Subgrupo de punto fijo

Expresión algebraica

En álgebra , el subgrupo de punto fijo de un automorfismo f de un grupo G es el subgrupo de G : ^[1] ${\displaystyle G^{f}}$

${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$

De manera más general, si S es un conjunto de automorfismos de G (es decir, un subconjunto del grupo de automorfismos de G ), entonces el conjunto de los elementos de G que quedan fijos por cada automorfismo en S es un subgrupo de G , denotado por G ^S.

Por ejemplo, tomemos G como el grupo de matrices reales invertibles n por n y (llamada involución de Cartan ). Entonces es el grupo de matrices ortogonales n por n . ${\displaystyle f(g)=(g^{T})^{-1}}$ ${\displaystyle G^{f}}$ ${\displaystyle O(n)}$

Para dar un ejemplo abstracto, sea S un subconjunto de un grupo G . Entonces cada elemento s de S puede asociarse con el automorfismo , es decir, conjugación por s . Entonces ${\displaystyle g\mapsto sgs^{-1}}$

${\displaystyle G^{S}=\{g\in G\mid sgs^{-1}=g{\text{ for all }}s\in S\}}$;

es decir, el centralizador de S .

Véase también

• Anillo de invariantes

Referencias

1. Checco, James; Darling, Rachel; Longfield, Stephen; Wisdom, Katherine (2010). "Sobre los puntos fijos de los automorfismos del grupo abeliano". Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal . 11 (2): 50.