Convexidad de los bonos

En finanzas , la convexidad de los bonos es una medida de la relación no lineal de los precios de los bonos con los cambios en las tasas de interés , y se define como la segunda derivada del precio del bono con respecto a las tasas de interés ( la duración es la primera derivada). En general, cuanto mayor sea la duración, más sensible será el precio del bono al cambio en las tasas de interés. La convexidad de los bonos es una de las formas de convexidad más básicas y ampliamente utilizadas en finanzas . La convexidad se basó en el trabajo de Hon-Fei Lai y fue popularizada por Stanley Diller. ^[1]

Cálculo de la convexidad

La duración es una medida lineal o derivada inicial de cómo cambia el precio de un bono en respuesta a cambios en las tasas de interés. Cuando las tasas de interés cambian, es poco probable que el precio cambie linealmente, sino que lo hará a lo largo de una función curva de las tasas de interés. Cuanto más curva sea la función de precio del bono, más inexacta será la duración como medida de la sensibilidad a las tasas de interés. ^[2]

La convexidad es una medida de la curvatura o segunda derivada de cómo varía el precio de un bono con la tasa de interés, es decir, cómo cambia la duración de un bono a medida que cambia la tasa de interés. ^[3] En concreto, se supone que la tasa de interés es constante durante la vida del bono y que los cambios en las tasas de interés se producen de manera uniforme. Utilizando estos supuestos, la duración se puede formular como la primera derivada de la función de precio del bono con respecto a la tasa de interés en cuestión. Entonces, la convexidad sería la segunda derivada de la función de precio con respecto a la tasa de interés. ^[2]

La convexidad no supone que la relación entre el valor de los bonos y las tasas de interés sea lineal. ^[4] En los mercados reales, la suposición de tasas de interés constantes e incluso cambiantes no es correcta, y se necesitan modelos más complejos para determinar el precio de los bonos. Sin embargo, estas suposiciones simplificadoras permiten calcular de forma rápida y sencilla los factores que describen la sensibilidad de los precios de los bonos a los cambios en las tasas de interés. ^[5]

Por qué las convexidades de los enlaces pueden diferir

La sensibilidad de los precios a los cambios paralelos en la estructura temporal de las tasas de interés es máxima en el caso de los bonos cupón cero y mínima en el caso de los bonos amortizables (en los que los pagos se concentran al principio). ^[6] Aunque los bonos amortizables y los bonos cupón cero tienen sensibilidades diferentes al mismo vencimiento, si sus vencimientos finales difieren de modo que tengan duraciones de bonos idénticas , entonces tendrán sensibilidades idénticas. ^[7] Es decir, sus precios se verán afectados por igual por pequeños desplazamientos de primer orden (y paralelos) de la curva de rendimiento . Sin embargo, comenzarán a cambiar en cantidades diferentes con cada desplazamiento incremental adicional de las tasas paralelas debido a sus diferentes fechas y montos de pago. ^[8]

Para dos bonos con el mismo valor nominal, cupón y vencimiento, la convexidad puede diferir dependiendo de en qué punto de la curva precio-rendimiento se encuentren. ^[9]

Definición matemática

Si la tasa de interés flotante plana es r y el precio del bono es $B$ , entonces la convexidad $C$ se define como ^[10]

C={\frac {1}{B}}{\frac {d^{2}\left(B(r)\right)}{dr^{2}}}.

Otra forma de expresar $C$ es en términos de la duración modificada $D$ :

{\frac {d}{dr}}B(r)=-DB.

Por lo tanto,

CB={\frac {d(-DB)}{dr}}=(-D)(-DB)+\left(-{\frac {dD}{dr}}\right)(B),

partida

C=D^{2}-{\frac {dD}{dr}}.

Donde $D$ es una duración modificada

Cómo cambia la duración de los bonos con un cambio en la tasa de interés

Regresar a la definición estándar de duración modificada: ^[11]

D={\frac {1}{1+r}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(i)t(i)}{B}}

donde $P (i)$ es el valor actual del cupón $i$ , y $t (i)$ es la fecha de pago futura.

