Transformada de Fourier de tiempo corto con máscara rectangular

En matemáticas y análisis de Fourier , una transformada de Fourier de tiempo corto con máscara rectangular (rec-STFT) tiene la forma simple de transformada de Fourier de tiempo corto . Otros tipos de STFT pueden requerir más tiempo de cálculo que la rec-STFT.

La función de máscara rectangular se puede definir para algún límite ( B) en el tiempo ( t ) como

${\displaystyle w(t)={\begin{cases}\ 1;&|t|\leq B\\\ 0;&|t|>B\end{cases}}}$

B = 50, eje x (seg)

Podemos cambiar B para obtener diferentes compensaciones entre la resolución de tiempo deseada y la resolución de frecuencia.

Rec-STFT

${\displaystyle X(t,f)=\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

Forma inversa

${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(t_{1},f)e^{j2\pi ft}\,df{\text{ where }}t-B<t_{1}<t+B}$

Propiedad

Rec-STFT tiene propiedades similares a la transformada de Fourier

• Integración

(a)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)\,df=\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi f\tau }\,df\,d\tau =\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )\delta (\tau )\,d\tau ={\begin{cases}\ x(0);&|t|<B\\\ 0;&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

(b)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)e^{-j2\pi fv}\,df={\begin{cases}\ x(v);&v-B<t<v+B\\\ 0;&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

• Desplazamiento de propiedad (desplazamiento a lo largo del eje x)

${\displaystyle \int _{t-B}^{t+B}x(\tau +\tau _{0})e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau =X(t+\tau _{0},f)e^{j2\pi f\tau _{0}}}$

• Propiedad de modulación (desplazamiento a lo largo del eje y )

${\displaystyle \int _{t-B}^{t+B}[x(\tau )e^{j2\pi f_{0}\tau }]d\tau =X(t,f-f_{0})}$

• Entrada especial

1. Cuando ${\displaystyle x(t)=\delta (t),X(t,f)={\begin{cases}\ 1;&|t|<B\\\ 0;&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
2. Cuando ${\displaystyle x(t)=1,X(t,f)=2B\operatorname {sinc} (2Bf)e^{j2\pi ft}}$

• Propiedad de linealidad

Si , y son sus rec-STFT, entonces ${\displaystyle h(t)=\alpha x(t)+\beta y(t)\,}$ ${\displaystyle H(t,f),X(t,f),}$ ${\displaystyle Y(t,f)\,}$

${\displaystyle H(t,f)=\alpha X(t,f)+\beta Y(t,f).}$

• Propiedad de integración de potencia

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|X(t,f)|^{2}\,df=\int _{t-B}^{t+B}|x(\tau )|^{2}\,d\tau }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|X(t,f)|^{2}\,df\,dt=2B\int _{-\infty }^{\infty }|x(\tau )|^{2}\,d\tau }$

• Propiedad de suma de energía ( teorema de Parseval )

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)Y^{*}(t,f)\,df=\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )y^{*}(\tau )\,d\tau }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)Y^{*}(t,f)\,df\,dt=2B\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )y^{*}(\tau )\,d\tau }$

Ejemplo de compensación con diferentes B

Espectrogramas producidos a partir de la aplicación de una rec-STFT en una función que consta de 3 ondas coseno consecutivas. (el espectrograma superior utiliza un B más pequeño de 0,5, el del medio utiliza un B de 1 y el inferior utiliza un B más grande de 2).

En la imagen, cuando B es más pequeño, la resolución temporal es mejor. De lo contrario, cuando B es más grande, la resolución de frecuencia es mejor.

Ventajas y desventajas

En comparación con la transformada de Fourier:

• Ventaja: Se puede observar la frecuencia instantánea.
• Desventaja: Mayor complejidad de cálculo.

En comparación con otros tipos de análisis de tiempo-frecuencia :

• Ventaja: Menor tiempo de cálculo para la implementación digital.
• Desventaja: La calidad es peor que la de otros tipos de análisis de tiempo-frecuencia. La discontinuidad de salto de los bordes de la máscara rectangular produce artefactos de timbre de Gibbs en el dominio de la frecuencia, que se pueden aliviar con ventanas más suaves .

Véase también

• Principio de incertidumbre

Referencias

1. Jian-Jiun Ding (2014) Análisis de tiempo-frecuencia y transformada wavelet