Órdenes extremos de una función aritmética

En matemáticas , específicamente en teoría de números , los órdenes extremos de una función aritmética son los mejores límites posibles de la función aritmética dada . Específicamente, si f ( n ) es una función aritmética y m ( n ) es una función no decreciente que es en última instancia positiva y

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{m(n)}}=1}$

Decimos que m es un orden mínimo para f . De manera similar, si M ( n ) es una función no decreciente que es en última instancia positiva y

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{M(n)}}=1}$

Decimos que M es un orden máximo para f . ^{[1] : 80} Aquí, y denotan el límite inferior y el límite superior , respectivamente. ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }}$

El tema fue estudiado sistemáticamente por primera vez por Ramanujan a partir de 1915. ^{[1] : 87}

Ejemplos

• Para la función suma de divisores σ( n ) tenemos el resultado trivial porque siempre σ( n ) ≥ n y para primos σ( p ) = p  + 1. También lo demostramos Gronwall en 1913. ^{[1] : 86  [2] : Teorema 323  [3]} Por lo tanto n es un orden mínimo y e ^−γ n ln ln  n es un orden máximo para σ( n ). $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}=1}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}=e^{\gamma },}$$
• Para el totiente de Euler φ( n ) tenemos el resultado trivial porque siempre φ( n ) ≤ n y para primos φ( p ) = p  − 1. También lo demostramos Landau en 1903. ^{[1] : 84  [2] : Teorema 328} $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\phi (n)}{n}}=1}$$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\phi (n)\ln \ln n}{n}}=e^{-\gamma },}$$
• Para la función de número de divisores d ( n ) tenemos la cota inferior trivial 2 ≤ d ( n ), en la que la igualdad ocurre cuando n es primo, por lo que 2 es un orden mínimo. Para ln  d ( n ) tenemos un orden máximo ln 2 ln  n / ln ln  n , demostrado por Wigert en 1907. ^{[1] : 82  [2] : Teorema 317}
• Para el número de factores primos distintos ω( n ) tenemos una cota inferior trivial 1 ≤ ω( n ), en la que la igualdad ocurre cuando n es una potencia prima . Un orden máximo para ω( n ) es ln n / ln ln  n . ^{[1] : 83}
• Para el número de factores primos contados con multiplicidad Ω( n ) tenemos una cota inferior trivial 1 ≤ Ω( n ), en la que la igualdad ocurre cuando n es primo. Un orden máximo para Ω( n ) es ln  n / ln 2 ^{[1] : 83}
• Se conjetura que la función de Mertens , o función sumatoria de la función de Möbius , satisface aunque hasta la fecha solo se ha demostrado que este límite superior es mayor que una constante pequeña. Esta afirmación se compara con la refutación de la conjetura de Mertens dada por Odlyzko y te Riele en su artículo innovador de varias décadas de antigüedad Refutación de la conjetura de Mertens . En contraste, observamos que si bien una amplia evidencia computacional sugiere que la conjetura anterior es verdadera, es decir, a lo largo de alguna secuencia creciente de que tiende al infinito, el orden promedio de crece sin acotar, que la hipótesis de Riemann es equivalente a que el límite sea verdadero para todos (suficientemente pequeños) . ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|M(x)|}{\sqrt {x}}}=+\infty ,}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x_{n}}}|M(x_{n})|}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }M(x)/x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }=0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Véase también

• Orden promedio de una función aritmética
• Orden normal de una función aritmética

Notas

1. Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. Vol. 46. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7.
2. Hardy, GH ; Wright, EM (1979). Introducción a la teoría de números (quinta edición). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0.
3. Gronwall, TH (1913). "Algunas expresiones asintóticas en la teoría de números". Transactions of the American Mathematical Society . 14 (4): 113–122. doi : 10.1090/s0002-9947-1913-1500940-6 .

Lectura adicional

• Nicolas, J.-L. (1988). "Sobre números altamente compuestos". En Andrews, GE ; Askey, RA ; Berndt, BC ; Ramanathan, KG (eds.). Ramanujan Revisited. Academic Press. págs. 215–244. ISBN. 978-0-12-058560-1.Un estudio de los órdenes extremos, con una extensa bibliografía.