Fuerzas de doble capa

Fuerza estimada entre dos partículas coloidales cargadas con un radio de 1 μm y una densidad de carga superficial de 2 mC/m2 ^suspendidas en soluciones electrolíticas monovalentes de diferentes concentraciones molares, como se indica. El esquema muestra las partículas coloidales cargadas filtradas por los iones del electrolito.

Las fuerzas de doble capa se producen entre objetos cargados a través de líquidos, típicamente agua. Esta fuerza actúa sobre distancias que son comparables a la longitud de Debye , que es del orden de uno a unas pocas décimas de nanómetros . La intensidad de estas fuerzas aumenta con la magnitud de la densidad de carga superficial (o el potencial eléctrico superficial). Para dos objetos con carga similar, esta fuerza es repulsiva y decae exponencialmente a distancias mayores, véase la figura. Para objetos con cargas desiguales y eventualmente a distancias más cortas, estas fuerzas también pueden ser atractivas. La teoría de Derjaguin, Landau, Verwey y Overbeek (DLVO) combina estas fuerzas de doble capa junto con las fuerzas de Van der Waals para estimar el potencial de interacción real entre partículas coloidales. ^[1]

Cerca de superficies cargadas (u otros objetos cargados) en soluciones acuosas se desarrolla una doble capa eléctrica . Dentro de esta doble capa, la primera capa corresponde a la superficie cargada. Estas cargas pueden tener su origen en iones fuertemente adsorbidos, grupos superficiales disociados o iones sustituidos dentro de la red cristalina. La segunda capa corresponde a la capa difusa, que contiene la carga neutralizante que consiste en contraiones acumulados y coiones agotados. El perfil de potencial resultante entre estos dos objetos conduce a diferencias en las concentraciones iónicas dentro del espacio entre estos objetos con respecto a la solución en masa. Estas diferencias generan una presión osmótica, que genera una fuerza entre estos objetos.

Estas fuerzas se experimentan fácilmente cuando se lavan las manos con jabón. La adsorción de moléculas de jabón hace que la piel se cargue negativamente, y la sensación resbaladiza es causada por las fuerzas de doble capa fuertemente repulsivas. ^[2] Estas fuerzas son además relevantes en muchos sistemas coloidales o biológicos, y pueden ser responsables de su estabilidad, la formación de cristales coloidales o sus propiedades reológicas.

Modelo de Poisson-Boltzmann

Representación gráfica de dos placas cargadas que interactúan a través de una solución electrolítica. La distancia entre las placas se abrevia como h .

El modelo más popular para describir la doble capa eléctrica es el modelo de Poisson-Boltzmann (PB). Este modelo se puede utilizar igualmente para evaluar las fuerzas de doble capa. Analicemos este modelo en el caso de la geometría plana, como se muestra en la figura de la derecha. En este caso, el perfil de potencial eléctrico ψ ( z ) cerca de una interfaz cargada solo dependerá de la posición z . La ecuación de Poisson correspondiente se lee en unidades del SI

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dz^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}\epsilon }}}$

donde ρ es la densidad de carga por unidad de volumen, ε ₀ la permitividad dieléctrica del vacío y ε la constante dieléctrica del líquido. Para un electrolito simétrico formado por cationes y aniones con una carga ± q , la densidad de carga se puede expresar como

${\displaystyle \rho =q(c_{+}-c_{-})}$

donde c _± = N _± / V son las concentraciones de los cationes y aniones, donde N _± son sus números y V el volumen de la muestra. Estos perfiles se pueden relacionar con el potencial eléctrico considerando el hecho de que el potencial químico de los iones es constante. Para ambos iones, esta relación se puede escribir como

${\displaystyle \mu _{\pm }=\mu _{+}^{(0)}+kT\ln c_{\pm }\pm q\psi }$

donde es el potencial químico de referencia, T la temperatura absoluta y k la constante de Boltzmann. El potencial químico de referencia se puede eliminar aplicando la misma ecuación lejos de la superficie donde se supone que el potencial desaparece y las concentraciones alcanzan la concentración total c _B . Los perfiles de concentración se convierten así en ${\displaystyle \mu _{\pm }^{(0)}}$

