Flujo en canal abierto

Tipo de flujo de líquido dentro de un conducto

En mecánica de fluidos e hidráulica , el flujo en canal abierto es un tipo de flujo de líquido dentro de un conducto con una superficie libre , conocida como canal . ^{[1] [2]} El otro tipo de flujo dentro de un conducto es el flujo en tuberías . Estos dos tipos de flujo son similares en muchos aspectos, pero difieren en un aspecto importante: el flujo en canal abierto tiene una superficie libre, mientras que el flujo en tuberías no la tiene, lo que da como resultado un flujo dominado por la gravedad pero no por la presión hidráulica .

Canal del Proyecto Arizona Central .

Clasificaciones de flujo

El flujo en canales abiertos se puede clasificar y describir de diversas maneras en función del cambio en la profundidad del flujo con respecto al tiempo y al espacio. ^[3] Los tipos fundamentales de flujo que se abordan en la hidráulica de canales abiertos son:

• El tiempo como criterio
  • Flujo constante
    • La profundidad del flujo no cambia con el tiempo, o puede suponerse que es constante durante el intervalo de tiempo considerado.
  • Flujo inestable
    • La profundidad del flujo cambia con el tiempo.
• El espacio como criterio
  • Flujo uniforme
    • La profundidad del flujo es la misma en cada sección del canal. El flujo uniforme puede ser constante o inestable, dependiendo de si la profundidad cambia o no con el tiempo (aunque el flujo uniforme inestable es poco frecuente).
  • Flujo variado
    • La profundidad del flujo cambia a lo largo del canal. Técnicamente, el flujo variado puede ser constante o inestable. El flujo variado puede clasificarse además como de variación rápida o gradual:
      • Flujo rápidamente variado
        • La profundidad cambia bruscamente en una distancia relativamente corta. El flujo que varía rápidamente se conoce como un fenómeno local. Ejemplos de ello son el salto hidráulico y la caída hidráulica .
      • Flujo gradualmente variado
        • La profundidad cambia a lo largo de una larga distancia.
  • Flujo continuo
    • El caudal es constante en todo el tramo del canal en cuestión. Esto suele ocurrir con un caudal constante. Este caudal se considera continuo y, por lo tanto, se puede describir utilizando la ecuación de continuidad para caudal constante continuo.
  • Flujo variable espacialmente
    • La descarga de un flujo constante no es uniforme a lo largo de un canal. Esto sucede cuando el agua entra y/o sale del canal a lo largo del curso del flujo. Un ejemplo de flujo que entra en un canal sería una cuneta al costado de una carretera. Un ejemplo de flujo que sale de un canal sería un canal de irrigación. Este flujo se puede describir utilizando la ecuación de continuidad para flujo continuo inestable que requiere la consideración del efecto del tiempo e incluye un elemento de tiempo como variable.

Estados de flujo

El comportamiento del flujo en canal abierto está regido por los efectos de la viscosidad y la gravedad en relación con las fuerzas inerciales del flujo. La tensión superficial tiene una contribución menor, pero no juega un papel lo suficientemente significativo en la mayoría de las circunstancias como para ser un factor determinante. Debido a la presencia de una superficie libre, la gravedad es generalmente el impulsor más significativo del flujo en canal abierto; por lo tanto, la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas gravitacionales es el parámetro adimensional más importante. ^[4] El parámetro se conoce como el número de Froude y se define como: donde es la velocidad media, es la escala de longitud característica para la profundidad de un canal y es la aceleración gravitacional . Dependiendo del efecto de la viscosidad en relación con la inercia, como se representa por el número de Reynolds , el flujo puede ser laminar , turbulento o transicional . Sin embargo, generalmente es aceptable asumir que el número de Reynolds es lo suficientemente grande como para que se puedan descuidar las fuerzas viscosas. ^[4] $${\displaystyle {\text{Fr}}={U \over {\sqrt {gD}}}}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle g}$

Formulación

Es posible formular ecuaciones que describan tres leyes de conservación para cantidades que son útiles en el flujo en canal abierto: masa, momento y energía. Las ecuaciones que rigen resultan de considerar la dinámica del campo vectorial de velocidad de flujo con componentes . En coordenadas cartesianas , estos componentes corresponden a la velocidad de flujo en los ejes x, y y z respectivamente. ${\displaystyle {\bf {v}}}$ ${\displaystyle {\bf {v}}={\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}}^{T}}$

Para simplificar la forma final de las ecuaciones, es aceptable hacer varias suposiciones:

1. El flujo es incompresible (esta no es una buena suposición para un flujo que varía rápidamente)
2. El número de Reynolds es suficientemente grande como para que se pueda despreciar la difusión viscosa.
3. El flujo es unidimensional a través del eje x

Ecuación de continuidad

La ecuación general de continuidad , que describe la conservación de la masa, toma la forma: donde es la densidad del fluido y es el operador de divergencia . Bajo el supuesto de flujo incompresible, con un volumen de control constante , esta ecuación tiene la expresión simple . Sin embargo, es posible que el área de la sección transversal pueda cambiar tanto con el tiempo como con el espacio en el canal. Si partimos de la forma integral de la ecuación de continuidad: es posible descomponer la integral de volumen en una sección transversal y una longitud, lo que conduce a la forma: Bajo el supuesto de flujo incompresible, 1D, esta ecuación se convierte en: Al notar que y definir el caudal volumétrico , la ecuación se reduce a: Finalmente, esto conduce a la ecuación de continuidad para flujo incompresible, 1D en canal abierto: $${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nabla \cdot ()}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {v}}=0}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV}$$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx}$$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx}$$ ${\displaystyle \int _{A}dA=A}$ ${\displaystyle Q=\int _{A}u\;dA}$ $${\displaystyle \int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx}$$

