Teoría de Floquet

Rama de ecuaciones diferenciales ordinarias

La teoría de Floquet es una rama de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias relacionada con la clase de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales periódicas de la forma

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,}$

con y siendo una función periódica continua por partes con período y define el estado de la estabilidad de las soluciones. ${\displaystyle x\in {R^{n}}}$ ${\displaystyle \displaystyle A(t)\in {R^{n\times n}}}$ ${\displaystyle T}$

El teorema principal de la teoría de Floquet, el teorema de Floquet , de Gaston Floquet  (1883), proporciona una forma canónica para cada solución matricial fundamental de este sistema lineal común . Proporciona un cambio de coordenadas que transforma el sistema periódico en un sistema lineal tradicional con coeficientes reales constantes . ${\displaystyle \displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$ ${\displaystyle \displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}$

Cuando se aplica a sistemas físicos con potenciales periódicos, como los cristales en la física de la materia condensada , el resultado se conoce como teorema de Bloch .

Nótese que las soluciones de la ecuación diferencial lineal forman un espacio vectorial. Una matriz se denomina solución matricial fundamental si las columnas forman una base del conjunto de soluciones. Una matriz se denomina solución matricial fundamental principal si todas las columnas son soluciones linealmente independientes y existe tal que es la identidad. Una matriz fundamental principal se puede construir a partir de una matriz fundamental utilizando . La solución de la ecuación diferencial lineal con la condición inicial es donde es cualquier solución matricial fundamental. ${\displaystyle \phi \,(t)}$ ${\displaystyle \Phi (t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \Phi (t_{0})}$ ${\displaystyle \Phi (t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(t_{0})}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle x(t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(0)x_{0}}$ ${\displaystyle \phi \,(t)}$

Teorema de Floquet

Sea una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde es un vector columna de longitud y una matriz periódica con período (es decir, para todos los valores reales de ). Sea una solución matricial fundamental de esta ecuación diferencial. Entonces, para todos los , ${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A(t+T)=A(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi \,(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi (t+T)=\phi (t)\phi ^{-1}(0)\phi (T).}$

Aquí

${\displaystyle \phi ^{-1}(0)\phi (T)}$

se conoce como matriz monodromía . Además, para cada matriz (posiblemente compleja) tal que ${\displaystyle B}$

${\displaystyle e^{TB}=\phi ^{-1}(0)\phi (T),}$

Existe una función matricial periódica (periodo) tal que ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t\mapsto P(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=P(t)e^{tB}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .}$

Además, existe una matriz real y una función matricial periódica (período ) real tal que ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 2T}$ ${\displaystyle t\mapsto Q(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=Q(t)e^{tR}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .}$

En lo anterior , , y son matrices. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n\times n}$

Consecuencias y aplicaciones

Esta aplicación da lugar a un cambio de coordenadas dependiente del tiempo ( ), bajo el cual nuestro sistema original se convierte en un sistema lineal con coeficientes reales constantes . Como es continuo y periódico, debe estar acotado. Por lo tanto, la estabilidad de la solución cero para y está determinada por los valores propios de . ${\displaystyle \phi \,(t)=Q(t)e^{tR}}$ ${\displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=Ry}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle R}$

La representación se llama forma normal de Floquet para la matriz fundamental . ${\displaystyle \phi \,(t)=P(t)e^{tB}}$ ${\displaystyle \phi \,(t)}$

Los valores propios de se denominan multiplicadores característicos del sistema. También son los valores propios de las funciones de Poincaré (lineales) . Un exponente de Floquet (a veces llamado exponente característico) es un complejo tal que es un multiplicador característico del sistema. Nótese que los exponentes de Floquet no son únicos, ya que , donde es un entero. Las partes reales de los exponentes de Floquet se denominan exponentes de Lyapunov . La solución cero es asintóticamente estable si todos los exponentes de Lyapunov son negativos, estable de Lyapunov si los exponentes de Lyapunov no son positivos e inestable en caso contrario. ${\displaystyle e^{TB}}$ ${\displaystyle x(t)\to x(t+T)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle e^{\mu T}}$ ${\displaystyle e^{(\mu +{\frac {2\pi ik}{T}})T}=e^{\mu T}}$ ${\displaystyle k}$

• La teoría de Floquet es muy importante para el estudio de sistemas dinámicos , como la ecuación de Mathieu .
• La teoría de Floquet muestra estabilidad en la ecuación diferencial de Hill (introducida por George William Hill ) que aproxima el movimiento de la luna como un oscilador armónico en un campo gravitacional periódico .
• El ablandamiento y el endurecimiento de los enlaces en campos láser intensos se pueden describir en términos de soluciones obtenidas del teorema de Floquet.
• La dinámica de los sistemas cuánticos fuertemente impulsados ​​se suele estudiar utilizando la teoría de Floquet. En los circuitos superconductores, se ha aprovechado el marco de Floquet para arrojar luz sobre la electrodinámica cuántica de las interacciones multiqubit inducidas por el impulso.

Referencias

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• Floquet, Gaston (1883), "Sur les équations différentielles linéaires à coeficientes périodiques" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 12 : 47–88, doi : 10.24033/asens.220
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Enlaces externos

• "Teoría de Floquet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]