${\displaystyle c_{\pm }=c_{\rm {B}}e^{\mp \beta q\psi }}$

donde β = 1/( kT ). Esta relación refleja la distribución de Boltzmann de los iones con energía ± qψ . Insertando estas relaciones en la ecuación de Poisson se obtiene la ecuación PB ^[3]

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dz^{2}}}={\frac {qc_{\rm {B}}}{\epsilon _{0}\epsilon }}[e^{+\beta q\psi }-e^{-\beta q\psi }]}$

El perfil potencial entre dos placas normalmente se obtiene resolviendo esta ecuación numéricamente.

Una vez conocido el perfil de potencial, la fuerza por unidad de área entre las placas expresada como la presión de separación Π se puede obtener de la siguiente manera. El punto de partida es la relación de Gibbs-Duhem para un sistema de dos componentes a temperatura constante ^[3]

${\displaystyle -Vd\Pi +N_{+}d\mu _{+}+N_{-}d\mu _{-}=0}$

Introduciendo las concentraciones c _± y utilizando las expresiones de los potenciales químicos μ _± dadas anteriormente se encuentra

${\displaystyle d\Pi =kT(dc_{+}+dc_{-})+q(c_{+}-c_{-})d\psi }$

La diferencia de concentración se puede eliminar con la ecuación de Poisson y la ecuación resultante se puede integrar desde la separación infinita de las placas hasta la separación real h al comprender que

${\displaystyle 2(d^{2}\psi /dz^{2})d\psi =d(d\psi /dz)^{2}}$

Expresando los perfiles de concentración en términos de los perfiles potenciales se obtiene

${\displaystyle \Pi =kTc_{\rm {B}}(e^{+\beta q\psi }+e^{-\beta q\psi }-2)-{\frac {\epsilon _{0}\epsilon }{2}}\left({\frac {d\psi }{dz}}\right)^{2}}$

A partir de un perfil de potencial eléctrico conocido ψ ( z ), se puede calcular la presión de disyunción a partir de esta ecuación en cualquier posición adecuada z . La derivación alternativa de la misma relación para la presión de disyunción involucra el tensor de tensión. ^[1]

Modelo de Debye-Hückel

Cuando los potenciales eléctricos o las densidades de carga no son demasiado altos, la ecuación PB se puede simplificar a la ecuación de Debye-Hückel (DH). Al expandir la función exponencial en la ecuación PB en una serie de Taylor, se obtiene

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dz^{2}}}=\kappa ^{2}\psi }$       dónde       ${\displaystyle \;\;\;\kappa ^{2}={\frac {2\beta q^{2}c_{\rm {B}}}{\epsilon _{0}\epsilon }}}$

El parámetro κ ⁻¹ se denomina longitud de Debye y en la tabla de la derecha se dan algunos valores representativos para una sal monovalente en agua a 25 °C con ε ≃ 80. En soluciones no acuosas, la longitud de Debye puede ser sustancialmente mayor que las que se dan en la tabla debido a constantes dieléctricas más pequeñas. El modelo DH representa una buena aproximación, cuando los potenciales de superficie son suficientemente bajos con respecto a los valores límite.

${\displaystyle \beta q\psi \ll 1\;\;\;{\rm {or}}\;\;\;\psi \ll {\frac {kT}{q}}\simeq 26\;{\rm {mV}}}$

El valor numérico se refiere a una sal monovalente y a 25 °C. En la práctica, la aproximación DH sigue siendo bastante precisa hasta potenciales de superficie comparables a los valores límite indicados anteriormente. La presión de disyunción se puede obtener a partir de la ecuación PB indicada anteriormente, que también se puede simplificar para el caso DH expandiéndola en series de Taylor. La expresión resultante es

${\displaystyle \Pi ={\frac {\epsilon _{0}\epsilon }{2}}\left[\kappa ^{2}\psi ^{2}-\left({\frac {d\psi }{dz}}\right)^{2}\right]}$

La ventaja sustancial del modelo DH sobre el modelo PB es que las fuerzas se pueden obtener de forma analítica. A continuación se analizarán algunos de los casos relevantes.

