Factor de momento de inercia

En ciencias planetarias , el factor de momento de inercia o momento de inercia polar normalizado es una cantidad adimensional que caracteriza la distribución radial de la masa en el interior de un planeta o satélite . Como un momento de inercia tiene dimensiones de masa por longitud al cuadrado, el factor de momento de inercia es el coeficiente que multiplica estas.

Definición

Para un cuerpo planetario con momentos de inercia principales , el factor de momento de inercia se define como ${\estilo de visualización A<B<C}$

{\frac {C}{MR^{2}}}

donde C es el primer momento principal de inercia del cuerpo, M es la masa del cuerpo y R es el radio medio del cuerpo. ^[1]^[2] Para una esfera con densidad uniforme , . ^{[nota 1]}^{[nota 2]} Para un planeta o satélite diferenciado , donde hay un aumento de densidad con la profundidad, . La cantidad es un indicador útil de la presencia y extensión de un núcleo planetario , porque una mayor desviación del valor de densidad uniforme de 2/5 transmite un mayor grado de concentración de materiales densos hacia el centro. $Estilo de visualización C/MR^{2}=2/5$ $Estilo de visualización C/MR^{2}<2/5$

Valores del sistema solar

El Sol tiene, con diferencia, el valor del factor de momento de inercia más bajo entre los cuerpos del Sistema Solar ; tiene, con diferencia, la densidad central más alta (162 g/cm ³ , ^[3]^{[nota 3]} en comparación con ~13 para la Tierra ^[4]^[5] ) y una densidad media relativamente baja (1,41 g/cm ³ frente a 5,5 para la Tierra). Saturno tiene el valor más bajo entre los gigantes gaseosos en parte porque tiene la densidad aparente más baja (0,687 g/cm ³ ). ^[6] Ganimedes tiene el factor de momento de inercia más bajo entre los cuerpos sólidos del Sistema Solar debido a su interior completamente diferenciado , ^[7]^[8] un resultado en parte del calentamiento de marea debido a la resonancia de Laplace , ^[9] así como su componente sustancial de hielo de agua de baja densidad . Calisto es similar en tamaño y composición a granel a Ganimedes, pero no es parte de la resonancia orbital y está menos diferenciada. ^[7]^[8] Se cree que la Luna tiene un núcleo pequeño, pero su interior es por lo demás relativamente homogéneo. ^[10]^[11]

Medición

El momento polar de inercia se determina tradicionalmente combinando mediciones de magnitudes de espín ( velocidad de precesión de espín y/o oblicuidad ) con magnitudes de gravedad (coeficientes de una representación armónica esférica del campo de gravedad). Estos datos geodésicos suelen requerir una nave espacial en órbita para su recogida.

Aproximación

Para los cuerpos en equilibrio hidrostático , la relación de Darwin-Radau puede proporcionar estimaciones del factor del momento de inercia en función de las cantidades de forma, giro y gravedad. ^[26]

Papel en los modelos de interiores

El factor de momento de inercia constituye una importante restricción para los modelos que representan la estructura interna de un planeta o satélite. Como mínimo, los modelos aceptables del perfil de densidad deben coincidir con la densidad de masa volumétrica y el factor de momento de inercia del cuerpo.

Galería de modelos de estructura interna

El Sol ( C/MR ² = 0,070)
Saturno ( C/MR ² = 0,22)
Ganimedes ( C/MR ² = 0,3115)
Tierra ( C/MR2 ⁼ 0,3307)
Calisto ( C/MR ² = 0,3549)
La Luna ( C/MR ² = 0,3929)

Notas

^ Para una esfera con densidad uniforme podemos calcular el momento de inercia y la masa integrando sobre discos desde el "polo sur" hasta el "polo norte". Utilizando una densidad de 1, un disco de radio $r$ tiene un momento de inercia de
$\int _{0}^{r}2\pi r^{3}\ dr={\frac {\pi r^{4}}{2}}$
mientras que la masa es
$\int _{0}^{r}2\pi r\ dr=\pi r^{2}$
Dejando e integrando obtenemos: $r=R\cos \theta$ $R\sin \theta$
${\begin{aligned}{\frac {C}{R^{5}}}&={\frac {\pi }{2}}\int _{-1}^{1}\cos ^ {4}\theta \ d\sin \theta \\&={\frac {\pi }{2}}\int _ {-1}^{1}(1-\sin ^{2}\theta )^ {2}\ d\sin \theta \\&={\frac {\pi }{2}}\int _{-1}^{1}(1-2\sin ^{2}\theta +\sin ^{4}\theta )d\sin \theta \\&={\frac {\pi }{2}}\int _{-1}^{1}(d\sin \theta -{\frac {2 }{3}}d\sin ^{3}\theta +{\frac {1}{5}}d\sin ^{5}\theta )\\&={\frac {8}{15}}\pi \end{alineado}}$
${\begin{alineado}{\frac {M}{R^{3}}}&=\pi \int _{-1}^{1}\cos ^{2}\theta \ d\sin \theta \\&=\pi \int _{-1}^{1}(1-\sin ^{2}\theta )d\sin \theta \\&=\pi \int _{-1}^ {1}(d\sin \theta -{\frac {1}{3}}d\sin ^{3}\theta )\\&={\frac {4}{3}}\pi \end{alineado }}$
Esto da . $Estilo de visualización C/MR^{2}=2/5$
^ Para varios otros ejemplos (en los que el eje de rotación es el eje de simetría si no se especifica lo contrario), un cono sólido tiene un factor de 3/10; una varilla delgada uniforme (que gira alrededor de su centro perpendicularmente a su eje, por lo que R es longitud/2) tiene un factor de 1/3; un cono hueco o un cilindro sólido tiene un factor de 1/2; una esfera hueca tiene un factor de 2/3; un cilindro hueco de extremos abiertos tiene un factor de 1.
^ La densidad central de una estrella tiende a aumentar a lo largo de su vida , salvo durante breves eventos de ignición de fusión nuclear del núcleo, como el destello de helio .
^ El valor dado para Ceres es el momento de inercia medio, que se cree que representa mejor su estructura interior que el momento de inercia polar, debido a su alto aplanamiento polar. ^[17]

Referencias

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