Fermión escalonado

Discretización de fermiones con cuatro duplicadores.

En la teoría de campos reticulares , los fermiones escalonados (también conocidos como fermiones de Kogut-Susskind ) son una discretización de fermiones que reduce el número de duplicadores de fermiones de dieciséis a cuatro. Son uno de los fermiones de red más rápidos cuando se trata de simulaciones y también poseen algunas características interesantes, como una simetría quiral remanente , lo que los hace muy populares en los cálculos de QCD de red . Los fermiones escalonados fueron formulados por primera vez por John Kogut y Leonard Susskind en 1975 ^[1] y posteriormente se descubrió que eran equivalentes a la versión discretizada del fermión de Dirac-Kähler . ^[2]

Construyendo fermiones escalonados

Base de un solo componente

La acción de Dirac ingenuamente discretizada en el espacio-tiempo euclidiano con espaciado de red y campos de Dirac en cada punto de la red, indexada por , toma la forma ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})}$

${\displaystyle S=a^{4}\sum _{n\in \Lambda }{\bar {\psi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\gamma _{\mu }{\frac {\psi _{n+{\hat {\mu }}}-\psi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\psi _{n}{\bigg )}.}$

Los fermiones escalonados se construyen a partir de esto realizando la transformación escalonada en una nueva base de campos definida por ^[3] ${\displaystyle \psi _{n}'}$

${\displaystyle \psi _{n}=\gamma _{1}^{n_{1}}\gamma _{2}^{n_{2}}\gamma _{3}^{n_{3}}\gamma _{4}^{n_{4}}\psi '_{n}.}$

Dado que las matrices de Dirac son cuadradas con la identidad, esta transformación dependiente de la posición mezcla los componentes del espín del fermión de una manera que se repite cada dos espaciamientos de la red. Su efecto es diagonalizar la acción en los índices del espinor, lo que significa que la acción acaba dividiéndose en cuatro partes distintas, una para cada componente del espinor de Dirac. Denotando uno de esos componentes como , que es una variable de Grassmann sin estructura de espín, los otros tres componentes se pueden eliminar, lo que produce la acción escalonada de un solo componente. ${\displaystyle \chi _{n}}$

${\displaystyle S=a^{4}\sum _{n}{\bar {\chi }}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4}\eta _{\mu }(n){\frac {\chi _{n+{\hat {\mu }}}-\chi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\chi _{n}{\bigg )},}$

donde están los vectores unitarios en la dirección y la función de signo escalonado está dada por . La transformación escalonada es parte de una clase más amplia de transformaciones que satisfacen . Todas estas transformaciones, unidas a una necesaria condición de consistencia de las plaquetas, equivalen a la transformación escalonada. ^[4] Debido a la duplicación de fermiones, la acción ingenua original describió dieciséis fermiones, pero habiendo descartado tres de las cuatro copias, esta nueva acción describe solo cuatro. ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \eta _{i}(n)=(-1)^{\sum _{j<i}n_{j}}}$ ${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow A_{n}\psi _{n}}$ ${\displaystyle A_{n}^{\dagger }\gamma _{\mu }A_{n+{\hat {\mu }}}=\Delta _{\mu }(n)\in U(1)^{\otimes 4}}$

Base de sabor giratorio

Para mostrar explícitamente que la acción escalonada de los fermiones de un solo componente describe cuatro fermiones de Dirac es necesario bloquear la red en hipercubos y reinterpretar los campos de Grassmann en los dieciséis sitios del hipercubo como los dieciséis grados de libertad de los cuatro fermiones. En analogía con el uso del sabor en la física de partículas , se hace referencia a estos cuatro fermiones como diferentes sabores de fermiones. Los sitios de la red bloqueada están indexados por, mientras que para cada uno de ellos los sitios del hipercubo interno están indexados por , cuyos componentes vectoriales son cero o uno. En esta notación, el vector reticular original se escribe como . Las matrices se utilizan para definir la base de sabor de giro de fermiones escalonados ^[5] ${\displaystyle h_{\mu }}$ ${\displaystyle s_{\mu }}$ ${\displaystyle n_{\mu }=2h_{\mu }+s_{\mu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(s)}=\gamma _{1}^{s_{1}}\gamma _{2}^{s_{2}}\gamma _{3}^{s_{3}}\gamma _{4}^{s_{4}}}$

