En el campo matemático de la geometría de Riemann , cada subvariedad de una variedad de Riemann tiene un área superficial . La primera variación de la fórmula del área es un cálculo fundamental para determinar cómo esta cantidad se ve afectada por la deformación de la subvariedad. La cantidad fundamental tiene que ver con la curvatura media .
Sea ( M , g ) una variedad de Riemann, y considérese una variedad orientada y suave S (posiblemente con borde) junto con una familia de un parámetro de inmersiones suaves f t de S en M . Para cada valor individual del parámetro t , la inmersión f t induce una métrica de Riemann en S , que a su vez induce una forma diferencial en S conocida como la forma de volumen de Riemann ω t . La primera variación del área se refiere al cálculo
en la que H ( f t ) es el vector de curvatura media de la inmersión f t y W t denota el campo vectorial de variación Ambas cantidades son campos vectoriales a lo largo del mapa f t . El segundo término de la fórmula representa la derivada exterior del producto interior de la forma de volumen con el campo vectorial en S , definido como la proyección tangencial de W t . A través de la fórmula mágica de Cartan , este término también se puede escribir como la derivada de Lie de la forma de volumen relativa a la proyección tangencial. Como tal, este término se desvanece si cada f t se reparametriza mediante la familia de un parámetro correspondiente de difeomorfismos de S .
Ambos lados de la primera fórmula de variación se pueden integrar sobre S , siempre que el campo de vectores de variación tenga soporte compacto . En ese caso, es inmediato a partir del teorema de Stokes que
En muchos contextos, S es una variedad cerrada o el campo de vectores de variación es ortogonal a la subvariedad. En cualquier caso, el segundo término se anula automáticamente. En tal situación, se considera que el vector de curvatura media rige por completo la forma en que se modifica el área de superficie de una subvariedad mediante una deformación de la superficie. En particular, se considera que la desaparición del vector de curvatura media es equivalente a que la subvariedad sea un punto crítico del funcional de volumen. Esto muestra cómo una subvariedad mínima se puede caracterizar ya sea por la teoría del punto crítico del funcional de volumen o por una ecuación diferencial parcial explícita para la inmersión.
El caso especial de la fórmula de primera variación que surge cuando S es un intervalo en la recta de números reales es particularmente conocido. En este contexto, el funcional del volumen se conoce como funcional de la longitud y su análisis variacional es fundamental para el estudio de las geodésicas en la geometría de Riemann.
