La conjetura de empaquetamiento de Ulam , llamada así por Stanisław Ulam , es una conjetura sobre la mayor densidad de empaquetamiento posible de sólidos convexos idénticos en el espacio euclidiano tridimensional . La conjetura dice que la densidad óptima para empaquetar esferas congruentes es menor que la de cualquier otro cuerpo convexo. Es decir, según la conjetura, la esfera es el sólido convexo que obliga a la mayor fracción de espacio a permanecer vacía en su estructura de empaquetamiento óptima. Por lo tanto, esta conjetura está relacionada con la conjetura de Kepler sobre el empaquetamiento de esferas . Dado que la solución a la conjetura de Kepler establece que las esferas idénticas deben dejar vacío aproximadamente el 25,95 % del espacio, la conjetura de Ulam es equivalente a la afirmación de que ningún otro sólido convexo obliga a dejar vacío tanto espacio.
Esta conjetura fue atribuida póstumamente a Ulam por Martin Gardner , quien comenta en una posdata agregada a una de sus columnas de Juegos matemáticos que Ulam le comunicó esta conjetura en 1972. [1] Aunque la referencia original a la conjetura solo afirma que Ulam "sospechaba" que la pelota era el peor caso de empaquetamiento, la declaración se ha tomado posteriormente como una conjetura.
Los experimentos numéricos con una gran variedad de sólidos convexos han dado como resultado en cada caso la construcción de empaquetamientos que dejan menos espacio vacío que el que queda mediante el empaquetamiento compacto de esferas iguales , y por eso se han descartado muchos sólidos como contraejemplos de la conjetura de Ulam. [2] Sin embargo, hay un espacio infinito de formas posibles que no se han descartado.
Yoav Kallus ha demostrado que al menos entre los cuerpos puntualmente simétricos , la bola constituye un máximo local de la fracción de espacio vacío forzado. [3] Es decir, cualquier sólido puntualmente simétrico que no se desvíe demasiado de una bola puede ser empaquetado con mayor eficiencia que las bolas.
El análogo de la conjetura de empaquetamiento de Ulam en dos dimensiones diría que ninguna forma convexa obliga a que más del ≈9,31% del plano permanezca descubierto, ya que esa es la fracción de espacio vacío que queda sin cubrir en el empaquetamiento más denso de discos . Sin embargo, el octógono regular y el octógono suavizado dan contraejemplos. Se conjetura que los heptágonos regulares obligan a que la fracción más grande del plano permanezca descubierta. [4] En dimensiones superiores a cuatro (excluyendo 8 y 24), la situación se complica por el hecho de que los análogos de la conjetura de Kepler permanecen abiertos.