Fórmulas de integración por reducción

Integration technique using recurrence relations

En cálculo integral, la integración por fórmulas de reducción es un método que se basa en relaciones de recurrencia . Se utiliza cuando una expresión que contiene un parámetro entero , generalmente en forma de potencias de funciones elementales o productos de funciones trascendentales y polinomios de grado arbitrario , no se puede integrar directamente. Pero utilizando otros métodos de integración se puede establecer una fórmula de reducción para obtener la integral de la misma expresión o una similar con un parámetro entero menor, simplificando progresivamente la integral hasta que se pueda evaluar. ^[1] Este método de integración es uno de los primeros utilizados.

Cómo encontrar la fórmula de reducción

La fórmula de reducción se puede derivar utilizando cualquiera de los métodos comunes de integración, como la integración por sustitución , la integración por partes , la integración por sustitución trigonométrica , la integración por fracciones parciales , etc. La idea principal es expresar una integral que involucra un parámetro entero (por ejemplo, potencia) de una función, representada por I _n , en términos de una integral que involucra un valor menor del parámetro (potencia menor) de esa función, por ejemplo I _{n -1} o I _{n -2} . Esto hace que la fórmula de reducción sea un tipo de relación de recurrencia . En otras palabras, la fórmula de reducción expresa la integral

${\displaystyle I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}}x,}$

en términos de

${\displaystyle I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}}x,}$

dónde

${\displaystyle k<n.}$

Cómo calcular la integral

Para calcular la integral, asignamos a n su valor y utilizamos la fórmula de reducción para expresarla en términos de la integral ( n – 1) o ( n – 2). La integral de índice más bajo se puede utilizar para calcular las de índice más alto; el proceso se continúa repetidamente hasta que llegamos a un punto en el que se puede calcular la función a integrar, normalmente cuando su índice es 0 o 1. Luego sustituimos hacia atrás los resultados anteriores hasta que hayamos calculado I _n . ^[2]

Ejemplos

A continuación se muestran ejemplos del procedimiento.

Integral del coseno

Por lo general, las integrales como

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x,\,\!}$

Puede evaluarse mediante una fórmula de reducción.

${\displaystyle \int \cos ^{n}(x)\,{\text{d}}x\!}$, para n = 1, 2 ... 30

Comience configurando:

${\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x.\,\!}$

Ahora reescríbalo como:

${\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x,\,\!}$

Integrando por esta sustitución:

${\displaystyle \cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x),\,\!}$

${\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x).\!}$

Ahora integrando por partes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x)\!=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}}\,}$

Resolviendo para I _n :

${\displaystyle I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,}$

${\displaystyle nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2},\,}$

${\displaystyle I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2},\,}$

Entonces la fórmula de reducción es:

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x.\!}$

Para complementar el ejemplo, lo anterior se puede utilizar para evaluar la integral para (digamos) n = 5;

${\displaystyle I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x.\,\!}$

Calcular índices inferiores:

${\displaystyle n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,}$

${\displaystyle n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1},\,}$

Sustitución hacia atrás:

${\displaystyle \because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1},\,}$

${\displaystyle \therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,}$

${\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,}$

donde C es una constante.

Integral exponencial

Otro ejemplo típico es:

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!}$

Comience configurando:

${\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!}$

Integrando por sustitución:

${\displaystyle x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}},\,\!}$

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1}),\!}$

Ahora integrando por partes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!}$

${\displaystyle (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!}$

desplazando los índices hacia atrás en 1 (por lo que n + 1 → n , n → n – 1):

${\displaystyle nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!}$

Resolviendo para I _n :

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}$

Entonces la fórmula de reducción es:

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}$

Una forma alternativa en la que se podría realizar la derivación comienza sustituyendo . ${\displaystyle e^{ax}}$

Integración por sustitución:

${\displaystyle e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!}$

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!}$

Ahora integrando por partes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!}$

que da la fórmula de reducción al sustituir hacia atrás:

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}$

Lo cual es equivalente a:

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}$

Otra forma alternativa en la que se podría realizar la derivación es integrando por partes:

${\displaystyle I_{n}=\int x^{n}xe^{ax}\,{\text{d}}x,\!}$

${\displaystyle u=x^{n}{\text{ , }}\ dv=e^{ax},}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}\ =nx^{n-1}{\text{ , }}\ v={\frac {e^{ax}}{a}}\ }$

${\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -\int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}}{a}}\ {\text{d}}x\ }$

${\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ \int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }$

Recordar:

${\displaystyle I_{n-1}=\int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }$

${\displaystyle \therefore \ I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ I_{n-1}}$

que da la fórmula de reducción al sustituir hacia atrás:

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}$

Lo cual es equivalente a:

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}$

Tablas de fórmulas de reducción integral

Funciones racionales

Las siguientes integrales ^[3] contienen:

• Factores del radical lineal ${\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!}$
• Factores lineales y radicales lineales ${\displaystyle {px+q}\,\!}$ ${\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!}$
• Factores cuadráticos ${\displaystyle x^{2}+a^{2}\,\!}$
• Factores cuadráticos , para ${\displaystyle x^{2}-a^{2}\,\!}$ ${\displaystyle x>a\,\!}$
• Factores cuadráticos , para ${\displaystyle a^{2}-x^{2}\,\!}$ ${\displaystyle x<a\,\!}$
• Factores cuadráticos ( irreducibles ) ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}$
• Radicales de factores cuadráticos irreducibles ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!}$

Nótese que por las leyes de los índices :

${\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!}$

Funciones trascendentales

Las siguientes integrales ^[4] contienen:

• Factores del seno
• Factores del coseno
• Factores de productos y cocientes de seno y coseno
• Productos/cocientes de factores exponenciales y potencias de x
• Productos de factores exponenciales y seno/coseno

Referencias

1. Métodos matemáticos para física e ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-86153-3
2. Análisis elemental adicional, RI Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, ISBN 0-7135-1594-5 
3. http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Lista de integrales indefinidas
4. http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Lista de integrales indefinidas

Bibliografía

• Anton, Bivens, Davis, Cálculo, 7ª edición.