Lista de nociones de fuerza

En matemáticas, forzar es un método para construir nuevos modelos M [ G ] de la teoría de conjuntos mediante la adición de un subconjunto genérico G de un conjunto parcial P a un modelo M . El conjunto parcial P utilizado determinará qué enunciados se cumplen en el nuevo universo (la "extensión"); por lo tanto, forzar un enunciado de interés requiere la construcción de un conjunto parcial P adecuado . Este artículo enumera algunos de los conjuntos parciales P que se han utilizado en esta construcción.

Notación

• P es un poset con orden <
• V es el universo de todos los conjuntos
• M es un modelo transitivo contable de la teoría de conjuntos
• G es un subconjunto genérico de P sobre M.

Definiciones

• P satisface la condición de cadena numerable si cada anticadena en P es, como máximo, numerable. Esto implica que V y V [ G ] tienen los mismos cardinales (y las mismas cofinalidades).
• Un subconjunto D de P se llama denso si para cada p ∈ P existe algún q ∈ D con q ≤ p .
• Un filtro sobre P es un subconjunto no vacío F de P tal que si p < q y p ∈ F entonces q ∈ F , y si p ∈ F y q ∈ F entonces hay algún r ∈ F con r ≤ p y r ≤ q .
• Un subconjunto G de P se denomina genérico sobre M si es un filtro que satisface cada subconjunto denso de P en M.

Forzamiento de amebas

El forzamiento de ameba es forzar con el orden de ameba y agrega un conjunto de medidas 1 de reales aleatorios.

Cohen forzando

En el forzamiento de Cohen (llamado así por Paul Cohen ) P es el conjunto de funciones de un subconjunto finito de ω ₂ × ω hasta {0,1} y p < q si p ⊇ q .

Este conjunto parcial satisface la condición de cadena numerable. Al forzar con este conjunto parcial se añaden ω ₂ números reales distintos al modelo; este fue el conjunto parcial utilizado por Cohen en su prueba original de la independencia de la hipótesis del continuo.

En términos más generales, se puede reemplazar ω ₂ por cualquier cardinal κ, de modo que se construya un modelo en el que el continuo tenga un tamaño de al menos κ. En este caso, no hay ninguna restricción. Si κ tiene cofinalidad ω, los números reales terminan siendo mayores que κ.

Grigorieff forzando

El forzamiento de Grigorieff (según Serge Grigorieff) destruye un ultrafiltro libre en ω.

Forzando a Hechler

El forzamiento de Hechler (en honor a Stephen Herman Hechler) se utiliza para mostrar que el axioma de Martin implica que cada familia de menos de c funciones desde ω hasta ω está eventualmente dominada por alguna de esas funciones.

P es el conjunto de pares ( s , E ) donde s es una secuencia finita de números naturales (considerados como funciones desde un ordinal finito hasta ω) y E es un subconjunto finito de algún conjunto fijo G de funciones desde ω hasta ω. El elemento ( s , E ) es más fuerte que ( t , F ) si t está contenido en s , F está contenido en E , y si k está en el dominio de s pero no de t entonces s ( k ) > h ( k ) para todo h en F .

Fuerza de Jockusch-Soare

El forzamiento con clases fue inventado por Robert Soare y Carl Jockusch para demostrar, entre otros resultados, el teorema de la base baja . Aquí P es el conjunto de subconjuntos no vacíos de (es decir, los conjuntos de caminos a través de subárboles infinitos y computables de ), ordenados por inclusión. ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ ${\displaystyle 2^{\omega }}$ ${\displaystyle 2^{<\omega }}$

Forzamiento iterado

El forzamiento iterado con apoyos finitos fue introducido por Solovay y Tennenbaum para mostrar la consistencia de la hipótesis de Suslin . Easton introdujo otro tipo de forzamiento iterado para determinar los posibles valores de la función continua en cardinales regulares. El forzamiento iterado con apoyo contable fue investigado por Laver en su prueba de la consistencia de la conjetura de Borel, Baumgartner , quien introdujo el forzamiento del Axioma A, y Shelah , quien introdujo el forzamiento propio. La iteración revisada con apoyo contable fue introducida por Shelah para manejar forzamientos semipropios, como el forzamiento de Prikry, y generalizaciones, incluyendo notablemente el forzamiento de Namba.

