En la filosofía de las matemáticas , el formalismo es la visión que sostiene que los enunciados de las matemáticas y la lógica pueden considerarse enunciados sobre las consecuencias de la manipulación de cadenas (secuencias alfanuméricas de símbolos, generalmente como ecuaciones) utilizando reglas de manipulación establecidas . Una idea central del formalismo "es que las matemáticas no son un cuerpo de proposiciones que representan un sector abstracto de la realidad, sino que son mucho más parecidas a un juego, sin mayor compromiso con una ontología de objetos o propiedades que el parchís o el ajedrez ". [1] Según el formalismo, las verdades expresadas en la lógica y las matemáticas no se refieren a números, conjuntos o triángulos ni a ningún otro tema coextensivo; de hecho, no se refieren "a" nada en absoluto. Más bien, los enunciados matemáticos son formas sintácticas cuyas formas y ubicaciones no tienen significado a menos que se les dé una interpretación (o semántica ). A diferencia del realismo matemático , el logicismo o el intuicionismo , los contornos del formalismo están menos definidos debido a enfoques amplios que pueden categorizarse como formalistas.
Junto con el realismo y el intuicionismo, el formalismo es una de las principales teorías de la filosofía de las matemáticas que se desarrolló a finales del siglo XIX y principios del XX. Entre los formalistas, David Hilbert fue su defensor más destacado. [2]
Los primeros formalistas matemáticos intentaron "bloquear, evitar o eludir (de alguna manera) cualquier compromiso ontológico con un reino problemático de objetos abstractos". [1] Los matemáticos alemanes Eduard Heine y Carl Johannes Thomae son considerados los primeros defensores del formalismo matemático. [1] El formalismo de Heine y Thomae se puede encontrar en las críticas de Gottlob Frege en Los fundamentos de la aritmética .
Según Alan Weir, el formalismo de Heine y Thomae que Frege ataca puede ser "descrito como formalismo de términos o formalismo de juegos". [1] El formalismo de términos es la opinión de que las expresiones matemáticas se refieren a símbolos, no a números. Heine expresó esta opinión de la siguiente manera: "Cuando se trata de definición, adopto una posición puramente formal, en el sentido de que llamo números a ciertos signos tangibles, de modo que la existencia de estos números no está en cuestión". [3]
Thomae se caracteriza por ser un formalista de juegos que afirmaba que “para el formalista, la aritmética es un juego con signos que se llaman vacíos. Esto significa que no tienen otro contenido (en el juego de cálculo) que el que les asigna su comportamiento con respecto a ciertas reglas de combinación (reglas del juego)”. [4]
Frege ofrece tres críticas al formalismo de Heine y Thomae: "que [el formalismo] no puede explicar la aplicación de las matemáticas; que confunde la teoría formal con la metateoría; [y] que no puede dar una explicación coherente del concepto de una secuencia infinita". [5] La crítica de Frege al formalismo de Heine es que su formalismo no puede explicar las secuencias infinitas. Dummett sostiene que las explicaciones más desarrolladas del formalismo que la de Heine podrían evitar las objeciones de Frege al afirmar que se ocupan de símbolos abstractos en lugar de objetos concretos. [6] Frege se opone a la comparación del formalismo con el de un juego, como el ajedrez. [7] Frege sostiene que el formalismo de Thomae no distingue entre juego y teoría.
Una figura importante del formalismo fue David Hilbert , cuyo programa pretendía ser una axiomatización completa y consistente de todas las matemáticas. [8] Hilbert pretendía mostrar la consistencia de los sistemas matemáticos a partir del supuesto de que la "aritmética finitaria" (un subsistema de la aritmética habitual de los números enteros positivos , elegido para ser filosóficamente incontrovertible) era consistente (es decir, no se pueden derivar contradicciones del sistema).
La forma en que Hilbert intentó demostrar que un sistema axiomático era consistente fue formalizándolo mediante un lenguaje particular. [9] Para formalizar un sistema axiomático, primero se debe elegir un lenguaje en el que se puedan expresar y realizar operaciones dentro de ese sistema. Este lenguaje debe incluir cinco componentes:
Al adoptar este lenguaje, Hilbert pensó que podríamos demostrar todos los teoremas dentro de cualquier sistema axiomático usando nada más que los axiomas mismos y el lenguaje formal elegido.
La conclusión de Gödel en sus teoremas de incompletitud fue que no se puede probar la consistencia dentro de ningún sistema axiomático consistente lo suficientemente rico como para incluir la aritmética clásica. Por un lado, se debe utilizar únicamente el lenguaje formal elegido para formalizar este sistema axiomático; por otro lado, es imposible probar la consistencia de este lenguaje en sí mismo. [9] Hilbert se sintió frustrado originalmente por el trabajo de Gödel porque destrozaba el objetivo de su vida de formalizar completamente todo en la teoría de números. [10] Sin embargo, Gödel no sintió que contradijera todo lo relacionado con el punto de vista formalista de Hilbert . [11] Después de que Gödel publicara su trabajo, se hizo evidente que la teoría de la prueba todavía tenía alguna utilidad, la única diferencia es que no podía usarse para probar la consistencia de toda la teoría de números como Hilbert había esperado. [10]
Hilbert fue inicialmente un deductivista, [ cita requerida ] pero consideró que ciertos métodos metamatemáticos producían resultados intrínsecamente significativos y era realista con respecto a la aritmética finitaria. Más tarde, sostuvo la opinión de que no existía ninguna otra matemática significativa, independientemente de la interpretación.
Otros formalistas, como Rudolf Carnap , consideraban que las matemáticas eran la investigación de sistemas de axiomas formales . [12]
Haskell Curry define las matemáticas como "la ciencia de los sistemas formales". [13] El formalismo de Curry es diferente al de los formalistas de términos, los formalistas de juegos o el formalismo de Hilbert. Para Curry, el formalismo matemático trata de la estructura formal de las matemáticas y no de un sistema formal. [13] Stewart Shapiro describe el formalismo de Curry como un sistema que parte de la "tesis histórica de que a medida que una rama de las matemáticas se desarrolla, se vuelve cada vez más rigurosa en su metodología, siendo el resultado final la codificación de la rama en sistemas deductivos formales". [14]
Kurt Gödel señaló uno de los puntos débiles del formalismo al abordar la cuestión de la consistencia en los sistemas axiomáticos.
Bertrand Russell ha argumentado que el formalismo no logra explicar lo que se entiende por la aplicación lingüística de los números en afirmaciones como "hay tres hombres en la habitación". [15]
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