Integrador simpléctico

Esquema de integración numérica para sistemas hamiltonianos.

En matemáticas , un integrador simpléctico ( SI ) es un esquema de integración numérica para sistemas hamiltonianos . Los integradores simplécticos forman la subclase de integradores geométricos que, por definición, son transformaciones canónicas . Se utilizan ampliamente en dinámica no lineal , dinámica molecular , métodos de elementos discretos , física de aceleradores , física de plasma , física cuántica y mecánica celeste .

Introducción

Los integradores simplécticos están diseñados para la solución numérica de las ecuaciones de Hamilton , que se leen

${\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\quad {\mbox{and}}\quad {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},}$

donde denota las coordenadas de posición, las coordenadas de momento y es el hamiltoniano. El conjunto de coordenadas de posición y momento se denominan coordenadas canónicas . (Consulte Mecánica hamiltoniana para obtener más información). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (q,p)}$

La evolución temporal de las ecuaciones de Hamilton es un simplectomorfismo , lo que significa que conserva la forma 2 simpléctica . Un esquema numérico es un integrador simpléctico si también conserva esta forma 2. ${\displaystyle dp\wedge dq}$

Los integradores simplécticos también podrían poseer, como cantidad conservada, un hamiltoniano que está ligeramente perturbado con respecto al original ( solo es cierto para una pequeña clase de casos simples ). En virtud de estas ventajas, el esquema SI se ha aplicado ampliamente a los cálculos de la evolución a largo plazo de sistemas caóticos hamiltonianos que van desde el problema de Kepler hasta las simulaciones clásicas y semiclásicas en dinámica molecular .

La mayoría de los métodos numéricos habituales, como el esquema primitivo de Euler y el esquema clásico de Runge-Kutta , no son integradores simplécticos.

Métodos para construir algoritmos simplécticos.

Métodos de división para hamiltonianos separables

Una clase ampliamente utilizada de integradores simplécticos está formada por los métodos de división.

Supongamos que el hamiltoniano es separable, lo que significa que se puede escribir en la forma

Esto sucede frecuentemente en la mecánica hamiltoniana, siendo T la energía cinética y V la energía potencial .

Para simplificar la notación, introduzcamos el símbolo para indicar las coordenadas canónicas, incluidas las coordenadas de posición y de momento. Entonces, el conjunto de ecuaciones de Hamilton dadas en la introducción se puede expresar en una sola expresión como ${\displaystyle z=(q,p)}$

¿Dónde está el corchete de Poisson ? Además, al introducir un operador , que devuelve un corchete de Poisson del operando con el hamiltoniano , la expresión de la ecuación de Hamilton se puede simplificar aún más a ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle D_{H}\cdot =\{\cdot ,H\}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=D_{H}z.}$

La solución formal de este conjunto de ecuaciones se da como una matriz exponencial :

Tenga en cuenta la positividad de en la matriz exponencial. ${\displaystyle \tau D_{H}}$

Cuando el hamiltoniano tiene la forma de ecuación ( 1 ), la solución ( 3 ) es equivalente a

El esquema SI aproxima el operador de evolución temporal en la solución formal ( 4 ) mediante un producto de operadores como ${\displaystyle \exp[\tau (D_{T}+D_{V})]}$

donde y son números reales, es un número entero, que se llama orden del integrador, y donde . Tenga en cuenta que cada uno de los operadores y proporciona un mapa simpléctico , por lo que su producto que aparece en el lado derecho de ( 5 ) también constituye un mapa simpléctico. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{k}d_{i}=1}$ ${\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}$ ${\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}$

Ya que para todos podemos concluir que ${\displaystyle D_{T}^{2}z=\{\{z,T\},T\}=\{({\dot {q}},0),T\}=(0,0)}$ ${\displaystyle z}$

Usando una serie de Taylor , se puede expresar como ${\displaystyle \exp(aD_{T})}$

donde es un número real arbitrario. Combinando ( 6 ) y ( 7 ), y usando el mismo razonamiento que hemos usado para , obtenemos ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D_{V}}$ ${\displaystyle D_{T}}$

En términos concretos, da el mapeo ${\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q+\tau c_{i}{\frac {\partial T}{\partial p}}(p)\\p\end{pmatrix}},}$

y da ${\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q\\p-\tau d_{i}{\frac {\partial V}{\partial q}}(q)\\\end{pmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que ambos mapas son prácticamente computables.