Forzando la alga

Laver utilizó el forzamiento de Laver para demostrar que la conjetura de Borel, que dice que todos los conjuntos cero de medida fuerte son contables, es consistente con ZFC. (La conjetura de Borel no es consistente con la hipótesis del continuo).

• P es el conjunto de árboles de Laver, ordenados por inclusión.

Un árbol de Laver p es un subconjunto de las secuencias finitas de números naturales tales que

• p es un árbol: p contiene cualquier secuencia inicial de cualquier elemento de p , expresado de manera equivalente como p está cerrado bajo segmentos iniciales
• p tiene un tallo: un nodo máximo s ( p ) = s ∈ p tal que s ≤ t o t ≤ s para todo t en p ,
• Si t ∈ p y s ≤ t entonces t tiene un número infinito de sucesores inmediatos tn en p para n ∈ ω .

Si G es genérico para ( P , ≤) , entonces el real { s ( p ) : p ∈ G } , llamado un real de Laver , determina de manera única a G .

El forzamiento de Laver satisface la propiedad de Laver .

El impuesto se derrumba

Estos posets colapsarán varios cardinales, en otras palabras, los forzarán a ser iguales en tamaño a los cardinales más pequeños.

• Colapsando un cardinal a ω: P es el conjunto de todas las sucesiones finitas de ordinales menores que un cardinal dado λ. Si λ es incontable, entonces al forzar con este conjunto parcial se colapsa λ a ω.
• Colapsando un cardinal a otro: P es el conjunto de todas las funciones de un subconjunto de κ de cardinalidad menor que κ a λ (para cardinales fijos κ y λ). Al forzar con este conjunto parcial, λ se colapsa a κ.
• Colapso de Levy: si κ es regular y λ es inaccesible, entonces P es el conjunto de funciones p sobre subconjuntos de λ × κ con dominio de tamaño menor que κ y p (α, ξ) < α para cada (α, ξ) en el dominio de p . Este conjunto parcial colapsa todos los cardinales menores que λ sobre κ, pero mantiene a λ como sucesor de κ.

El colapso de Levy recibe su nombre de Azriel Levy .

Forzando a Magidor

Entre las muchas nociones de forzamiento desarrolladas por Magidor , una de las más conocidas es una generalización del forzamiento de Prikry utilizada para cambiar la cofinalidad de un cardinal a un cardinal regular más pequeño dado.

Mathias forzando

• Un elemento de P es un par formado por un conjunto finito s de números naturales y un conjunto infinito A de números naturales tales que cada elemento de s es menor que cada elemento de A. El orden está definido por

( t , B ) es más fuerte que ( s , A ) (( t , B ) < ( s , A )) si s es un segmento inicial de t , B es un subconjunto de A y t está contenido en s ∪ A .

El forzamiento de Mathias lleva el nombre de Adrian Mathias .

Forzando Namba

El forzamiento de Namba (del kanji Namba) se utiliza para cambiar la cofinalidad de ω ₂ a ω sin colapsar ω ₁ .

• P es el conjunto de todos los árboles (subconjuntos no vacíos cerrados hacia abajo del conjunto de secuencias finitas de ordinales menores que ω ₂ ) que tienen la propiedad de que cualquier s en T tiene una extensión en T que tiene sucesores inmediatos. P está ordenado por inclusión (es decir, los subárboles son condiciones más fuertes). La intersección de todos los árboles en el filtro genérico define una secuencia contable que es cofinal en ω ₂ . ${\displaystyle T\subseteq \omega _{2}^{<\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$

El forzamiento de Namba es el subconjunto de P tal que hay un nodo debajo del cual el ordenamiento es lineal y encima del cual cada nodo tiene sucesores inmediatos. ${\displaystyle \aleph _{2}}$

