Lista de transformaciones relacionadas con Fourier

Esta es una lista de transformaciones lineales de funciones relacionadas con el análisis de Fourier . Tales transformaciones asignan una función a un conjunto de coeficientes de funciones de base , donde las funciones de base son sinusoidales y, por lo tanto, están fuertemente localizadas en el espectro de frecuencia . (Estas transformadas generalmente están diseñadas para ser invertibles). En el caso de la transformada de Fourier, cada función base corresponde a un único componente de frecuencia .

Transformaciones continuas

Aplicadas a funciones de argumentos continuos, las transformadas relacionadas con Fourier incluyen:

• Transformada de Laplace de dos caras
• Transformada de Mellin , otra transformada integral estrechamente relacionada
• transformada de Laplace
• Transformada de Fourier , con casos especiales :
  • serie de fourier
    • Cuando la función/forma de onda de entrada es periódica, la salida de la transformada de Fourier es una función de peine de Dirac , modulada por una secuencia discreta de coeficientes de valores finitos que en general tienen valores complejos. Estos se denominan coeficientes de la serie de Fourier . El término serie de Fourier en realidad se refiere a la transformada de Fourier inversa, que es una suma de sinusoides en frecuencias discretas, ponderadas por los coeficientes de la serie de Fourier.
    • Cuando la porción distinta de cero de la función de entrada tiene una duración finita, la transformada de Fourier es continua y de valores finitos. Pero un subconjunto discreto de sus valores es suficiente para reconstruir/representar la porción que fue analizada. El mismo conjunto discreto se obtiene tratando la duración del segmento como un período de una función periódica y calculando los coeficientes de la serie de Fourier.
  • Transformadas seno y coseno : cuando la función de entrada tiene simetría par o impar alrededor del origen, la transformada de Fourier se reduce a una transformada seno o coseno.
• Transformación de Hartley
• Transformada de Fourier de corta duración (o transformada de Fourier de corta duración) (STFT)
  • Transformada de Fourier de corta duración de máscara rectangular
• Transformación de chirplets
• Transformada fraccionaria de Fourier (FRFT)
• Transformada de Hankel : relacionada con la Transformada de Fourier de funciones radiales.
• Transformada de Fourier-Bros-Iagolnitzer
• Transformación canónica lineal

Transformaciones discretas

Para su uso en computadoras , teoría de números y álgebra, los argumentos discretos (por ejemplo, funciones de una serie de muestras discretas) suelen ser más apropiados y se manejan mediante transformadas (análogas a los casos continuos anteriores):

• Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) : equivalente a la transformada de Fourier de una función "continua" que se construye a partir de la función de entrada discreta utilizando los valores de muestra para modular un peine de Dirac . Cuando los valores de muestra se derivan muestreando una función en la línea real, ƒ( x ), la DTFT es equivalente a una suma periódica de la transformada de Fourier de ƒ . La salida DTFT es siempre periódica (cíclica). Un punto de vista alternativo es que la DTFT es una transformación a un dominio de frecuencia que está limitada (o finita ) por la longitud de un ciclo.
  • transformada discreta de Fourier (DFT) :
    • Cuando la secuencia de entrada es periódica, la salida DTFT también es una función de peine de Dirac , modulada por los coeficientes de una serie de Fourier ^[1] que se puede calcular como una DFT de un ciclo de la secuencia de entrada. El número de valores discretos en un ciclo de DFT es el mismo que en un ciclo de la secuencia de entrada.
    • Cuando la parte distinta de cero de la secuencia de entrada tiene una duración finita, la DTFT es continua y de valores finitos. Pero un subconjunto discreto de sus valores es suficiente para reconstruir/representar la porción analizada. El mismo conjunto discreto se obtiene tratando la duración del segmento como un ciclo de una función periódica y calculando la DFT.
  • Transformadas discretas de seno y coseno : cuando la secuencia de entrada tiene simetría par o impar alrededor del origen, la DTFT se reduce a una transformada de seno discreta (DST) o una transformada de coseno discreta (DCT).
    • Serie discreta regresiva de Fourier , en la que el período está determinado por los datos en lugar de fijarse de antemano.
  • Transformadas discretas de Chebyshev (en la cuadrícula de 'raíces' y la cuadrícula de 'extremos' de los polinomios de Chebyshev de primera clase). Esta transformada es de mucha importancia en el campo de los métodos espectrales para resolver ecuaciones diferenciales porque puede usarse para pasar de manera rápida y eficiente de valores de puntos de cuadrícula a coeficientes de la serie de Chebyshev.
• DFT generalizada (GDFT), una generalización de la DFT y las transformaciones de módulo constante donde las funciones de fase pueden ser lineales con pendientes de valores enteros y reales, o incluso de fase no lineal, lo que brinda flexibilidades para diseños óptimos de varias métricas, por ejemplo, auto y cruzadas. correlaciones.
• La transformada de Fourier en espacio discreto (DSFT) es la generalización de la DTFT de señales 1D a señales 2D. Se llama "espacio discreto" en lugar de "tiempo discreto" porque la aplicación más frecuente es el procesamiento de imágenes y de imágenes donde los argumentos de la función de entrada son muestras de coordenadas espaciales equiespaciadas . La salida DSFT es periódica en ambas variables. ${\displaystyle (x,y)}$
• Transformada Z , una generalización de la DTFT a todo el plano complejo
• Transformada de coseno discreta modificada (MDCT)
• Transformada discreta de Hartley (DHT)
• También el STFT discretizado (ver arriba).
• Transformada de Hadamard ( función de Walsh ).
• Transformada de Fourier en grupos finitos .
• Transformada discreta de Fourier (general) .

El uso de todas estas transformadas se ve facilitado enormemente por la existencia de algoritmos eficientes basados ​​en una transformada rápida de Fourier (FFT). El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon es fundamental para comprender el resultado de tales transformadas discretas.

Ver también

• transformación integral
• transformada wavelet
• Espectroscopia de transformada de Fourier
• Análisis armónico
• Lista de transformaciones
• Lista de operadores matemáticos
• Biespectro

Notas

1. La serie de Fourier representa donde T es el intervalo entre muestras. ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)\cdot \delta (t-nT),}$

Referencias

• AD Polyanin y AV Manzhirov, Manual de ecuaciones integrales , CRC Press, Boca Ratón, 1998. ISBN  0-8493-2876-4
• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• AN Akansu y H. Agirman-Tosun, "Transformada de Fourier discreta generalizada con fase no lineal", IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 58, núm. 9, págs. 4547-4556, septiembre de 2010.