Aproximación por superposición

Potencial electrostático a través de una solución electrolítica dentro de la aproximación de superposición. Las líneas discontinuas corresponden a las contribuciones de las placas individuales.

Cuando las superficies están suficientemente separadas, los perfiles de potencial que se originan de cada superficie individual no se verán muy perturbados por la presencia de la otra superficie. Esta aproximación sugiere que uno puede simplemente sumar ( superponer ) los perfiles de potencial que se originan de cada superficie como se ilustra en la figura. Dado que el perfil de potencial pasa por un mínimo en el plano medio, es más fácil evaluar la presión de disyunción en el plano medio. La solución de la ecuación DH para una pared aislada se lee

${\displaystyle \psi (z)=\psi _{\rm {D}}e^{-\kappa z}}$

donde z es la distancia desde la superficie y ψ _D el potencial de la superficie. El potencial en el plano medio está dado por el doble del valor de este potencial a una distancia z = h /2. La presión disjunta se convierte en ^{[1] [4]}

${\displaystyle \Pi =2\epsilon \epsilon _{0}\kappa ^{2}\psi _{\rm {D}}^{2}e^{-\kappa h}}$

La fuerza electrostática de doble capa decae de manera exponencial. Debido al apantallamiento por el electrolito, el rango de la fuerza está dado por la longitud de Debye y su intensidad por el potencial de superficie (o densidad de carga superficial ). Esta aproximación resulta exacta siempre que la separación entre placas sea grande en comparación con la longitud de Debye y los potenciales de superficie sean bajos.

Este resultado se puede generalizar de forma sencilla a superficies muy cargadas, pero solo a mayores separaciones. Incluso si el potencial es grande cerca de la superficie, será pequeño a mayores distancias, y se puede describir mediante la ecuación DH. Sin embargo, en este caso hay que sustituir el potencial de capa difusa real ψ _D por el potencial efectivo ψ _eff . Dentro del modelo PB, este potencial efectivo se puede evaluar analíticamente y se lee ^[4]

${\displaystyle \psi _{\rm {eff}}={\frac {4}{\beta q}}\tanh(\beta q\psi _{\rm {D}})}$

La aproximación de superposición se puede extender fácilmente a sistemas asimétricos. Argumentos análogos conducen a la expresión para la presión disjunta

${\displaystyle \Pi (h)=2\epsilon \epsilon _{0}\kappa ^{2}\psi _{\rm {eff}}^{(1)}\psi _{\rm {eff}}^{(2)}e^{-\kappa h}}$

donde las cantidades en superíndice se refieren a propiedades de la superficie respectiva. A distancias mayores, las superficies con cargas opuestas se repelen y las que tienen la misma carga se atraen.

Superficies reguladoras de carga

Si bien la aproximación de superposición es realmente exacta a distancias mayores, ya no es precisa a separaciones menores. Las soluciones de las ecuaciones DH o PB entre las placas proporcionan una imagen más precisa en estas condiciones. Analicemos aquí solo la situación simétrica dentro del modelo DH. En este análisis se presentará la noción de regulación de carga , que sugiere que la carga superficial (y el potencial superficial) pueden variar (o regularse) al acercarse.

