlang con parámetro de forma y parámetro de velocidad , entonces su función de distribución acumulada está dada por ${\displaystyle X\sim \mathrm {Erlang} (k,\lambda )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k}\left(0,{\sqrt {2\lambda x}}\right)}$

• Si es una distribución chi-cuadrado con grados de libertad, entonces su función de distribución acumulada está dada por ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(0,{\sqrt {x}})}$

• Si es una distribución gamma con parámetro de forma y parámetro de velocidad , entonces su cdf viene dada por ${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{\alpha }(0,{\sqrt {2\beta x}})}$

• Si es una distribución de Weibull con parámetros de forma y parámetro de escala , entonces su función de distribución acumulada está dada por ${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (k,\lambda )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\sqrt {2}}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\frac {k}{2}}\right)}$

• Si es una distribución gamma generalizada con parámetros , entonces su cdf está dada por ${\displaystyle X\sim \mathrm {GG} (a,d,p)}$ ${\displaystyle a,d,p}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{\frac {d}{p}}\left(0,{\sqrt {2}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {p}{2}}\right)}$

• Si es una distribución chi-cuadrado no central con parámetro de no centralidad y grados de libertad, entonces su función de distribución acumulada está dada por ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})}$

• Si es una distribución de Rayleigh con parámetro , entonces su función de distribución acumulada está dada por ${\displaystyle X\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\frac {x}{\sigma }}\right)}$

• Si es una distribución de Maxwell-Boltzmann con parámetro , entonces su función de distribución acumulada está dada por ${\displaystyle X\sim \mathrm {Maxwell} (\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{3/2}\left(0,{\frac {x}{\sigma }}\right)}$

• Si es una distribución chi con grados de libertad, entonces su función de distribución acumulada está dada por ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(0,x)}$

• Si es una distribución de Nakagami con un parámetro de forma y un parámetro de dispersión, entonces su función de distribución acumulada está dada por ${\displaystyle X\sim \mathrm {Nakagami} (m,\Omega )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{m}\left(0,{\sqrt {\frac {2m}{\Omega }}}x\right)}$

• Si es una distribución de Rice con parámetros y , entonces su cdf está dada por ${\displaystyle X\sim \mathrm {Rice} (\nu ,\sigma )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)}$

• Si es una distribución chi no central con parámetro de no centralidad y grados de libertad, entonces su función de distribución acumulativa se da por ${\displaystyle X\sim \chi _{k}(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(\lambda ,x)}$

Notas al pie

1. JI Marcum (1960). Una teoría estadística de detección de objetivos mediante radar pulsado: apéndice matemático, IRE Trans. Inform. Theory, vol. 6, 59-267.
2. MK Simon y M.-S. Alouini (1998). Un enfoque unificado para el rendimiento de la comunicación digital en canales de desvanecimiento generalizado, Actas del IEEE , 86(9), 1860-1877.
3. A. Annamalai y C. Tellambura (2001). Límite de Cauchy-Schwarz en la función Marcum-Q generalizada con aplicaciones, Comunicaciones inalámbricas y computación móvil , 1(2), 243-253.
4. A. Annamalai y C. Tellambura (2008). Una representación integral exponencial simple de la función Q generalizada de Marcum Q _M ( a , b ) para M de orden real con aplicaciones. Conferencia de comunicaciones militares IEEE de 2008 , San Diego, CA, EE. UU.
5. Y. Sun, A. Baricz y S. Zhou (2010). Sobre la monotonía, la concavidad logarítmica y los límites estrictos de las funciones Q generalizadas de Marcum y Nuttall. IEEE Transactions on Information Theory , 56(3), 1166–1186, ISSN  0018-9448
6. Y. Sun y A. Baricz (2008). Desigualdades para la función Q generalizada de Marcum. Matemáticas Aplicadas y Computación 203(2008) 134-141.
7. NM Temme (1993). Aspectos asintóticos y numéricos de la distribución chi-cuadrado no central. Computers Math. Applic. , 25(5), 55-63.
8. A. Annamalai, C. Tellambura y John Matyjas (2009). "Un nuevo giro en la función Q generalizada de Marcum Q _M ( a ,  b ) con orden fraccionario M y sus aplicaciones". 2009 6th IEEE Consumer Communications and Networking Conference , 1–5, ISBN 978-1-4244-2308-8 
9. S. Andras, A. Baricz y Y. Sun (2011) La función Q de Marcum generalizada: un enfoque polinomial ortogonal. Acta Univ. Sapientiae Mathematica , 3(1), 60-76.
10. YA Brychkov (2012). Sobre algunas propiedades de la función Q de Marcum. Transformadas integrales y funciones especiales 23(3), 177-182.
11. M. Abramowitz y IA Stegun (1972). Fórmula 10.2.12, Funciones esféricas de Bessel modificadas, Manual de funciones matemáticas , pág. 443
12. WK Pratt (1968). Diferenciales parciales de la función Q de Marcum. Actas del IEEE , 56(7), 1220-1221.
13. R. Esposito (1968). Comentario sobre diferenciales parciales de la función Q de Marcum. Actas del IEEE , 56(12), 2195-2195.
14. VM Kapinas, SK Mihos, GK Karagiannidis (2009). Sobre la monotonía de las funciones Q generalizadas de Marcum y Nuttal. IEEE Transactions on Information Theory , 55(8), 3701-3710.
15. R. Li, PY Kam y H. Fu (2010). Nuevas representaciones y límites para la función Q de Marcum generalizada mediante un enfoque geométrico y una aplicación. IEEE Trans. Commun. , 58(1), 157-169.
16. MK Simon y M.-S. Alouini (2000). Límites de tipo exponencial en la función Q de Marcum generalizada con aplicación al análisis de probabilidad de error en canales de desvanecimiento. IEEE Trans. Commun. 48(3), 359-366.
17. H. Guo, B. Makki, M. -S. Alouini y T. Svensson, "Una aproximación semilineal de la función Q de Marcum de primer orden con aplicación a sistemas de antenas predictoras", en IEEE Open Journal of the Communications Society , vol. 2, págs. 273-286, 2021, doi: 10.1109/OJCOMS.2021.3056393.
18. DA Shnidman (1989). El cálculo de la probabilidad de detección y la función Q generalizada de Marcum. IEEE Transactions on Information Theory, 35(2), 389-400.

Referencias

• Marcum, JI (1950) "Tabla de funciones Q". Memorándum de investigación de RAND de la Fuerza Aérea de los EE. UU. M-339 . Santa Mónica, CA: Rand Corporation, 1 de enero de 1950.
• Nuttall, Albert H. (1975): Algunas integrales que involucran la función QM , IEEE Transactions on Information Theory , 21(1), 95–96, ISSN  0018-9448
• Shnidman, David A. (1989): El cálculo de la probabilidad de detección y la función Q de Marcum generalizada, IEEE Transactions on Information Theory, 35(2), 389-400.
• Weisstein, Eric W. Marcum Función Q. De MathWorld—Un recurso web de Wolfram. [1]