${\displaystyle {\partial A \over {\partial t}}+{\partial Q \over {\partial x}}=0}$

Ecuación del momento

La ecuación de momento para el flujo en canal abierto se puede encontrar partiendo de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes  : donde es la presión , es la viscosidad cinemática , es el operador de Laplace y es el potencial gravitacional . Invocando los supuestos de alto número de Reynolds y flujo 1D, tenemos las ecuaciones: La segunda ecuación implica una presión hidrostática , donde la profundidad del canal es la diferencia entre la elevación de la superficie libre y el fondo del canal . La sustitución en la primera ecuación da: donde la pendiente del lecho del canal . Para tener en cuenta el esfuerzo cortante a lo largo de las orillas del canal, podemos definir el término de fuerza como: donde es el esfuerzo cortante y es el radio hidráulico . La definición de la pendiente de fricción , una forma de cuantificar las pérdidas por fricción, conduce a la forma final de la ecuación de momento: $${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{Inertial Acceleration}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{Diffusion}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{Gravity}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{Forces}}\end{smallmatrix}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi =gz}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p=\rho g\zeta }$ ${\displaystyle \eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z_{b}}$ $${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}}$$ ${\displaystyle S=-dz_{b}/dx}$ $${\displaystyle F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S_{f}=\tau /\rho gR}$

${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}+g(S_{f}-S)=0}$

Ecuación de energía

Para derivar una ecuación de energía , tenga en cuenta que el término de aceleración advectiva puede descomponerse como: donde es la vorticidad del flujo y es la norma euclidiana . Esto conduce a una forma de la ecuación de momento, ignorando el término de fuerzas externas, dada por: Tomando el producto escalar de con esta ecuación conduce a: Esta ecuación se obtuvo utilizando el producto triple escalar . Definimos como la densidad de energía : Notando que es independiente del tiempo, llegamos a la ecuación: Suponiendo que la densidad de energía es independiente del tiempo y el flujo es unidimensional conduce a la simplificación: siendo una constante; esto es equivalente al principio de Bernoulli . De particular interés en el flujo de canal abierto es la energía específica , que se utiliza para calcular la carga hidráulica que se define como: ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf {v}}\|^{2}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}}$$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0}$$ $${\displaystyle E+p=C}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e=E/\rho g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e+{p \over {\rho g}}\\&={u^{2} \over {2g}}+z+{p \over {\gamma }}\end{aligned}}}$

siendo el peso específico . Sin embargo, los sistemas realistas requieren la adición de un término de pérdida de carga para tener en cuenta la disipación de energía debido a la fricción y la turbulencia que se ignoró al descontar el término de fuerzas externas en la ecuación de momento. ${\displaystyle \gamma =\rho g}$ ${\displaystyle h_{f}}$

Véase también

• HEC-RAS
• Flujo de corriente
• Campos de estudio
  • Dinámica de fluidos computacional
  • Dinámica de fluidos
  • Hidráulica
  • Hidrología
• Tipos de flujo de fluidos
  • Flujo laminar
  • Flujo de tuberías
  • Flujo de transición
  • Flujo turbulento
• Propiedades de los fluidos
  • Número de Froude
  • Número de Reynolds
  • Viscosidad
• Otros artículos relacionados
  • Fórmula de Chézy
  • Ecuación de Darcy-Weisbach
  • Salto hidráulico
  • Fórmula de Manning
  • Ecuaciones de Saint-Venant
  • Método de pasos estándar

Referencias

1. Chow, Ven Te (2008). Hidráulica de canal abierto (PDF) . Caldwell, NJ: The Blackburn Press. ISBN 978-1932846188.
2. Battjes, Jurjen A.; Labeur, Robert Jan (2017). Flujo inestable en canales abiertos. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 9781316576878.
3. Jobson, Harvey E.; Froehlich, David C. (1988). Principios hidráulicos básicos del flujo en canal abierto (PDF) . Reston, VA: Servicio Geológico de Estados Unidos.
4. Sturm, Terry W. (2001). Hidráulica de canales abiertos (PDF) . Nueva York, NY: McGraw-Hill. p. 2. ISBN 9780073397870.

Lectura adicional

• Nezu, Iehisa; Nakagawa, Hiroji (1993). Turbulencia en flujos en canales abiertos . Monografía de la IAHR. Rotterdam, Países Bajos: AA Balkema. ISBN 9789054101185 . 
• Syzmkiewicz, Romuald (2010). Modelado numérico en hidráulica de canales abiertos . Biblioteca de Ciencia y Tecnología del Agua. Nueva York, NY: Springer. ISBN 9789048136735 . 

Enlaces externos

• Notas de la conferencia de Caltech :
  • Derivación de las ecuaciones de flujo en canal abierto
  • Perfiles de superficie para flujo de canal constante
• Flujo en canal abierto
• Conceptos de flujo en canal abierto
• ¿Qué es un salto hidráulico?
• Ejemplo de flujo en canal abierto
• Simulación de flujos turbulentos (p. 26-38)