La ecuación DH se puede resolver exactamente para dos placas. ^{[1] [5]} Las condiciones de contorno juegan un papel importante, y el potencial de superficie y la densidad de carga de superficie se convierten en funciones de la separación de superficie h y pueden diferir de las cantidades correspondientes ψ _D y σ para la superficie aislada. Cuando la carga de superficie permanece constante al acercarse, se hace referencia a las condiciones de contorno de carga constante (CC). En este caso, el potencial de capa difusa aumentará al acercarse. Por otro lado, cuando el potencial de superficie se mantiene constante, se hace referencia a la condición de contorno de potencial constante (CP). En este caso, la densidad de carga de superficie disminuye al acercarse. Tal disminución de carga puede ser causada por la adsorción o desorción de iones cargados de la superficie. Tal variación de especies adsorbidas al acercarse también se ha denominado adsorción proximal . ^[6] La capacidad de la superficie para regular su carga se puede cuantificar mediante el parámetro de regulación. ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$

${\displaystyle p={\frac {C_{\rm {D}}}{C_{\rm {I}}+C_{\rm {D}}}}}$

donde C _D = ε ₀ ε κ es la capacitancia de la capa difusa y C _I la capacitancia interna (o de regulación). Las condiciones CC se encuentran cuando p = 1 mientras que las condiciones CP para p = 0. El caso realista se situará típicamente entre ambas. Al resolver la ecuación DH se puede demostrar que el potencial de la capa difusa varía con la aproximación como

${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {D}}={\frac {1}{1-p+p\tanh(\kappa h/2)}}\psi _{\rm {D}}}$

mientras que la densidad de carga superficial obedece a una relación similar

${\displaystyle {\bar {\sigma }}={\frac {\tanh(\kappa h/2)}{1-p+p\tanh(\kappa h/2)}}\sigma }$

La presión de hinchamiento se puede encontrar insertando la solución exacta de la ecuación DH en las expresiones anteriores y se encuentra

${\displaystyle \Pi =2\epsilon \epsilon _{0}\kappa ^{2}\psi _{\rm {D}}^{2}{\frac {e^{-\kappa h}}{[1+(1-2p)e^{-\kappa h}]^{2}}}}$

La repulsión es más fuerte para las condiciones CC ( p = 1) mientras que es más débil para las condiciones CP ( p = 0). El resultado de la aproximación de superposición siempre se recupera a distancias mayores pero también para p = 1/2 en todas las distancias. Este último hecho explica por qué la aproximación de superposición puede ser muy precisa incluso en separaciones pequeñas. Las superficies regulan su carga y no es infrecuente que el parámetro de regulación real no esté muy lejos de 1/2. La situación se ejemplifica en la figura siguiente. A partir de consideraciones de estabilidad se puede demostrar que p < 1 y que este parámetro también puede volverse negativo. Estos resultados se pueden extender al caso asimétrico de una manera sencilla. ^[5]

Regulación de carga dentro del modelo DH para ψ _D = 20 mV y una sal monovalente de concentración c _B = 1 mM. De izquierda a derecha: Dependencia de la distancia de separación de la densidad de cambio de superficie, potencial de capa difusa y presión de disyunción. Condiciones de contorno de carga constante (CC, p = 1) y potencial constante (CP, p = 0), y aproximación de superposición ( p = 1/2).

Cuando los potenciales de superficie se reemplazan por potenciales efectivos, esta imagen DH simple es aplicable para superficies con mayor carga a distancias suficientemente mayores. Sin embargo, a distancias más cortas, se puede ingresar al régimen PB y el parámetro de regulación puede no permanecer constante. En este caso, se debe resolver la ecuación PB junto con un modelo apropiado del proceso de carga de la superficie. Se demostró experimentalmente que los efectos de regulación de carga pueden volverse muy importantes en sistemas asimétricos. ^[7]

Extensiones a otras geometrías

Numerosos investigadores han estudiado las interacciones entre diversos objetos en el marco de los modelos DH y PB. A continuación se resumen algunos de los resultados más relevantes.

