Fase y frecuencia instantánea

Concepto de ingeniería eléctrica

La fase y la frecuencia instantáneas son conceptos importantes en el procesamiento de señales que se dan en el contexto de la representación y el análisis de funciones que varían en el tiempo. ^[1] La fase instantánea (también conocida como fase local o simplemente fase ) de una función de valor complejo s ( t ), es la función de valor real:

${\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},}$

donde arg es la función argumento compleja . La frecuencia instantánea es la tasa temporal de cambio de la fase instantánea.

Y para una función de valor real s ( t ), se determina a partir de la representación analítica de la función , s _a ( t ): ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}$

donde representa la transformada de Hilbert de s ( t ). ${\displaystyle {\hat {s}}(t)}$

Cuando φ ( t ) está restringida a su valor principal , ya sea el intervalo (− π , π ] o [0, 2 π ) , se denomina fase envuelta . De lo contrario, se denomina fase desenvuelta , que es una función continua del argumento t , suponiendo que s _a ( t ) es una función continua de t . A menos que se indique lo contrario, se debe inferir la forma continua.

Fase instantánea en función del tiempo. La función tiene dos discontinuidades verdaderas de 180° en los tiempos 21 y 59, que indican cruces por cero de amplitud. Las "discontinuidades" de 360° en los tiempos 19, 37 y 91 son artefactos de envoltura de fase.

Fase instantánea de una forma de onda modulada en frecuencia: MSK (modulación por desplazamiento mínimo). Un gráfico "envuelto" de 360° simplemente se replica verticalmente dos veces más, lo que crea la ilusión de un gráfico sin envolver, pero utilizando solo 3x360° del eje vertical.

Ejemplos

Ejemplo 1

${\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),}$

donde ω > 0.

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+\theta )},\\\varphi (t)&=\omega t+\theta .\end{aligned}}}$

En este ejemplo sinusoidal simple, la constante θ también se conoce comúnmente como fase o desfase de fase . φ ( t ) es una función del tiempo; θ no lo es. En el siguiente ejemplo, también vemos que el desfase de fase de una sinusoide de valor real es ambiguo a menos que se especifique una referencia (sin o cos). φ ( t ) está definido de forma inequívoca.

Ejemplo 2

${\displaystyle s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right),}$

donde ω > 0.

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

En ambos ejemplos, los máximos locales de s ( t ) corresponden a φ ( t ) = 2 π N para valores enteros de  N . Esto tiene aplicaciones en el campo de la visión por computadora.

Formulaciones

La frecuencia angular instantánea se define como:

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},}$

y la frecuencia instantánea (ordinaria) se define como:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}}$

donde φ ( t ) debe ser la fase desenrollada ; de lo contrario, si φ ( t ) está envuelto, las discontinuidades en φ ( t ) darán como resultado impulsos delta de Dirac en f ( t ).

La operación inversa, que siempre desenrolla la fase, es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}$

Esta frecuencia instantánea, ω ( t ), se puede derivar directamente de las partes reales e imaginarias de s _a ( t ), en lugar del complejo arg sin preocuparse por el desenrollado de fase.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}$

2 m ₁ π y m ₂ π son los múltiplos enteros de π que es necesario sumar para desenrollar la fase. En valores de tiempo, t , donde no hay cambio en el entero m ₂ , la derivada de φ ( t ) es

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}$

Para funciones de tiempo discreto, esto se puede escribir como una recursión:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}}$

Las discontinuidades pueden eliminarse sumando 2 π siempre que Δ φ [ n ] ≤ − π y restando 2 π siempre que Δ φ [ n ] >  π . Esto permite que φ [ n ] se acumule sin límite y produzca una fase instantánea desenrollada. Una formulación equivalente que reemplaza la operación módulo 2 π con una multiplicación compleja es:

${\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},}$

donde el asterisco denota conjugado complejo. La frecuencia instantánea de tiempo discreto (en unidades de radianes por muestra) es simplemente el avance de fase para esa muestra.

${\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}$

Representación compleja

En algunas aplicaciones, como promediar los valores de fase en varios momentos del tiempo, puede ser útil convertir cada valor en un número complejo o una representación vectorial: ^[3]

${\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).}$

Esta representación es similar a la representación de fase envuelta en el sentido de que no distingue entre múltiplos de 2 π en la fase, pero similar a la representación de fase no envuelta en el sentido de que es continua. Se puede obtener una fase de promedio vectorial como el argumento de la suma de los números complejos sin preocuparse por el envoltorio.

Véase también

• Desplazamiento angular
• Señal analítica
• Modulación de frecuencia
• Retraso de grupo
• Amplitud instantánea
• Frecuencia negativa

Referencias

1. Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (agosto de 2008). "Análisis cuantitativo del rendimiento del escalograma como estimador de frecuencia instantánea". IEEE Transactions on Signal Processing . 56 (8): 3837–3845. Bibcode :2008ITSP...56.3837S. doi :10.1109/TSP.2008.924856. ISSN  1053-587X. S2CID  16396084.
2. Blackledge, Jonathan M. (2006). Procesamiento de señales digitales: métodos matemáticos y computacionales, desarrollo de software y aplicaciones (2.ª edición). Woodhead Publishing. pág. 134. ISBN 1904275265.
3. Wang, S. (2014). "Un método de desenrollado de fase guiado de calidad mejorada y sus aplicaciones a la resonancia magnética". Progreso en la investigación electromagnética . 145 : 273–286. doi : 10.2528/PIER14021005 .

Lectura adicional

• Cohen, Leon (1995). Análisis tiempo-frecuencia . Prentice Hall.
• Granlund; Knutsson (1995). Procesamiento de señales para visión artificial . Kluwer Academic Publishers.