${\displaystyle \psi ^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}\Gamma _{\alpha t}^{(s)}\chi (2h+s),\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}{\bar {\chi }}(2h+s)(\Gamma ^{(s)\dagger })_{t\alpha }.}$

El índice de sabor recorre los cuatro sabores, mientras que el índice de giro recorre los cuatro componentes de giro. Este cambio de base convierte la acción de un componente sobre la red con espaciamiento en la acción de giro-sabor con un espaciamiento efectivo de la red de dado por ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=2a}$

${\displaystyle S=b^{4}\sum _{h}{\bar {\psi }}_{n}{\bigg \{}\sum _{\mu }[(\gamma _{\mu }\otimes 1)\partial _{\mu }+{\tfrac {b}{2}}(\gamma _{5}\otimes \gamma _{5}\gamma _{\mu }^{T})\square _{\mu }]+m(1\otimes 1){\bigg \}}\psi _{h}.}$

Aquí y son una abreviatura de la derivada simétricamente discretizada y laplaciana , respectivamente. Mientras tanto, la notación tensorial separa las matrices de espín y sabor como . Dado que los términos cinético y de masa son diagonales en los índices gustativos, la acción describe cuatro fermiones de Dirac degenerados . Estos interactúan entre sí en lo que se conoce como interacciones de mezcla de sabores a través del segundo término, que es un operador irrelevante de cinco dimensiones que desaparece en el límite del continuo . Esta acción es muy similar a la acción construida usando cuatro fermiones de Wilson con la única diferencia en la estructura tensor del segundo término, que para los fermiones de Wilson es diagonal de giro y sabor . ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle \square _{\mu }}$ ${\displaystyle [(A\otimes B)\psi _{n}]^{t}(h)_{\alpha }=A_{\alpha }{}^{\beta }B^{t}{}_{t'}\psi ^{t'}(h)_{\beta }}$ ${\displaystyle (1\otimes 1)}$

Una propiedad clave de los fermiones escalonados, que no comparten otros fermiones reticulares como los fermiones de Wilson, es que tienen una simetría quiral remanente en el límite sin masa . La simetría remanente se describe en la base spin-gusto por

${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}\psi _{n},\ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}_{n}\rightarrow {\bar {\psi }}e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}.}$

La presencia de esta simetría remanente hace que los fermiones escalonados sean especialmente útiles para ciertas aplicaciones, ya que pueden describir anomalías y rupturas espontáneas de simetría . La simetría también protege a los fermiones sin masa de ganar masa tras la renormalización .

Los fermiones escalonados se miden en la acción de un componente insertando campos de enlace en la acción para hacerla invariante de la misma manera que se hace para la acción ingenua de la red de Dirac. Este enfoque no se puede implementar directamente en la acción de girar y saborear. En cambio, la acción interactiva de un solo componente debe usarse junto con una base de sabor de giro modificada donde se insertan líneas de Wilson entre los diferentes puntos de la red dentro del hipercubo para garantizar la invariancia del calibre. ^[6] La acción resultante no se puede expresar en una forma cerrada, pero se puede gastar en potencias del espaciamiento de la red, lo que lleva a la interacción habitual de Dirac para cuatro fermiones, junto con una serie infinita de operadores bilineales de fermiones irrelevantes que se desvanecen en la forma cerrada. límite continuo. ${\displaystyle \psi ^{t}(h)_{\alpha }}$

Fermiones escalonados en el espacio-momento

Los fermiones escalonados también se pueden formular en el espacio de impulso transformando la acción de un solo componente en el espacio de Fourier y dividiendo la zona de Brillouin en dieciséis bloques. Al desplazarlos al origen se obtienen dieciséis copias del fermión de un solo componente cuyos momentos se extienden sobre la mitad del rango de la zona de Brillouin . Estos se pueden agrupar en una matriz que, tras una transformación unitaria y un cambio de escala del impulso , para garantizar que los momentos vuelvan a abarcar todo el rango de Brillouin, proporciona la acción del fermión escalonada en el espacio-impulso ^[7] ${\displaystyle -\pi /2\leq k_{\mu }\leq \pi /2}$ ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