Geometrías no planas : Los objetos con geometrías distintas a las planas pueden tratarse dentro de la aproximación de Derjaguin , siempre que su tamaño sea sustancialmente mayor que la longitud de Debye. Esta aproximación se ha utilizado para estimar la fuerza entre dos partículas coloidales cargadas, como se muestra en la primera figura de este artículo. La naturaleza exponencial de estas fuerzas repulsivas y el hecho de que su rango está dado por la longitud de Debye se confirmó experimentalmente mediante mediciones de fuerza directas, incluyendo aparatos de fuerzas de superficie , ^{[3] [8]} técnica de sonda coloidal , ^{[7] [9]} o pinzas ópticas . ^{[10] [11]} La energía libre de interacción que involucra dos partículas esféricas dentro de la aproximación DH sigue el potencial de Coulomb apantallado o Yukawa ^{[4] [12]}

${\displaystyle U={\frac {Q^{2}}{4\pi \epsilon \epsilon _{0}}}\left({\frac {e^{\kappa a}}{1+\kappa a}}\right)^{2}{\frac {e^{-\kappa r}}{r}}}$

donde r es la distancia de centro a centro, Q es la carga de la partícula y a el radio de la partícula. Esta expresión se basa en la aproximación de superposición y solo es válida en grandes separaciones. Esta ecuación se puede extender a partículas con mayor carga reinterpretando la carga Q como una carga efectiva. Para abordar las interacciones en otras situaciones, se debe recurrir a soluciones numéricas de la ecuación DH o PB.

Distribución de carga no uniforme o irregular : la interacción entre superficies con distribución de carga no uniforme y periódica se ha analizado dentro de la aproximación DH. ^{[13] [14]} Se dice que dichas superficies tienen una distribución de carga en mosaico o en parche. Una conclusión importante de estos estudios es que existe una contribución electrostática atractiva adicional, que también decae exponencialmente. Cuando las no uniformidades se organizan en una red cuadrática con espaciamiento b , la longitud de decaimiento q ⁻¹ de esta atracción adicional se puede expresar como

${\displaystyle q^{2}=\kappa ^{2}+\left({\frac {2\pi }{b}}\right)^{2}}$

En niveles altos de sal, esta atracción se muestra como la interacción entre superficies cargadas uniformemente. Sin embargo, en niveles más bajos de sal, el rango de esta atracción está relacionado con el tamaño característico de las heterogeneidades de carga superficial.

Fuerzas de tres cuerpos : Las interacciones entre objetos débilmente cargados son aditivas por pares debido a la naturaleza lineal de la aproximación DH. Sin embargo, en el nivel PB, están presentes fuerzas atractivas de tres cuerpos. ^[11] La energía libre de interacción entre tres objetos 1, 2 y 3 se puede expresar como

${\displaystyle F_{123}=F_{12}+F_{12}+F_{12}+\Delta F_{123}}$

donde F _ij son las energías libres de pares y ΔF ₁₂₃ es la contribución no aditiva de tres cuerpos. Se encontró que estas contribuciones de tres cuerpos eran atractivas en el nivel PB, lo que significa que tres objetos cargados se repelen con menos fuerza de lo que uno esperaría sobre la base de interacciones por pares únicamente.

Más allá de la aproximación de Poisson-Boltzmann

Se puede proponer una descripción más precisa de las interacciones de doble capa en el modelo primitivo . Este modelo trata las interacciones electrostáticas y de núcleo duro entre todos los iones individuales de forma explícita. Sin embargo, incluye el disolvente solo de forma "primitiva", es decir, como un continuo dieléctrico. Este modelo se estudió con mucho detalle en la comunidad teórica. ^{[12] [15] [ 16] [17]} Las expresiones explícitas para las fuerzas en su mayoría no están disponibles, pero son accesibles con simulaciones por computadora, ecuaciones integrales o teorías funcionales de la densidad.

El hallazgo importante de estos estudios es que la descripción de PB representa solo una aproximación de campo medio. Esta aproximación es excelente en el llamado régimen de acoplamiento débil , es decir, para electrolitos monovalentes y superficies débilmente cargadas. Sin embargo, esta descripción falla en el régimen de acoplamiento fuerte , que puede encontrarse para electrolitos multivalentes, sistemas altamente cargados o solventes no acuosos. ^[17] En el régimen de acoplamiento fuerte, los iones están fuertemente correlacionados, lo que significa que cada ion tiene un agujero de exclusión alrededor de sí mismo. Estas correlaciones conducen a una fuerte adsorción de iones a superficies cargadas, lo que puede conducir a la inversión de carga y la cristalización de estos iones en la superficie. Estas correlaciones también pueden inducir fuerzas de atracción. El rango de estas fuerzas es típicamente inferior a 1 nm.