Magidor y Shelah demostraron que si CH se cumple, entonces no existe un objeto genérico de forzamiento de Namba en la extensión genérica por Namba', y viceversa. ^{[1] [2]}

Prikry forzando

En el forzamiento de Prikry (según Karel Prikrý) P es el conjunto de pares ( s , A ) donde s es un subconjunto finito de un cardinal medible fijo κ, y A es un elemento de una medida normal fija D en κ. Una condición ( s , A ) es más fuerte que ( t , B ) si t es un segmento inicial de s , A está contenido en B y s está contenido en t ∪ B . Esta noción de forzamiento se puede utilizar para cambiar a cofinalidad de κ mientras se preservan todos los cardinales.

Forzamiento del producto

Tomar un producto de condiciones forzadas es una forma de forzar simultáneamente todas las condiciones.

• Productos finitos : Si P y Q son conjuntos poses, el producto conjunto poses P × Q tiene el orden parcial definido por ( p ₁ , q ₁ ) ≤ ( p ₂ , q ₂ ) si p ₁ ≤ p ₂ y q ₁ ≤ q ₂ .
• Productos infinitos : El producto de un conjunto de conjuntos parciales P _i , i ∈ I , cada uno con un elemento mayor 1 es el conjunto de funciones p en I con p ( i ) ∈ P ( i ) y tales que p ( i ) = 1 para todos excepto un número finito de i . El orden está dado por p ≤ q si p ( i ) ≤ q ( i ) para todos los i .
• El producto de Easton (según William Bigelow Easton) de un conjunto de posets P _i , i ∈ I , donde I es un conjunto de cardinales, es el conjunto de funciones p en I con p ( i ) ∈ P ( i ) y tal que para cada cardinal regular γ el número de elementos α de γ con p (α) ≠ 1 es menor que γ.

Forzamiento de radin

El forzamiento de Radin (en honor a Lon Berk Radin), una generalización técnicamente compleja del forzamiento de Magidor, agrega un subconjunto cerrado e ilimitado a algún cardinal regular λ.

Si λ es un cardinal suficientemente grande, entonces el forzamiento mantiene a λ regular, medible , supercompacto , etc.

Forzamiento aleatorio

• P es el conjunto de subconjuntos de Borel de [0,1] de medida positiva, donde p se dice más fuerte que q si está contenido en q . El conjunto genérico G codifica entonces un "real aleatorio": el único real x _G en todos los intervalos racionales [ r , s ] ^{V [ G ]} tales que [ r , s ] ^V está en G . Este real es "aleatorio" en el sentido de que si X es cualquier subconjunto de [0, 1] ^V de medida 1, que se encuentra en V , entonces x _G ∈ X .

Sacos forzando

• P es el conjunto de todos los árboles perfectos contenidos en el conjunto de secuencias finitas {0, 1} . (Un árbol T es un conjunto de secuencias finitas que contienen todos los segmentos iniciales de sus miembros, y se llama perfecto si para cualquier elemento t de T hay un segmento s que extiende t de modo que tanto s 0 como s 1 están en T .) Un árbol p es más fuerte que q si p está contenido en q . El forzamiento con árboles perfectos fue utilizado por Gerald Enoch Sacks para producir un a real con un grado mínimo de constructibilidad.

El forzamiento de sacos tiene la propiedad Sacks .