${\displaystyle S=\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\bar {\psi }}(p){\bigg [}2i\sum _{\mu }\sin {\tfrac {p_{\mu }}{2}}(\gamma _{\mu }\otimes 1)+2m(1\otimes 1){\bigg ]}\psi (p).}$

Esto se puede transformar nuevamente en espacio de posiciones mediante una transformación de Fourier inversa. A diferencia de la acción de giro-sabor, esta acción no mezcla los componentes del sabor, aparentemente dando una acción que separa completamente los cuatro fermiones. Por tanto, tiene un grupo de simetría quiral completo. Sin embargo, esto sólo se logra a expensas de la localidad , donde ahora el operador de Dirac en el espacio de posición conecta puntos de la red que están arbitrariamente alejados, en lugar de aquellos restringidos a un hipercubo. Esta conclusión también se ve en el propagador que es discontinuo en los bordes de la zona de Brillouin. ${\displaystyle U(4)\otimes U(4)}$

Las formulaciones del espacio de impulso y del espacio de posición difieren porque utilizan una definición diferente de gusto, por lo que la definición del espacio de impulso no corresponde a la definición local en el espacio de posición. Estas dos definiciones sólo se vuelven equivalentes en el límite del continuo . La simetría quiral se mantiene a pesar de la posibilidad de simular un fermión espacial de momento único porque la localidad era uno de los supuestos del teorema de Nielsen-Ninomiya que determina si una teoría experimenta la duplicación del fermión. La pérdida de localidad hace que esta formulación sea difícil de utilizar para simulaciones.

Simulando fermiones escalonados

El principal problema con la simulación de fermiones escalonados es que los diferentes sabores se mezclan debido al término de mezcla de sabores. Si no hubiera mezcla entre sabores, las simulaciones reticulares podrían desenredar fácilmente las diferentes contribuciones de los diferentes sabores para terminar con los resultados de procesos que involucran a un solo fermión. En cambio, la mezcla de sabores introduce errores de discretización que son difíciles de explicar.

Inicialmente, estos errores de discretización, de orden , eran inusualmente grandes en comparación con otros fermiones reticulares, lo que hacía que los fermiones escalonados fueran impopulares para las simulaciones. El método principal para reducir estos errores es realizar la mejora de Symanzik, mediante la cual se agregan operadores irrelevantes a la acción con sus coeficientes ajustados para cancelar los errores de discretización. La primera de estas acciones fue la acción ASQTAD, que se mejoró después de analizar las interacciones de intercambio de gustos de un bucle para eliminar aún más los errores mediante la difamación del campo de enlace. Esto dio como resultado la acción altamente mejorada de los quarks escalonados (HISQ) y constituye la base de las simulaciones modernas de fermiones escalonados. ^[8] Dado que las simulaciones se realizan utilizando la acción de un solo componente, la simulación de fermiones escalonados es muy rápida ya que esto requiere simular solo variables de Grassmann de un solo componente en lugar de espinores de cuatro componentes. El código principal y los conjuntos de calibres utilizados para los fermiones escalonados provienen de la colaboración MILC. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$

Una ventaja de los fermiones escalonados sobre otros fermiones reticulares es que la simetría quiral remanente protege las simulaciones de configuraciones excepcionales, que son configuraciones de campo de calibre que conducen a pequeños valores propios del operador de Dirac , lo que dificulta la inversión numérica. Los fermiones escalonados están protegidos de esto porque su operador de Dirac es antihermitiano , por lo que sus valores propios vienen en pares conjugados complejos de verdad . Esto asegura que el determinante de Dirac sea real y positivo para masas distintas de cero. Los determinantes negativos o imaginarios son problemáticos durante las simulaciones de Monte Carlo de la cadena de Markov , ya que el determinante está presente en la ponderación de probabilidad. ${\displaystyle m\pm i\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Truco de la cuarta raíz

En el límite del continuo, el operador de Dirac del fermión escalonado se reduce a un operador de Dirac del continuo cuádruple , por lo que sus valores propios son cuatro veces degenerados, por lo tanto . Esta degeneración se rompe mediante la mezcla de sabores en espacios de red distintos de cero , aunque las simulaciones muestran que los valores propios todavía están agrupados aproximadamente en grupos de cuatro. Esto motiva el truco de la cuarta raíz donde se simula un solo fermión reemplazando el determinante escalonado del operador de Dirac por su cuarta raíz en la función de partición. ${\displaystyle D=D_{1}\otimes 1}$ ${\displaystyle [\det D]^{1/4}=\det D_{1}}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}U\det[D_{\text{stag}}]e^{-S_{\text{gauge}}}\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \int {\mathcal {D}}U(\det[D_{\text{stag}}])^{1/4}e^{-S_{\text{gauge}}}.}$