La controversia sobre la atracción entre cargas iguales

Alrededor de 1990, han surgido evidencias teóricas y experimentales de que las fuerzas entre partículas cargadas suspendidas en soluciones diluidas de electrolitos monovalentes podrían ser atractivas a distancias mayores. ^{[18] [19]} Esta evidencia está en contradicción con la teoría PB discutida anteriormente, que siempre predice interacciones repulsivas en estas situaciones. El tratamiento teórico que llevó a estas conclusiones fue fuertemente criticado. ^{[20] [21]} Los hallazgos experimentales se basaron principalmente en video-microscopía, pero el análisis de datos subyacente fue cuestionado en relación con el papel de las impurezas, la idoneidad de las técnicas de procesamiento de imágenes, ^[10] y el papel de las interacciones hidrodinámicas. ^[22] A pesar de la crítica inicial, la evidencia acumulada sugiere que el DLVO no tiene en cuenta la física esencial necesaria para describir las observaciones experimentales. ^[23]

Aunque la comunidad sigue siendo escéptica con respecto a la existencia de atracciones efectivas entre especies con carga similar, recientes simulaciones de dinámica molecular por computadora con una descripción explícita del solvente han demostrado que el solvente juega un papel importante en la estructura de las especies cargadas en solución, mientras que el PB y el modelo primitivo no explican la mayoría de estos efectos. ^[24] Específicamente, el solvente juega un papel clave en la localización de carga de los iones difusos en dominios ricos en iones que acercan a las especies cargadas. Con base en esta idea, las simulaciones han explicado tendencias experimentales como la desaparición de un pico de dispersión en soluciones de polielectrolitos libres de sal ^[25] y las inhomogeneidades estructurales de partículas/nanopartículas coloidales cargadas ^[24] observadas experimentalmente que el PB y los enfoques del modelo primitivo no logran explicar.

Pertinencia

Las interacciones de doble capa son relevantes en un amplio número de fenómenos. ^[4] Estas fuerzas son responsables del hinchamiento de las arcillas . También pueden ser responsables de la estabilización de la suspensión coloidal y evitarán la agregación de partículas coloidales altamente cargadas en suspensiones acuosas. A bajas concentraciones de sal, las fuerzas repulsivas de doble capa pueden llegar a ser bastante prolongadas y pueden conducir a la estructuración de suspensiones coloidales y eventualmente a la formación de cristales coloidales . Dichas fuerzas repulsivas pueden inducir además el bloqueo de superficies durante la deposición de partículas . Las interacciones de doble capa son igualmente relevantes para los agregados de surfactantes y pueden ser responsables de la estabilización de fases cúbicas hechas de micelas esferoidales o fases lamelares que consisten en bicapas lipídicas o surfactantes .

Véase también

• Coloide
• Longitud de Debye
• Teoría DLVO
• Teoría de Debye-Hückel
• Aproximación de Derjaguin
• Doble capa eléctrica
• Emulsión
• Floculación
• Nanopartícula
• Agregación de partículas
• Deposición de partículas
• Ecuación de Poisson-Boltzmann
• Carga superficial
• Fuerza de van der Waals

