En estadística , la función Q generalizada de Marcum de orden se define como
donde y y es la función de Bessel modificada de primer tipo de orden . Si , la integral converge para cualquier . La función Q de Marcum se presenta como una función de distribución acumulativa complementaria para distribuciones chi no central , chi-cuadrado no central y Rice . En ingeniería, esta función aparece en el estudio de sistemas de radar, sistemas de comunicación, sistema de colas y procesamiento de señales. Esta función fue estudiada por primera vez para , y por lo tanto nombrada así, por Jess Marcum para radares pulsados. [1]
Propiedades
Representación integral finita
Utilizando el hecho de que , la función Q generalizada de Marcum puede definirse alternativamente como una integral finita como
Sin embargo, es preferible tener una representación integral de la función Q de Marcum tal que (i) los límites de la integral sean independientes de los argumentos de la función, (ii) y que los límites sean finitos, (iii) y que el integrando sea una función gaussiana de estos argumentos. Para valores enteros positivos de , dicha representación está dada por la integral trigonométrica [2] [3]
dónde
y la relación es una constante.
Para cualquier real , dicha integral trigonométrica finita está dada por [4]
donde es como se definió anteriormente , y el término de corrección adicional está dado por
Para valores enteros de , el término de corrección tiende a desaparecer.
Monotonía y concavidad logarítmica
- La función Q generalizada de Marcum es estrictamente creciente en y para todos y , y es estrictamente decreciente en para todos y [5]
- La función es logarítmicamente cóncava para todos los [5]
- La función es estrictamente log-cóncava en para todos y , lo que implica que la función Q de Marcum generalizada satisface la propiedad de que lo nuevo es mejor que lo usado. [6]
- La función es logarítmicamente cóncava para todos los [5]
Representación en serie
- La función Q de Marcum generalizada de orden se puede representar utilizando la función Gamma incompleta como [7] [8] [9]
- donde es la función Gamma incompleta inferior . Esto suele denominarse representación canónica de la función Q de Marcum generalizada de orden -ésimo.
- donde es el polinomio de Laguerre generalizado de grado y de orden .
- La función Q generalizada de Marcum de orden también se puede representar como expansiones de la serie de Neumann [4] [8]
- donde las sumas se dan en incrementos de uno. Nótese que cuando se asume un valor entero, tenemos .
- Para valores semienteros no negativos , tenemos una expresión de forma cerrada para la función Q de Marcum generalizada como [8] [10]
- donde es la función de error complementaria . Dado que las funciones de Bessel con parámetro semientero tienen expansiones de suma finitas como [4]
- donde es un entero no negativo, podemos representar exactamente la función Q de Marcum generalizada con un parámetro semientero. Más precisamente, tenemos [4]
- para números enteros no negativos , donde es la función Q gaussiana . Alternativamente, también podemos expresar de manera más compacta las funciones de Bessel con semientero como suma de funciones seno y coseno hiperbólicos: [11]
- donde , , y para cualquier valor entero de .
Relación de recurrencia y función generadora
- Integrando por partes, podemos demostrar que la función Q de Marcum generalizada satisface la siguiente relación de recurrencia [8] [10]
- La fórmula anterior se puede generalizar fácilmente como [10]
- para entero positivo . La recurrencia anterior se puede utilizar para definir formalmente la función Q generalizada de Marcum para . Tomando y para , obtenemos la representación en serie de Neumann de la función Q generalizada de Marcum.
- La relación de recurrencia de tres términos relacionada se da por [7]
- dónde
- Podemos eliminar la aparición de la función de Bessel para obtener la relación de recurrencia de tercer orden [7]
- Otra relación de recurrencia, relacionándola con sus derivadas, está dada por
- La función generadora ordinaria de para la integral es [10]
- dónde
Relación de simetría
- Utilizando las dos representaciones de la serie de Neumann, podemos obtener la siguiente relación de simetría para la integral positiva
- En particular, porque tenemos
Valores especiales
Algunos valores específicos de la función Marcum-Q son [6]
- Para , al restar las dos formas de representación de la serie de Neumann, tenemos [10]
- que cuando se combina con la fórmula recursiva da
- para cualquier entero no negativo .
- Para , utilizando la definición integral básica de la función Q generalizada de Marcum, tenemos [8] [10]
- Para , tenemos
- Porque tenemos
Formas asintóticas
- Suponiendo que sea fija y grande, sea , entonces la función Marcum-Q generalizada tiene la siguiente forma asintótica [7]
- donde se da por
- Las funciones y están dadas por
- La función satisface la recursión.
- para y
- En el primer término de la aproximación asintótica anterior, tenemos
- Por lo tanto, suponiendo , la aproximación asintótica del primer término de la función Marcum-Q generalizada es [7]
- donde es la función Q gaussiana . Aquí como
- Para el caso cuando , tenemos [7]
- Aquí también como
Diferenciación
- La derivada parcial de con respecto a y está dada por [12] [13]
- Podemos relacionar las dos derivadas parciales como
- La derivada parcial n -ésima de con respecto a sus argumentos está dada por [10]
Desigualdades
- para todos y .
Límites
Basado en monotonía y concavidad logarítmica
Se pueden obtener varios límites superiores e inferiores de la función Marcum-Q generalizada utilizando la monotonía y la concavidad logarítmica de la función y el hecho de que tenemos una expresión en forma cerrada para cuando tiene un valor medio entero.