Ejemplos

La forma simplificada de las ecuaciones (en orden de ejecución) es:

${\displaystyle q_{i+1}=q_{i}+c_{i}{\frac {p_{i+1}}{m}}t}$

${\displaystyle p_{i+1}=p_{i}+d_{i}F(q_{i})t}$

Tenga en cuenta que debido a las definiciones adoptadas anteriormente (en la versión del operador de la explicación), el índice se recorre en orden decreciente al seguir los pasos ( para un esquema de cuarto orden). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=4,3,2,1}$

Después de convertir a coordenadas lagrangianas:

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+c_{i}v_{i+1}t}$

${\displaystyle v_{i+1}=v_{i}+d_{i}a(x_{i})t}$

¿Dónde está el vector fuerza en , es el vector aceleración en y es la cantidad escalar de masa? ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$

A continuación se proporcionan varios integradores simplécticos. Una forma ilustrativa de utilizarlos es considerar una partícula con posición y momento . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Para aplicar un paso de tiempo con valores a la partícula, realice los siguientes pasos (nuevamente, como se indicó anteriormente, con el índice en orden decreciente): ${\displaystyle c_{1,2,3},d_{1,2,3}}$ ${\displaystyle i=3,2,1}$

Iterativamente:

• Actualice la posición de la partícula sumándole su velocidad (previamente actualizada) multiplicada por ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c_{i}}$
• Actualice la velocidad de la partícula sumándole su aceleración (en la posición actualizada) multiplicada por ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{i}}$

Un ejemplo de primer orden

El método simpléctico de Euler es el integrador de primer orden con coeficientes y ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle c_{1}=d_{1}=1.}$

Tenga en cuenta que el algoritmo anterior no funciona si se necesita reversibilidad en el tiempo. El algoritmo debe implementarse en dos partes, una para pasos de tiempo positivos y otra para pasos de tiempo negativos.

Un ejemplo de segundo orden

El método de Verlet es el integrador de segundo orden con coeficientes y ${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle c_{1}=0,\qquad c_{2}=1,\qquad d_{1}=d_{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

Desde entonces , el algoritmo anterior es simétrico en el tiempo. El algoritmo consta de 3 pasos y los pasos 1 y 3 son exactamente iguales, por lo que la versión de tiempo positivo se puede utilizar para el tiempo negativo. ${\displaystyle c_{1}=0}$

Un ejemplo de tercer orden

Ronald Ruth descubrió un integrador simpléctico de tercer orden (con ) en 1983. ^[1] Una de las muchas soluciones viene dada por ${\displaystyle k=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=1,&c_{2}&=-{\tfrac {2}{3}},&c_{3}&={\tfrac {2}{3}},\\d_{1}&=-{\tfrac {1}{24}},&d_{2}&={\tfrac {3}{4}},&d_{3}&={\tfrac {7}{24}}.\end{aligned}}}$

Un ejemplo de cuarto orden

Ruth también descubrió un integrador de cuarto orden (con ) en 1983 y lo distribuyó de forma privada a la comunidad de aceleradores de partículas en ese momento. Esto se describe en un animado artículo de revisión de Forest. ^[2] Este integrador de cuarto orden fue publicado en 1990 por Forest y Ruth y también descubierto de forma independiente por otros dos grupos alrededor de esa misma época. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle k=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=c_{4}={\frac {1}{2(2-2^{1/3})}},&c_{2}&=c_{3}={\frac {1-2^{1/3}}{2(2-2^{1/3})}},\\d_{1}&=d_{3}={\frac {1}{2-2^{1/3}}},&d_{2}&=-{\frac {2^{1/3}}{2-2^{1/3}}},\quad d_{4}=0.\end{aligned}}}$

Para determinar estos coeficientes se puede utilizar la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . Yoshida, en particular, ofrece una derivación elegante de coeficientes para integradores de orden superior. Más tarde, Blanes y Moan ^[6] desarrollaron métodos particionados de Runge-Kutta para la integración de sistemas con hamiltonianos separables con constantes de error muy pequeñas.