Referencias

1. WB Russel, DA Saville, WR Schowalter, Dispersiones coloidales. Cambridge University Press: Cambridge, 1989.
2. Idson, Bernard (1967). "Adsorción en la piel y el cabello". Revista de la Sociedad de Químicos Cosméticos . 18 : 91–103 – vía Sociedad de Químicos Cosméticos.
3. J. Israelachvili, Fuerzas intermoleculares y de superficie. Academic Press: Londres, 1992.
4. DF Evans, H. Wennerstöm, El dominio coloidal, John Wiley-VCH, Nueva York, 1999.
5. Carnie, Steven L.; Chan, Derek YC (1993). "Energía libre de interacción entre placas con regulación de carga: un modelo linealizado". Journal of Colloid and Interface Science . 161 (1). Elsevier BV: 260–264. Código Bibliográfico :1993JCIS..161..260C. doi :10.1006/jcis.1993.1464. ISSN  0021-9797.
6. Subramanian, Vivek; Ducker, William (2001). "Adsorción proximal de surfactante catiónico sobre sílice en equilibrio". The Journal of Physical Chemistry B . 105 (7). Sociedad Química Estadounidense (ACS): 1389–1402. doi :10.1021/jp003168f. ISSN  1520-6106.
7. Popa, Ionel; Sinha, Prashant; Finessi, Marco; Maroni, Plinio; Papastavrou, Georg; Borkovec, Michal (2010-06-02). "Importancia de la regulación de carga en fuerzas atractivas de doble capa entre superficies diferentes". Physical Review Letters . 104 (22). American Physical Society (APS): 228301. Bibcode :2010PhRvL.104v8301P. doi :10.1103/physrevlett.104.228301. ISSN  0031-9007. PMID  20867210.
8. Pashley, RM (1981). "DLVO y fuerzas de hidratación entre superficies de mica en soluciones electrolíticas de Li ⁺ , Na ⁺ , K ⁺ y Cs ^{+ : una correlación de las fuerzas de doble capa e hidratación con las propiedades de intercambio catiónico de la superficie".} Journal of Colloid and Interface Science . 83 (2). Elsevier BV: 531–546. Bibcode :1981JCIS...83..531P. doi :10.1016/0021-9797(81)90348-9. ISSN  0021-9797.
9. Kane, Victoria; Mulvaney, Paul (1998). "Interacciones de doble capa entre monocapas autoensambladas de ácido ω-mercaptundecanoico sobre superficies de oro". Langmuir . 14 (12). Sociedad Química Estadounidense (ACS): 3303–3311. doi :10.1021/la971296y. ISSN  0743-7463.
10. Gutsche, C.; Keyser, UF; Kegler, K.; Kremer, F.; Linse, P. (25 de septiembre de 2007). "Fuerzas entre pares simples de coloides cargados en soluciones acuosas de sal". Physical Review E . 76 (3). American Physical Society (APS): 031403. Bibcode :2007PhRvE..76c1403G. doi :10.1103/physreve.76.031403. ISSN  1539-3755. PMID  17930243.
11. Dobnikar, Jure; Brunner, Matthias; von Grünberg, Hans-Hennig; Bechinger, Clemens (10 de marzo de 2004). "Interacciones de tres cuerpos en sistemas coloidales". Physical Review E . 69 (3). American Physical Society (APS): 031402. arXiv : 0801.3922 . Bibcode :2004PhRvE..69c1402D. doi :10.1103/physreve.69.031402. ISSN  1539-3755. PMID  15089289. S2CID  36231660.
12. Levin, Yan (26 de septiembre de 2002). "Correlaciones electrostáticas: del plasma a la biología". Informes sobre el progreso en física . 65 (11): 1577–1632. arXiv : cond-mat/0207086 . Código Bibliográfico :2002RPPh...65.1577L. doi :10.1088/0034-4885/65/11/201. ISSN  0034-4885. S2CID  18515704.
13. P. Richmond, J. Chem. Soc. Farad. Trans. II 70 (1974) 1066-1073.
14. Miklavic, SJ; Chan, DYC; White, LR; Healy, TW (1994). "Fuerzas de doble capa entre superficies cargadas heterogéneas". The Journal of Physical Chemistry . 98 (36). Sociedad Química Estadounidense (ACS): 9022–9032. doi :10.1021/j100087a034. ISSN  0022-3654.
