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Conjetura de Kepler

La conjetura de Kepler , llamada así por el matemático y astrónomo del siglo XVII Johannes Kepler , es un teorema matemático sobre el empaquetamiento de esferas en el espacio euclidiano tridimensional . Establece que ninguna disposición de esferas de igual tamaño que llenen el espacio tiene una densidad media mayor que la de los arreglos de empaquetamiento cúbico cerrado ( cúbico centrado en las caras ) y hexagonal cerrado . La densidad de estos arreglos es de alrededor del 74,05%.

En 1998, Thomas Hales , siguiendo un enfoque sugerido por Fejes Tóth (1953), anunció que tenía una prueba de la conjetura de Kepler. La prueba de Hales es una prueba por agotamiento que implica la comprobación de muchos casos individuales mediante cálculos informáticos complejos. Los árbitros dijeron que estaban "99% seguros" de la corrección de la prueba de Hales, y la conjetura de Kepler fue aceptada como teorema . En 2014, el equipo del proyecto Flyspeck, encabezado por Hales, anunció la finalización de una prueba formal de la conjetura de Kepler utilizando una combinación de los asistentes de prueba Isabelle y HOL Light . En 2017, la prueba formal fue aceptada por la revista Forum of Mathematics, Pi . [1]

Fondo

Diagramas de empaquetamiento compacto cúbico (izquierda) y empaquetamiento compacto hexagonal (derecha).

Imagina que llenas un recipiente grande con esferas pequeñas del mismo tamaño: por ejemplo, una jarra de porcelana de un galón con canicas idénticas. La "densidad" de la disposición es igual al volumen total de todas las canicas, dividido por el volumen de la jarra. Maximizar la cantidad de canicas en la jarra significa crear una disposición de canicas apiladas entre los lados y el fondo de la jarra que tenga la mayor densidad posible, de modo que las canicas estén lo más juntas posible.

Los experimentos demuestran que si se dejan caer las canicas al azar, sin esforzarse por colocarlas bien apretadas, se alcanzará una densidad de alrededor del 65 %. [2] Sin embargo, se puede lograr una densidad mayor si se colocan las canicas con cuidado de la siguiente manera:

  1. Para la primera capa de canicas, colóquelas en una red hexagonal ( patrón de panal ).
  2. Coloque la siguiente capa de canicas en los espacios más bajos que pueda encontrar encima y entre las canicas de la primera capa, independientemente del patrón.
  3. Continúe con el mismo procedimiento de rellenar los huecos más bajos de la capa anterior, para la tercera capa y las siguientes, hasta que las canicas lleguen al borde superior de la jarra.

En cada paso hay al menos dos opciones de cómo colocar la siguiente capa, por lo que este método de apilamiento de esferas, que de otro modo no estaría planificado, crea una cantidad infinitamente incontable de empaquetamientos igualmente densos. Los más conocidos de estos se denominan empaquetamiento cúbico compacto y empaquetamiento hexagonal compacto . Cada uno de estos arreglos tiene una densidad promedio de

La conjetura de Kepler dice que esto es lo mejor que se puede hacer: ninguna otra disposición de canicas tiene una densidad promedio mayor: a pesar de que hay una cantidad sorprendente de disposiciones diferentes posibles que siguen el mismo procedimiento que los pasos 1 a 3, ningún empaque (según el procedimiento o no) puede hacer que quepan más canicas en la misma jarra.

Orígenes

Uno de los diagramas de Strena Seu de Nive Sexangula , que ilustra la conjetura de Kepler

La conjetura fue formulada por primera vez por Johannes Kepler  (1611) en su artículo 'Sobre el copo de nieve de seis puntas'. Había comenzado a estudiar las disposiciones de las esferas como resultado de su correspondencia con el matemático y astrónomo inglés Thomas Harriot en 1606. Harriot era amigo y asistente de Sir Walter Raleigh , quien le había pedido a Harriot que encontrara fórmulas para contar balas de cañón apiladas, una tarea que a su vez llevó al conocido matemático de Raleigh a preguntarse cuál era la mejor manera de apilar balas de cañón. [3] Harriot publicó un estudio de varios patrones de apilamiento en 1591 y desarrolló una versión temprana de la teoría atómica .

Siglo XIX

Kepler no tenía una prueba de la conjetura, y el siguiente paso lo dio Carl Friedrich Gauss  (1831), quien demostró que la conjetura de Kepler es verdadera si las esferas tienen que estar dispuestas en una red regular .

Esto significaba que cualquier disposición de empaquetamiento que refutara la conjetura de Kepler tendría que ser irregular. Pero eliminar todas las posibles disposiciones irregulares es muy difícil, y esto es lo que hizo que la conjetura de Kepler fuera tan difícil de demostrar. De hecho, hay disposiciones irregulares que son más densas que la disposición de empaquetamiento cúbico compacto en un volumen suficientemente pequeño, pero ahora se sabe que cualquier intento de extender estas disposiciones para llenar un volumen mayor siempre reduce su densidad.

