Distribución logarítmica exponencial

Familia de distribuciones de por vida con tasa de fracaso decreciente

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución logarítmica exponencial (EL) es una familia de distribuciones de vida útil con una tasa de fallas decreciente , definida en el intervalo [0, ∞). Esta distribución está parametrizada por dos parámetros y . ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle \beta >0}$

Introducción

El estudio de la duración de la vida de organismos, dispositivos, materiales, etc., es de gran importancia en las ciencias biológicas y de la ingeniería . En general, se espera que la vida útil de un dispositivo muestre una tasa de fallas decreciente (DFR) cuando su comportamiento a lo largo del tiempo se caracteriza por "endurecimiento del trabajo" (en términos de ingeniería) o "inmunidad" (en términos biológicos).

Tahmasbi y Rezaei (2008) estudian el modelo logarítmico exponencial, junto con sus diversas propiedades. ^[1] Este modelo se obtiene bajo el concepto de heterogeneidad poblacional (mediante el proceso de capitalización).

Propiedades de la distribución

Distribución

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución EL viene dada por Tahmasbi y Rezaei (2008) ^[1]

${\displaystyle f(x;p,\beta ):=\left({\frac {1}{-\ln p}}\right){\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}}$

dónde y . Esta función es estrictamente decreciente y tiende a cero como . La distribución EL tiene su valor modal de la densidad en x=0, dado por ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {\beta (1-p)}{-p\ln p}}}$

El EL se reduce a la distribución exponencial con el parámetro de tasa , como . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle p\rightarrow 1}$

La función de distribución acumulativa viene dada por

${\displaystyle F(x;p,\beta )=1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},}$

y por tanto, la mediana está dada por

${\displaystyle x_{\text{median}}={\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}}$.

Momentos

La función generadora de momento de se puede determinar a partir de la función de densidad de probabilidad mediante integración directa y está dada por ${\displaystyle X}$

${\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tX})=-{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}F_{2,1}\left(\left[1,{\frac {\beta -t}{\beta }}\right],\left[{\frac {2\beta -t}{\beta }}\right],1-p\right),}$

donde es una función hipergeométrica . Esta función también se conoce como función hipergeométrica extendida de Barnes . La definición de es ${\displaystyle F_{2,1}}$ ${\displaystyle F_{N,D}({n,d},z)}$

${\displaystyle F_{N,D}(n,d,z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}\prod _{i=1}^{p}\Gamma (n_{i}+k)\Gamma ^{-1}(n_{i})}{\Gamma (k+1)\prod _{i=1}^{q}\Gamma (d_{i}+k)\Gamma ^{-1}(d_{i})}}}$

dónde y . ${\displaystyle n=[n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}]}$ ${\displaystyle {d}=[d_{1},d_{2},\dots ,d_{D}]}$

Los momentos de se pueden derivar de . Para , los momentos brutos están dados por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{X}(t)}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle E(X^{r};p,\beta )=-r!{\frac {\operatorname {Li} _{r+1}(1-p)}{\beta ^{r}\ln p}},}$

donde está la función polilogaritmo que se define de la siguiente manera: ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Li} _{a}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{a}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{a}}}.}$

Por lo tanto, la media y la varianza de la distribución EL están dadas, respectivamente, por

${\displaystyle E(X)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}},}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=-{\frac {2\operatorname {Li} _{3}(1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}-\left({\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}}\right)^{2}.}$

Las funciones de supervivencia, peligro y vida residual media.

Función de peligro

La función de supervivencia (también conocida como función de confiabilidad) y la función de riesgo (también conocida como función de tasa de fallas) de la distribución EL están dadas, respectivamente, por

${\displaystyle s(x)={\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},}$

${\displaystyle h(x)={\frac {-\beta (1-p)e^{-\beta x}}{(1-(1-p)e^{-\beta x})\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}}.}$

La vida útil residual media de la distribución EL viene dada por

${\displaystyle m(x_{0};p,\beta )=E(X-x_{0}|X\geq x_{0};\beta ,p)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}{\beta \ln(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}}}$

¿Dónde está la función dilogaritmo? ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$

Generación de números aleatorios

Sea U una variable aleatoria de la distribución uniforme estándar . Entonces la siguiente transformación de U tiene la distribución EL con parámetros p y  β :

${\displaystyle X={\frac {1}{\beta }}\ln \left({\frac {1-p}{1-p^{U}}}\right).}$

Estimación de los parámetros.

Para estimar los parámetros se utiliza el algoritmo EM . Tahmasbi y Rezaei (2008) analizan este método. ^[1] La iteración EM viene dada por

${\displaystyle \beta ^{(h+1)}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}}}\right)^{-1},}$

${\displaystyle p^{(h+1)}={\frac {-n(1-p^{(h+1)})}{\ln(p^{(h+1)})\sum _{i=1}^{n}\{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}\}^{-1}}}.}$

Distribuciones relacionadas

La distribución EL se ha generalizado para formar la distribución logarítmica de Weibull. ^[3]

Si X se define como la variable aleatoria que es el mínimo de N realizaciones independientes de una distribución exponencial con parámetro de tasa β , y si N es una realización de una distribución logarítmica (donde el parámetro p en la parametrización habitual se reemplaza por (1 −  p ) ), entonces X tiene la distribución logarítmica exponencial en la parametrización utilizada anteriormente.

Referencias

1. Tahmasbi, R., Rezaei, S., (2008), "Una distribución de vida útil de dos parámetros con una tasa de fallas decreciente", Estadísticas computacionales y análisis de datos , 52 (8), 3889-3901. doi :10.1016/j.csda.2007.12.002
2. Lewin, L. (1981) Polilogaritmos y funciones asociadas , Holanda Septentrional, Ámsterdam.
3. Ciumara, Roxana; Preda, Vasile (2009) "La distribución logarítmica de Weibull en el análisis de la vida y sus propiedades". En: L. Sakalauskas, C. Skiadas y EK Zavadskas (Eds.) Modelos estocásticos aplicados y análisis de datos Archivado el 18 de mayo de 2011 en Wayback Machine , XIII Conferencia Internacional, artículos seleccionados. Vilna, 2009 ISBN 978-9955-28-463-5