15. Guldbrand, Lars; Jönsson, Bo; Wennerström, Håkan; Linse, Per (1984). "Fuerzas eléctricas de doble capa. Un estudio de Monte Carlo". The Journal of Chemical Physics . 80 (5). AIP Publishing: 2221–2228. Bibcode :1984JChPh..80.2221G. doi :10.1063/1.446912. ISSN  0021-9606.
16. Kjellander, Roland; Marcělja, Stjepan (1984). "Correlación y efectos de carga de imagen en capas dobles eléctricas". Chemical Physics Letters . 112 (1). Elsevier BV: 49–53. Bibcode :1984CPL...112...49K. doi :10.1016/0009-2614(84)87039-6. ISSN  0009-2614.
17. Kjellander, Roland; Åkesson, Torbjörn; Jönsson, Bo; Marčelja, Stjepan (15 de julio de 1992). "Interacciones de doble capa en electrolitos monovalentes y divalentes: una comparación de la teoría anisotrópica HNC y simulaciones de Monte Carlo". The Journal of Chemical Physics . 97 (2). AIP Publishing: 1424–1431. Bibcode :1992JChPh..97.1424K. doi :10.1063/1.463218. ISSN  0021-9606.
18. Sogami, Ikuo; Ise, Norio (20 de diciembre de 1984). "Sobre la interacción electrostática en soluciones macroiónicas". The Journal of Chemical Physics . 81 (12). AIP Publishing: 6320–6332. Bibcode :1984JChPh..81.6320S. doi :10.1063/1.447541. ISSN  0021-9606.
19. Crocker, John C.; Grier, David G. (26 de agosto de 1996). "Cuando cargas iguales se atraen: los efectos del confinamiento geométrico en interacciones coloidales de largo alcance". Physical Review Letters . 77 (9). American Physical Society (APS): 1897–1900. Bibcode :1996PhRvL..77.1897C. doi :10.1103/physrevlett.77.1897. ISSN  0031-9007. PMID  10063199.
20. Overbeek, J. Theodoor G. (15 de octubre de 1987). "Sobre la interacción electrostática en soluciones y suspensiones macroiónicas". The Journal of Chemical Physics . 87 (8). AIP Publishing: 4406–4408. Bibcode :1987JChPh..87.4406O. doi :10.1063/1.452851. ISSN  0021-9606.
21. Wu, J.; Bratko, D.; Prausnitz, JM (22 de diciembre de 1998). "Interacción entre esferas coloidales con carga similar en soluciones electrolíticas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos . 95 (26). Actas de la Academia Nacional de Ciencias: 15169–15172. Bibcode :1998PNAS...9515169W. doi : 10.1073/pnas.95.26.15169 . ISSN  0027-8424. PMC 28014 . PMID  9860940. 
22. Squires, Todd M.; Brenner, Michael P. (4 de diciembre de 2000). "Atracción de cargas iguales e interacción hidrodinámica". Physical Review Letters . 85 (23): 4976–4979. arXiv : cond-mat/0003195 . Código Bibliográfico :2000PhRvL..85.4976S. doi :10.1103/physrevlett.85.4976. ISSN  0031-9007. PMID  11102165. S2CID  6353949.
23. Boström, M.; Williams, DRM; Ninham, BW (1 de octubre de 2001). "Efectos específicos de iones: por qué la teoría DLVO falla para la biología y los sistemas coloidales". Physical Review Letters . 87 (16): 168103. Bibcode :2001PhRvL..87p8103B. doi :10.1103/PhysRevLett.87.168103. PMID  11690249.
24. Chremos, A.; Douglas, J. (8 de marzo de 2019). "Influencia de la solvatación en la estructura de nanopartículas altamente cargadas en soluciones libres de sal". Polímero . 170 . Elsevier: 107–112. doi : 10.1016/j.polymer.2019.03.005 . S2CID  85511402.
25. Chremos, A.; Horkay, F. (27 de julio de 2020). "Desaparición del pico de polielectrolito en soluciones libres de sal". Phys. Rev. E . 102 (1). American Physical Society (APS): 012611. Bibcode :2020PhRvE.102a2611C. doi :10.1103/PhysRevE.102.012611. PMC 8243406 . PMID  32794995.