Sea y denote el par de operadores de redondeo de semienteros que asignan un real a su semientero impar izquierdo y derecho más cercano, respectivamente, de acuerdo con las relaciones
donde y denotan las funciones de piso y techo enteras.
- La monotonía de la función para todos y nos da el siguiente límite simple [14] [8] [15]
- Sin embargo, el error relativo de este límite no tiende a cero cuando . [5] Para valores enteros de , este límite se reduce a
- Una aproximación muy buena de la función Q de Marcum generalizada para valores enteros se obtiene tomando la media aritmética de los límites superior e inferior [15]
- Se puede obtener un límite más estricto explotando la concavidad logarítmica de en como [5]
- donde y para . La estrechez de este límite mejora a medida que o aumenta. El error relativo de este límite converge a 0 cuando . [5] Para valores enteros de , este límite se reduce a
Cauchy-Schwarz en el límite
Utilizando la representación integral trigonométrica para valores enteros , se puede obtener el siguiente límite de Cauchy-Schwarz [3]
dónde .
Límites de tipo exponencial
Para fines analíticos, a menudo resulta útil tener límites en forma exponencial simple, aunque no sean los límites más estrictos que se puedan lograr. Si , uno de esos límites para valores enteros se da como [16] [3]
Cuando , el límite se simplifica para dar
Otro límite similar obtenido a través de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se da como [3]
Límite de tipo Chernoff
Los límites de tipo Chernoff para la función Q generalizada de Marcum, donde es un entero, se dan por [16] [3]
donde el parámetro de Chernoff tiene un valor óptimo de
Aproximación semilineal
La función Marcum-Q de primer orden se puede aproximar semilinealmente mediante [17]
dónde
y
Formas equivalentes para un cálculo eficiente
Es conveniente reexpresar la función Q de Marcum como [18]
La puede interpretarse como la probabilidad de detección de muestras de señales recibidas integradas de manera incoherente con una relación señal-ruido recibida constante, , con un umbral de detección normalizado . En esta forma equivalente de la función Q de Marcum, para y dados , tenemos y . Existen muchas expresiones que pueden representar . Sin embargo, las cinco más confiables, precisas y eficientes para el cálculo numérico se dan a continuación. Son de la forma uno: [18]
Forma dos: [18]
Forma tres: [18]
Forma cuatro: [18]
y forma cinco: [18]
Entre estas cinco formas, la segunda es la más robusta. [18]
Aplicaciones
La función Q de Marcum generalizada se puede utilizar para representar la función de distribución acumulativa (cdf) de muchas variables aleatorias:
- Si es una distribución exponencial con parámetro de tasa , entonces su cdf está dada por
- Si es una distribución de Erlang con parámetro de forma y parámetro de velocidad , entonces su función de distribución acumulada está dada por
- Si es una distribución chi-cuadrado con grados de libertad, entonces su función de distribución acumulada está dada por
- Si es una distribución gamma con parámetro de forma y parámetro de velocidad , entonces su cdf viene dada por
- Si es una distribución de Weibull con parámetros de forma y parámetro de escala , entonces su función de distribución acumulada está dada por
- Si es una distribución gamma generalizada con parámetros , entonces su cdf está dada por
- Si es una distribución chi-cuadrado no central con parámetro de no centralidad y grados de libertad, entonces su función de distribución acumulada está dada por
- Si es una distribución de Rayleigh con parámetro , entonces su función de distribución acumulada está dada por
- Si es una distribución de Maxwell-Boltzmann con parámetro , entonces su función de distribución acumulada está dada por
- Si es una distribución chi con grados de libertad, entonces su función de distribución acumulada está dada por
- Si es una distribución de Nakagami con un parámetro de forma y un parámetro de dispersión, entonces su función de distribución acumulada está dada por
- Si es una distribución de Rice con parámetros y , entonces su cdf está dada por
- Si es una distribución chi no central con parámetro de no centralidad y grados de libertad, entonces su función de distribución acumulativa se da por
Notas al pie
- ^ JI Marcum (1960). Una teoría estadística de detección de objetivos mediante radar pulsado: apéndice matemático, IRE Trans. Inform. Theory, vol. 6, 59-267.
- ^ MK Simon y M.-S. Alouini (1998). Un enfoque unificado para el rendimiento de la comunicación digital en canales de desvanecimiento generalizado, Actas del IEEE , 86(9), 1860-1877.
- ^ abcde A. Annamalai y C. Tellambura (2001). Límite de Cauchy-Schwarz en la función Marcum-Q generalizada con aplicaciones, Comunicaciones inalámbricas y computación móvil , 1(2), 243-253.
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Referencias
- Marcum, JI (1950) "Tabla de funciones Q". Memorándum de investigación de RAND de la Fuerza Aérea de los EE. UU. M-339 . Santa Mónica, CA: Rand Corporation, 1 de enero de 1950.
- Nuttall, Albert H. (1975): Algunas integrales que involucran la función QM , IEEE Transactions on Information Theory , 21(1), 95–96, ISSN 0018-9448
- Shnidman, David A. (1989): El cálculo de la probabilidad de detección y la función Q de Marcum generalizada, IEEE Transactions on Information Theory, 35(2), 389-400.
- Weisstein, Eric W. Marcum Función Q. De MathWorld—Un recurso web de Wolfram. [1]