Métodos de división para hamiltonianos generales no separables

Los hamiltonianos generales no separables también pueden integrarse explícita y simpléticamente.

Para hacerlo, Tao introdujo una restricción que une dos copias del espacio de fase para permitir una división explícita de dichos sistemas. ^[7] La ​​idea es, en lugar de , se simula , cuya solución concuerda con la de en el sentido de que . ${\displaystyle H(Q,P)}$ ${\displaystyle {\bar {H}}(q,p,x,y)=H(q,y)+H(x,p)+\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)}$ ${\displaystyle H(Q,P)}$ ${\displaystyle q(t)=x(t)=Q(t),p(t)=y(t)=P(t)}$

El nuevo hamiltoniano es ventajoso para la integración simpléctica explícita, porque se puede dividir en la suma de tres subhamiltonianos, , y . Se pueden obtener explícitamente soluciones exactas de los tres subhamiltonianos: ambas soluciones corresponden a cambios de posición y momento no coincidentes, y corresponden a una transformación lineal. Para simular simpléticamente el sistema, simplemente se componen estos mapas de solución. ${\displaystyle H_{A}=H(q,y)}$ ${\displaystyle H_{B}=H(x,p)}$ ${\displaystyle H_{C}=\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)}$ ${\displaystyle H_{A},H_{B}}$ ${\displaystyle H_{C}}$

Aplicaciones

En física del plasma

En las últimas décadas, el integrador simpléctico en física del plasma se ha convertido en un tema de investigación activo, ^[8] porque las aplicaciones sencillas de los métodos simplécticos estándar no se adaptan a la necesidad de simulaciones de plasma a gran escala habilitadas por el hardware informático de escala peta a exa. Es necesario diseñar algoritmos simplécticos especiales que aprovechen las estructuras especiales del problema físico que se investiga. Un ejemplo de ello es la dinámica de las partículas cargadas en un campo electromagnético. Con la estructura simpléctica canónica, el hamiltoniano de la dinámica es cuya dependencia y dependencia no son separables, y los métodos simplécticos explícitos estándar no se aplican. Sin embargo, para simulaciones a gran escala en clústeres masivamente paralelos, se prefieren métodos explícitos. Para superar esta dificultad, podemos explorar la forma específica en que la -dependencia y la -dependencia se entrelazan en este hamiltoniano e intentar diseñar un algoritmo simpléctico solo para este o este tipo de problema. Primero, observamos que la dependencia es cuadrática, por lo tanto, el método simpléctico de Euler de primer orden implícito es en realidad explícito. Esto es lo que se utiliza en el algoritmo canónico simpléctico de partículas en celda (PIC). ^[9] Para construir métodos explícitos de alto orden, observamos además que la -dependencia y la -dependencia en este son productos separables, los algoritmos simplécticos explícitos de segundo y tercer orden se pueden construir utilizando funciones generadoras, ^[10] y arbitrariamente explícitos de alto orden. También se pueden construir integradores simplécticos para campos electromagnéticos dependientes del tiempo utilizando técnicas de Runge-Kutta. ^[11] $${\displaystyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {A}}\right)^{2}+\phi ,}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\textstyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})}$