Después de Gauss, no hubo más avances en la demostración de la conjetura de Kepler en el siglo XIX. En 1900, David Hilbert la incluyó en su lista de veintitrés problemas no resueltos de las matemáticas (forma parte del decimoctavo problema de Hilbert ) .

Siglo XX

El siguiente paso hacia una solución lo dio László Fejes Tóth (1953). Fejes Tóth demostró que el problema de determinar la densidad máxima de todas las disposiciones (regulares e irregulares) podía reducirse a un número finito (pero muy grande) de cálculos. Esto significaba que, en principio, era posible una demostración por agotamiento . Como Fejes Tóth se dio cuenta, una computadora lo suficientemente rápida podría convertir este resultado teórico en un enfoque práctico del problema.

Mientras tanto, se intentó encontrar un límite superior para la densidad máxima de cualquier posible disposición de esferas. El matemático inglés Claude Ambrose Rogers (véase Rogers (1958)) estableció un valor de límite superior de aproximadamente el 78%, y los esfuerzos posteriores de otros matemáticos redujeron ligeramente este valor, pero aún era mucho mayor que la densidad de empaquetamiento cúbico compacto de aproximadamente el 74%.

En 1990, Wu-Yi Hsiang afirmó haber demostrado la conjetura de Kepler. La prueba fue elogiada por la Encyclopædia Britannica y Science y Hsiang también fue honrado en reuniones conjuntas de AMS-MAA. [4] Wu-Yi Hsiang (1993, 2001) afirmó haber demostrado la conjetura de Kepler utilizando métodos geométricos. Sin embargo, Gábor Fejes Tóth (el hijo de László Fejes Tóth) afirmó en su revisión del artículo: "En lo que respecta a los detalles, mi opinión es que muchas de las afirmaciones clave no tienen pruebas aceptables". Hales (1994) hizo una crítica detallada del trabajo de Hsiang, a la que Hsiang (1995) respondió. El consenso actual es que la prueba de Hsiang es incompleta. [5]

Prueba de Hales

Siguiendo el enfoque sugerido [6] por László Fejes Tóth , Thomas Hales , entonces en la Universidad de Michigan , determinó que la densidad máxima de todos los arreglos se podía encontrar minimizando una función con 150 variables. En 1992, con la ayuda de su estudiante de posgrado Samuel Ferguson, se embarcó en un programa de investigación para aplicar sistemáticamente métodos de programación lineal para encontrar un límite inferior en el valor de esta función para cada una de un conjunto de más de 5.000 configuraciones diferentes de esferas. Si se pudiera encontrar un límite inferior (para el valor de la función) para cada una de estas configuraciones que fuera mayor que el valor de la función para el arreglo de empaquetamiento compacto cúbico, entonces se probaría la conjetura de Kepler. Encontrar límites inferiores para todos los casos implicó resolver alrededor de 100.000 problemas de programación lineal.

Al presentar el progreso de su proyecto en 1996, Hales dijo que el final estaba a la vista, pero que podría llevar "un año o dos" completarlo. En agosto de 1998, Hales anunció que la prueba estaba completa. En esa etapa, consistía en 250 páginas de notas y 3 gigabytes de programas de computadora, datos y resultados.

A pesar de la naturaleza inusual de la demostración, los editores de Annals of Mathematics accedieron a publicarla, siempre que fuera aceptada por un panel de doce evaluadores. En 2003, después de cuatro años de trabajo, el jefe del panel de evaluadores, Gábor Fejes Tóth, informó que el panel estaba "99% seguro" de la corrección de la demostración, pero no podían certificar la exactitud de todos los cálculos informáticos.

Hales (2005) publicó un artículo de 100 páginas que describe en detalle la parte no informática de su prueba. Hales & Ferguson (2006) y varios artículos posteriores describieron las partes computacionales. Hales y Ferguson recibieron el Premio Fulkerson por artículos destacados en el área de matemáticas discretas en 2009.

Una prueba formal

En enero de 2003, Hales anunció el inicio de un proyecto colaborativo para producir una prueba formal completa de la conjetura de Kepler. El objetivo era eliminar cualquier incertidumbre restante sobre la validez de la prueba mediante la creación de una prueba formal que pueda verificarse mediante software de verificación de pruebas automatizado como HOL Light e Isabelle . Este proyecto se llamó Flyspeck , una expansión del acrónimo FPK que significa Formal Proof of Kepler . Al comienzo de este proyecto, en 2007, Hales estimó que producir una prueba formal completa llevaría alrededor de 20 años de trabajo. [7] Hales publicó un "plan" para la prueba formal en 2012; [8] la finalización del proyecto se anunció el 10 de agosto de 2014. [9] En enero de 2015, Hales y 21 colaboradores publicaron un artículo titulado "A formal proof of the Kepler conjecture" en arXiv , afirmando haber demostrado la conjetura. [10] En 2017, la prueba formal fue aceptada por la revista Forum of Mathematics . [1]