A medida que aumenta la tasa de interés , el valor actual de los pagos a más largo plazo disminuye en relación con los cupones anteriores (por el factor de descuento entre los pagos tempranos y tardíos). ^[12] Sin embargo, el precio del bono también disminuye cuando aumenta la tasa de interés, pero los cambios en el valor actual de la suma de cada cupón por el tiempo (el numerador en la suma) son mayores que los cambios en el precio del bono (el denominador en la suma). Por lo tanto, los aumentos en $r$ deben disminuir la duración (o, en el caso de los bonos cupón cero, dejar constante la duración sin modificar). ^[13]^[14] Nótese que la duración modificada $D$ difiere de la duración regular por el factor uno sobre $1 + r$ (mostrado arriba), que también disminuye a medida que $r$ aumenta.

{\frac {dD}{dr}}\leq 0

Dada la relación entre convexidad y duración mencionada anteriormente, las convexidades de los bonos convencionales siempre deben ser positivas. ^[15]

La positividad de la convexidad también se puede demostrar analíticamente para valores con tipos de interés básicos. Por ejemplo, bajo el supuesto de una curva de rendimiento plana, se puede escribir el valor de un bono con cupón como , donde $C$ $i$ representa el cupón pagado en el momento $t$ $i$ . Entonces es fácil ver que $B(r)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$

{\frac {d^{2}B}{dr^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}t_{i}^{2}\geq 0

Nótese que esto implica inversamente la negatividad de la derivada de la duración al diferenciar . $dB/dr=-DB$

Aplicación de la convexidad

La convexidad es una cifra de gestión de riesgos que se utiliza de forma similar a la que se utiliza "gamma" en la gestión de riesgos de los derivados ; es un número que se utiliza para gestionar el riesgo de mercado al que está expuesta una cartera de bonos. Si la convexidad y la duración combinadas de una cartera de negociación son altas, también lo es el riesgo. ^[16] Sin embargo, si la convexidad y la duración combinadas son bajas, la cartera está cubierta y se perderá poco dinero incluso si se producen movimientos de tipos de interés bastante sustanciales. (Paralelo en la curva de rendimiento) ^[17]
La aproximación de segundo orden de los movimientos de los precios de los bonos debido a cambios en las tasas utiliza la convexidad:

\Delta B=B\left[{\frac {C}{2}}(\Delta r)^{2}-D\Delta r\right].

Convexidad efectiva

En el caso de un bono con una opción incorporada , un cálculo de convexidad (y de duración ) basado en el rendimiento al vencimiento no considera cómo los cambios en la curva de rendimiento alterarán los flujos de efectivo debido al ejercicio de la opción . Para abordar esto, se debe calcular numéricamente una convexidad efectiva . ^[18] La convexidad efectiva es una aproximación discreta de la segunda derivada del valor del bono en función de la tasa de interés: ^[18]

{\text{Effective convexity}}={\frac {V_{-\Delta y}-2V+V_{+\Delta y}}{(V_{0})\Delta y^{2}}}

donde es el valor del bono calculado utilizando un modelo de fijación de precios de opciones , es la cantidad en que cambia el rendimiento y son los valores que tomará el bono si el rendimiento cae o aumenta en , respectivamente (un cambio paralelo ). $V$ $\Delta y$ $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$ $y$ $y$

Estos valores se encuentran típicamente usando un modelo basado en árboles, construido para toda la curva de rendimiento , y por lo tanto capturando el comportamiento del ejercicio en cada punto de la vida de la opción como una función tanto del tiempo como de las tasas de interés; ^[19]^[20] ver Modelo reticular (finanzas) § Derivados de tasas de interés .

Véase también

Referencias

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Lectura adicional

Frank Fabozzi , The Handbook of Fixed Income Securities, 7.ª ed. , Nueva York: McGraw Hill, 2005.
Fabozzi, Frank J. (1999). "Los fundamentos de la duración y la convexidad". Duración, convexidad y otras medidas de riesgo de bonos . Serie Frank J. Fabozzi. Vol. 58. John Wiley and Sons. ISBN 9781883249632.
Mayle, Jan (1994), Métodos de cálculo de valores estándar: fórmulas de valores de renta fija para medidas analíticas , vol. 2 (1.ª ed.), Securities Industry and Financial Markets Association , ISBN 1-882936-01-9. La referencia estándar para las convenciones aplicables a los valores estadounidenses.

Enlaces externos

El Fondo de Inversión en Fundaciones explica los peligros de comprar bonos con alta convexidad negativa
Videotutorial: Explicación de la duración y convexidad de los enlaces
Explicación de la convexidad en Investopedia