Una alternativa más elegante y versátil es observar la siguiente estructura simpléctica no canónica del problema. Aquí hay una forma simpléctica no canónica no constante. No se sabe que exista un integrador simpléctico general para una estructura simpléctica no constante, no canónica, explícita o implícita. Sin embargo, para este problema específico, se puede construir una familia de integradores simplécticos explícitos no canónicos de alto orden utilizando el método de división He. ^[12] Dividiendo en 4 partes, encontramos casualmente que para cada subsistema, por ejemplo, el mapa de solución se puede escribir explícitamente y calcular exactamente. Luego, se pueden construir algoritmos simplécticos no canónicos explícitos de alto orden utilizando diferentes composiciones. Sea y denote los mapas de solución exactos para los 4 subsistemas. Un esquema simpléctico de primer orden es un esquema simpléctico de segundo orden, que es una división de Strang modificada habitualmente. Se puede construir un esquema de orden -ésimo a partir de un esquema de orden -ésimo utilizando el método de triple salto. El método de división He es una de las técnicas clave utilizadas en los algoritmos de partículas geométricas en celda (PIC) que preservan la estructura. ^{[13] [14] [15] [16]} $${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH,\ \ \ \Omega =d({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {A}})\wedge d{\boldsymbol {x}},\ \ \ H={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\phi .}$$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle H}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H&=H_{x}+H_{y}+H_{z}+H_{\phi },\\H_{x}&={\frac {1}{2}}v_{x}^{2},\ \ H_{y}={\frac {1}{2}}v_{y}^{2},\ \ H_{z}={\frac {1}{2}}v_{z}^{2},\ \ H_{\phi }=\phi ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{x}}$$ $${\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{\phi },}$$ ${\textstyle \Theta _{x},\Theta _{y},\Theta _{z}}$ ${\textstyle \Theta _{\phi }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{1}\left(\Delta \tau \right)=\Theta _{x}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)~.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{2}\left(\Delta \tau \right)&=\Theta _{x}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)\\&\Theta _{z}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{y}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{x}\left(\Delta t/2\right)\!,\end{aligned}}}$$ ${\textstyle 2(l+1)}$ ${\textstyle 2l}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{2(l+1)}(\Delta \tau )&=\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\beta _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )~,\\\alpha _{l}&=1/(2-2^{1/(2l+1)})~,\\\beta _{l}&=1-2\alpha _{l}~.\end{aligned}}}$$

Ver también

• Deriva de energía
• Integrador multisimpléctico
• integrador variacional
• Integración Verlet