Problemas relacionados

Teorema de Thue
El empaquetamiento hexagonal regular es el empaquetamiento circular más denso en el plano (1890). La densidad es π ⁄ √ 12 .
El análogo bidimensional de la conjetura de Kepler; la demostración es elemental. Henk y Ziegler atribuyen este resultado a Lagrange, en 1773 (ver referencias, pág. 770).
Una prueba sencilla de Chau y Chung de 2010 utiliza la triangulación de Delaunay para el conjunto de puntos que son centros de círculos en un empaquetamiento de círculos saturados. [11]
La conjetura del panal hexagonal
La partición más eficiente del plano en áreas iguales es la teselación hexagonal regular. [12]
Relacionado con el teorema de Thue.
Conjetura dodecaédrica
El volumen del poliedro de Voronoi de una esfera en un empaquetamiento de esferas iguales es al menos el volumen de un dodecaedro regular con radio interior 1. Prueba de McLaughlin, [13] por la que recibió el Premio Morgan en 1999 .
Un problema relacionado, cuya demostración utiliza técnicas similares a las de Hales para la conjetura de Kepler. Conjetura de L. Fejes Tóth en los años 1950.
El problema de Kelvin
¿Cuál es la espuma más eficiente en tres dimensiones? Se suponía que esto se resolvería mediante la estructura de Kelvin , y así se creyó durante más de 100 años, hasta que en 1993 se desmintió con el descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan . El sorprendente descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan y la refutación de la conjetura de Kelvin es una de las razones por las que se debe ser cauteloso a la hora de aceptar la prueba de Hales de la conjetura de Kepler.
Empaquetamiento de esferas en dimensiones superiores
En 2016, Maryna Viazovska anunció la prueba del empaquetamiento óptimo de esferas en dimensión 8, lo que rápidamente condujo a una solución en dimensión 24. [14] Sin embargo, la cuestión del empaquetamiento óptimo de esferas en dimensiones distintas de 1, 2, 3, 8 y 24 todavía está abierta.
La conjetura del embalaje de Ulam
Se desconoce si existe un sólido convexo cuya densidad de empaquetamiento óptima sea menor que la de la esfera.

Referencias

  1. ^ ab Hales, Thomas ; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; McLaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason; Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (29 de mayo de 2017). "Una prueba formal de la conjetura de Kepler". Foro de Matemáticas, Pi . 5 : e2. doi : 10.1017/fmp.2017.1 . hdl : 2066/176365 .
  2. ^ Li, Shuixiang; Zhao, Liang; Liu, Yuewu (abril de 2008). "Simulación por computadora del empaquetamiento aleatorio de esferas en un contenedor de forma arbitraria". Computadoras, materiales y continua . 7 : 109–118.
  3. ^ Leutwyler, Kristin (14 de septiembre de 1998). "Apílelos bien". Scientific American . Consultado el 15 de noviembre de 2021 .
  4. ^ Hales, Thomas C. (junio de 1994). "El estatus de la conjetura de Kepler". The Mathematical Intelligencer . 16 (3): 47–58. doi :10.1007/BF03024356. S2CID  123375854.
  5. ^ Singh, Simon (1997). El último teorema de Fermat . Nueva York: Walker. ISBN. 978-0-80271-331-5.
  6. ^ Fejes Tóth 1953, pág. 238.
  7. ^ Bails, Jennifer (otoño de 2007). "Thomas Hales: La prueba de la prueba". Pittsburgh Quarterly .
  8. ^ Hales, Thomas C. (2012). Empaquetamientos de esferas densas: un modelo para pruebas formales . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 400. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-61770-3.
  9. ^ "Proyecto Flyspeck". Código de Google .
  10. ^ Hales, Thomas ; et al. (9 de enero de 2015). "Una prueba formal de la conjetura de Kepler". arXiv : 1501.02155 [math.MG].
  11. ^ Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (22 de septiembre de 2010). "Una demostración simple del teorema de Thue sobre empaquetamiento de círculos". arXiv : 1009.4322 [math.MG].
  12. ^ Hales, Thomas C. (20 de mayo de 2002). "La conjetura del panal". Geometría discreta y computacional . 25 : 1–22. arXiv : math/9906042 . doi :10.1007/s004540010071. S2CID  14849112.
  13. ^ Hales, Thomas C.; McLaughlin, Sean (2010). "La conjetura del dodecaédrico". Revista de la Sociedad Matemática Americana . 23 (2): 299–344. arXiv : math.MG/9811079 . Código Bibliográfico :2010JAMS...23..299H. doi :10.1090/S0894-0347-09-00647-X.
  14. ^ Klarreich, Erica (30 de marzo de 2016), "El empaquetamiento de esferas resuelto en dimensiones superiores", Quanta Magazine

Publicaciones

Enlaces externos