Teorema de Fredholm

En matemáticas , los teoremas de Fredholm son un conjunto de resultados célebres de Ivar Fredholm en la teoría de ecuaciones integrales de Fredholm . Hay varios teoremas estrechamente relacionados, que pueden enunciarse en términos de ecuaciones integrales, en términos de álgebra lineal o en términos del operador de Fredholm en espacios de Banach .

La alternativa de Fredholm es uno de los teoremas de Fredholm.

Álgebra lineal

El teorema de Fredholm en álgebra lineal es el siguiente: si M es una matriz , entonces el complemento ortogonal del espacio fila de M es el espacio nulo de M :

${\displaystyle (\operatorname {row} M)^{\bot }=\ker M.}$

De manera similar, el complemento ortogonal del espacio columna de M es el espacio nulo del adjunto:

${\displaystyle (\operatorname {col} M)^{\bot }=\ker M^{*}.}$

Ecuaciones integrales

El teorema de Fredholm para ecuaciones integrales se expresa de la siguiente manera. Sea un núcleo integral y consideremos las ecuaciones homogéneas ${\displaystyle K(x,y)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)}$

y su complejo adjunto

${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y).}$

Aquí, denota el conjugado complejo del número complejo , y de manera similar para . Entonces, el teorema de Fredholm es que, para cualquier valor fijo de , estas ecuaciones tienen la solución trivial o tienen el mismo número de soluciones linealmente independientes , . ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\overline {K(x,y)}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)=0}$ ${\displaystyle \phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)}$ ${\displaystyle \psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)}$

Una condición suficiente para que este teorema se cumpla es que sea integrable cuadradamente en el rectángulo (donde a y/o b pueden ser menos o más infinito). ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$

Aquí, la integral se expresa como una integral unidimensional en la línea de números reales. En la teoría de Fredholm , este resultado se generaliza a operadores integrales en espacios multidimensionales, incluidas, por ejemplo, las variedades de Riemann .

Existencia de soluciones

Uno de los teoremas de Fredholm, estrechamente relacionado con la alternativa de Fredholm , se refiere a la existencia de soluciones a la ecuación no homogénea de Fredholm.

${\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x).}$

Las soluciones de esta ecuación existen si y sólo si la función es ortogonal al conjunto completo de soluciones de la ecuación adjunta homogénea correspondiente: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\overline {\psi _{n}(x)}}f(x)\,dx=0}$

donde es el conjugado complejo de y el primero es una del conjunto completo de soluciones de ${\displaystyle {\overline {\psi _{n}(x)}}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$

${\displaystyle \lambda {\overline {\psi (y)}}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0.}$

Una condición suficiente para que este teorema se cumpla es que sea integrable cuadradamente en el rectángulo . ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$

Referencias

• EI Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) págs. 365–390.
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Fredholm". MathWorld .
• BV Khvedelidze (2001) [1994], "Teoremas de Fredholm", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press