Referencias

1. Ruth, Ronald D. (agosto de 1983). "Una técnica de integración canónica". Transacciones IEEE sobre ciencia nuclear . NS-30 (4): 2669–2671. Código bibliográfico : 1983ITNS...30.2669R. doi :10.1109/TNS.1983.4332919. S2CID  5911358.
2. Bosque, Etienne (2006). "Integración geométrica para aceleradores de partículas". J. Física. R: Matemáticas. Gen.​ 39 (19): 5321–5377. Código Bib : 2006JPhA...39.5321F. doi :10.1088/0305-4470/39/19/S03.
3. Bosque, E.; Ruth, Ronald D. (1990). "Integración simpléctica de cuarto orden" (PDF) . Física D. 43 : 105-117. Código bibliográfico : 1990PhyD...43..105F. doi :10.1016/0167-2789(90)90019-L.
4. Yoshida, H. (1990). "Construcción de integradores simplécticos de orden superior". Física. Letón. A . 150 (5–7): 262–268. Código bibliográfico : 1990PhLA..150..262Y. doi :10.1016/0375-9601(90)90092-3.
5. Dulces, J.; Rozmus, W (1991). "Un algoritmo de integración simpléctica para funciones hamiltonianas separables". J. Computación. Física . 92 (1): 230–256. Código bibliográfico : 1991JCoPh..92..230C. doi :10.1016/0021-9991(91)90299-Z.
6. Blanes, S.; Moan, PC (mayo de 2002). "Métodos prácticos de Runge-Kutta y Runge-Kutta-Nyström particionados simplécticos". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 142 (2): 313–330. Código Bib : 2002JCoAM.142..313B. doi : 10.1016/S0377-0427(01)00492-7 .
7. Tao, Molei (2016). "Aproximación simpléctica explícita de hamiltonianos no separables: algoritmo y rendimiento a largo plazo". Física. Rev. E. 94 (4): 043303. arXiv : 1609.02212 . Código bibliográfico : 2016PhRvE..94d3303T. doi : 10.1103/PhysRevE.94.043303. PMID  27841574. S2CID  41468935.
8. Qin, H.; Guan, X. (2008). "Un integrador simpléctico variacional para el movimiento del centro guía de partículas cargadas para simulaciones de larga duración en campos magnéticos generales" (PDF) . Cartas de revisión física . 100 (3): 035006. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.035006. PMID  18232993.
9. Qin, H.; Liu, J.; Xiao, J. (2016). "Método canónico simpléctico de partículas en celda para simulaciones a gran escala a largo plazo de las ecuaciones de Vlasov-Maxwell". Fusión nuclear . 56 (1): 014001. arXiv : 1503.08334 . Código Bib : 2016NucFu..56a4001Q. doi :10.1088/0029-5515/56/1/014001. S2CID  29190330.
10. Zhang, R.; Qin, H.; Tang, Y. (2016). "Algoritmos simplécticos explícitos basados ​​en funciones generadoras para la dinámica de partículas cargadas". Revisión física E. 94 (1): 013205. arXiv : 1604.02787 . Código Bib : 2016PhRvE..94a3205Z. doi : 10.1103/PhysRevE.94.013205. PMID  27575228. S2CID  2166879.
11. Tao, M. (2016). "Integradores simplécticos explícitos de alto orden para partículas cargadas en campos electromagnéticos generales". Revista de Física Computacional . 327 : 245. arXiv : 1605.01458 . Código Bib : 2016JCoPh.327..245T. doi :10.1016/j.jcp.2016.09.047. S2CID  31262651.
12. Él, Y.; Qin, H.; Sol, Y. (2015). "Métodos de integración hamiltonianos para ecuaciones de Vlasov-Maxwell". Física de Plasmas . 22 : 124503. arXiv : 1505.06076 . doi : 10.1063/1.4938034. S2CID  118560512.
13. Xiao, J.; Qin, H.; Liu, J. (2015). "Algoritmos explícitos de partículas en celda simplécticas no canónicas de alto orden para sistemas Vlasov-Maxwell". Física de Plasmas . 22 (11): 112504. arXiv : 1510.06972 . Código Bib : 2015PhPl...22k2504X. doi :10.1063/1.4935904. S2CID  12893515.
14. Kraus, M; Kormann, K; Morrison, P.; Sonnendrucker, E (2017). "GEMPIC: métodos geométricos de partículas electromagnéticas en células". Revista de Física del Plasma . 83 (4): 905830401. arXiv : 1609.03053 . Código Bib : 2017JPlPh..83d9001K. doi :10.1017/S002237781700040X. S2CID  8207132.
15. Xiao, J.; Qin, H.; Liu, J. (2018). "Métodos geométricos de partículas en celda que preservan la estructura para sistemas Vlasov-Maxwell". Ciencia y tecnología del plasma . 20 (11): 110501. arXiv : 1804.08823 . Código Bib : 2018PlST...20k0501X. doi :10.1088/2058-6272/aac3d1. S2CID  250801157.
16. Glasser, A.; Qin, H. (2022). "Un algoritmo de división hamiltoniano compatible con calibres para simulaciones de partículas en celdas utilizando cálculo exterior de elementos finitos". Revista de Física del Plasma . 88 (2): 835880202. arXiv : 2110.10346 . Código Bib : 2022JPlPh..88b8302G. doi :10.1017/S0022377822000290. S2CID  239049433.

• Leimkühler, Ben; Reich, Sebastián (2005). Simulando la dinámica hamiltoniana . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-77290-7.
• Hairer, Ernst; Lubich, cristiano; Wanner, Gerhard (2006). Integración numérica geométrica: algoritmos que preservan la estructura para ecuaciones diferenciales ordinarias (2 ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-30663-4.
• Kang, Feng; Qin, Mengzhao (2010). Algoritmos geométricos simplécticos para sistemas hamiltonianos . Saltador.