Disparando un palo rápido

Para S un subconjunto estacionario de establecemos es una secuencia cerrada de S y C es un subconjunto cerrado e ilimitado de , ordenado por si y solo si extiende a los extremos y y . En , tenemos que es un subconjunto cerrado e ilimitado de S casi contenido en cada conjunto de tréboles en V . se conserva. Este método fue introducido por Ronald Jensen para mostrar la consistencia de la hipótesis del continuo y la hipótesis de Suslin . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle P=\{\langle \sigma ,C\rangle \,\colon \sigma }$ ${\displaystyle \omega _{1}\}}$ ${\displaystyle \langle \sigma ',C'\rangle \leq \langle \sigma ,C\rangle }$ ${\displaystyle \sigma '}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle C'\subseteq C}$ ${\displaystyle \sigma '\subseteq \sigma \cup C}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle \bigcup \{\sigma \,\colon (\exists C)(\langle \sigma ,C\rangle \in G)\}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Disparar un palo con condiciones contables

Para S un subconjunto estacionario de establecemos P igual al conjunto de secuencias contables cerradas de S . En , tenemos que es un subconjunto cerrado e ilimitado de S y se conserva, y si CH se cumple, entonces se conservan todos los cardinales. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle \bigcup G}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Disparar a un club con condiciones finitas

Para S un subconjunto estacionario de igualamos P al conjunto de conjuntos finitos de pares de ordinales contables, tales que si y entonces y , y siempre que y sean elementos distintos de p entonces o bien o . P se ordena por inclusión inversa. En , tenemos que es un subconjunto cerrado e ilimitado de S y se conservan todos los cardinales. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \in p}$ ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle \alpha \in S}$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ ${\displaystyle \langle \gamma ,\delta \rangle }$ ${\displaystyle \beta <\gamma }$ ${\displaystyle \delta <\alpha }$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle \{\alpha \,\colon (\exists \beta )(\langle \alpha ,\beta \rangle \in \bigcup G)\}}$

Forzamiento de plata

El forzamiento de Silver (en honor a Jack Howard Silver ) es el conjunto de todas aquellas funciones parciales de los números naturales en {0, 1} cuyo dominio es coinfinito; o equivalentemente, el conjunto de todos los pares ( A , p ) , donde A es un subconjunto de los números naturales con complemento infinito, y p es una función de A en un conjunto fijo de 2 elementos. Una condición q es más fuerte que una condición p si q extiende p .

El forzamiento de plata satisface la fusión, la propiedad de Sacks y es mínimo con respecto a los números reales (pero no mínimo).

Forzando a Vopěnka

El forzamiento de Vopěnka (en honor a Petr Vopěnka ) se utiliza para agregar de manera genérica un conjunto de ordinales a . Defina primero como el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos del conjunto potencia de , donde , ordenados por inclusión: si y solo si . Cada condición puede representarse mediante una tupla donde , para todos los . La traducción entre y su menor representación es , y por lo tanto es isomorfa a un conjunto parcial (las condiciones son las representaciones mínimas de los elementos de ). Este conjunto parcial es el forzamiento de Vopěnka para los subconjuntos de . Definiendo como el conjunto de todas las representaciones para los elementos tales que , entonces es -genérico y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\color {blue}{\text{HOD}}}}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle {\text{OD}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\subseteq \alpha }$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p\subseteq q}$ ${\displaystyle p\in P'}$ ${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\varphi )}$ ${\displaystyle x\in p\Leftrightarrow V_{\beta }\models \varphi (\gamma ,x)}$ ${\displaystyle x\subseteq \alpha }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{OD}}}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle P\in {\text{HOD}}}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G_{A}}$ ${\displaystyle p\in P'}$ ${\displaystyle A\in p}$ ${\displaystyle G_{A}}$ ${\displaystyle {\text{HOD}}}$ ${\displaystyle A\in {\text{HOD}}[G_{A}]}$

Referencias

1. Shelah, S., Forzamiento adecuado e inadecuado (Reivindicación XI.4.2), Springer, 1998
2. Schlindwein, C., El trabajo de Shelah sobre iteraciones no semipropias, I, Archive for Mathematical Logic, vol. 47, núm. 6, págs. 579-606 (2008)

• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos: Millennium Edition , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
• Kunen, Kenneth (2011), Teoría de conjuntos , Estudios de lógica, vol. 34, Londres: College Publications, ISBN 978-1-84890-050-9, Zbl1262.03001 ​

Enlaces externos

• A. Miller (2009), Forzando bocados.