Las desigualdades de Turán

En matemáticas, las desigualdades de Turán son algunas desigualdades para polinomios de Legendre encontradas por Pál Turán  (1950) (y publicadas por primera vez por Szegö (1948)). Existen muchas generalizaciones para otros polinomios, a menudo llamadas desigualdades de Turán, propuestas por (EF Beckenbach, W. Seidel y Otto Szász 1951) y otros autores.

Si es el polinomio de Legendre n-ésimo , las desigualdades de Turán establecen que ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \,\!P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x)\ {\text{for}}\ -1<x<1.}$

Para el polinomio de Hermite , las desigualdades de Turán son ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0,}$

Mientras que para los polinomios de Chebyshev son

${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0\ {\text{for}}\ -1<x<1.}$

Véase también

• Desigualdad de Askey-Gasper
• Cadena de tormenta

Referencias

• Beckenbach, EF; Seidel, W.; Szász, Otto (1951), "Determinantes recurrentes de Legendre y de polinomios ultrasféricos", Duke Math. J. , 18 : 1–10, doi :10.1215/S0012-7094-51-01801-7, MR  0040487
• Szegö, G. (1948), "Sobre una desigualdad de P. Turán relativa a los polinomios de Legendre", Bull. Amer. Math. Soc. , 54 (4): 401–405, doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09017-6 , MR  0023954
• Turán, Paul (1950), "Sobre los ceros de los polinomios de Legendre", Časopis Pěst. Estera. Fys. , 75 (3): 113–122, doi : 10.21136/CPMF.1950.123879 , SEÑOR  0041284