El fermión resultante se denomina fermión escalonado enraizado y se utiliza en la mayoría de las simulaciones de fermiones escalonados, incluida la colaboración MILC. El problema teórico al utilizar fermiones escalonados enraizados es que no está claro si dan el límite continuo correcto, es decir, si el enraizamiento cambia la clase de universalidad de la teoría. ^[10] Si es así, entonces no hay razón para suponer que los fermiones escalonados enraizados sean buenos para describir la teoría del campo continuo. La clase de universalidad generalmente está determinada por la dimensionalidad de la teoría y por las simetrías que satisface. El problema con los fermiones escalonados enraizados es que sólo pueden describirse mediante una acción no local para la cual la clasificación de universalidad ya no se aplica. Como la no localidad implica una violación del sistema unitario , los fermiones escalonados enraizados tampoco son físicos en espaciamientos de red distintos de cero, aunque esto no es un problema si la no localidad desaparece en el continuo. Se ha descubierto que, bajo suposiciones razonables, el cuarto truco de la raíz define una teoría renormalizable que en todos los órdenes de la teoría de perturbaciones reproduce una teoría unitaria local con el número correcto de quarks ligeros en el continuo. Sigue siendo una pregunta abierta si esto también es cierto de manera no perturbativa , sin embargo, los argumentos teóricos ^[11] y las comparaciones numéricas con otros fermiones reticulares indican que los fermiones escalonados con raíces pertenecen a la clase de universalidad correcta. ^[12]

Ver también

• modelo de celosía
• Teoría estadística de campos

Referencias

1. Kogut, S .; Susskind, L. (1975). "Formulación hamiltoniana de las teorías del calibre de red de Wilson". Física. Rev. D. 11 (2): 395–408. Código bibliográfico : 1975PhRvD..11..395K. doi : 10.1103/PhysRevD.11.395.
2. Becher, P.; Joos, H. (1982). "La ecuación de Dirac-Kähler y los fermiones en la red". Zeitschrift für Physik C . 15 (4): 343–365. Código bibliográfico : 1982ZPhyC..15..343B. doi :10.1007/BF01614426. S2CID  121826544.
3. Smit, enero (2002). "6". Introducción a los campos cuánticos en una red. Notas de conferencias de física de Cambridge. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 160-161. doi :10.1017/CBO9780511583971. ISBN 9780511583971. S2CID  116214756.
4. Montvay, yo; Münster, G. (1994). "4". Campos cuánticos en una red . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 197-198. doi :10.1017/CBO9780511470783. ISBN 9780511470783. S2CID  118339104.
5. Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "10". Cromodinámica cuántica en la red: una presentación introductoria . Apuntes de conferencias de física 788. Springer. págs. 243–248. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
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7. Rothe, HJ (2005). "4". Teorías del calibre de celosía: una introducción. Apuntes de conferencias científicas mundiales sobre física: volumen 43. Vol. 1, núm. 82. Publicaciones científicas mundiales. págs. 69–73. doi :10.1142/8229. ISBN 978-9814365857.
8. Follana, E.; et al. (HPQCD, Reino UnidoQCD) (2007). "Quarks escalonados altamente mejorados en la red, con aplicaciones para encantar la física". Física. Rev. D. 75 (5): 054502. arXiv : hep-lat/0610092 . Código bibliográfico : 2007PhRvD..75e4502F. doi : 10.1103/PhysRevD.75.054502. S2CID  119506250.
9. Bazavov, A.; et al. (Colaboración MILC) (2013). "Lattice QCD Ensembles con cuatro sabores de quarks escalonados altamente mejorados". Física. Rev. D. 87 (5): 054505. arXiv : 1212.4768 . Código bibliográfico : 2013PhRvD..87e4505B. doi : 10.1103/PhysRevD.87.054505. S2CID  936246.
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