Integrador variacional

Método de integración numérica

Los integradores variacionales son integradores numéricos para sistemas hamiltonianos derivados de las ecuaciones de Euler-Lagrange de un principio de Hamilton discretizado . Los integradores variacionales son simplécticos y conservan el momento .

Derivación de un integrador variacional simple

Consideremos un sistema mecánico con un único grado de libertad de partícula descrito por el lagrangiano.

${\displaystyle L(t,q,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(q),}$

donde es la masa de la partícula y es un potencial. Para construir un integrador variacional para este sistema, comenzamos formando el lagrangiano discreto . El lagrangiano discreto aproxima la acción del sistema durante un intervalo de tiempo corto: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})&={\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}\left[L\left(t_{0},q_{0},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)+L\left(t_{1},q_{1},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)\right]\\&\approx \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t)).\end{aligned}}}$

Aquí hemos optado por aproximar la integral del tiempo utilizando el método trapezoidal, y utilizamos una aproximación lineal a la trayectoria,

${\displaystyle q(t)\approx {\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}(t-t_{0})+q_{0}}$

entre y , lo que da como resultado una velocidad constante . Diferentes opciones para la aproximación a la trayectoria y la integral temporal dan diferentes integradores variacionales. El orden de precisión del integrador está controlado por la precisión de nuestra aproximación a la acción; ya que ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle v\approx \left(q_{1}-q_{0}\right)/\left(t_{1}-t_{0}\right)}$

${\displaystyle L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t))+{\mathcal {O}}(t_{1}-t_{0})^{2},}$

Nuestro integrador tendrá una precisión de segundo orden.

Las ecuaciones de evolución para el sistema discreto pueden derivarse de un principio de acción estacionaria. La acción discreta durante un intervalo de tiempo prolongado es una suma de lagrangianos discretos durante muchos subintervalos:

${\displaystyle S_{d}=L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})+L_{d}(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2})+\cdots .}$

El principio de acción estacionaria establece que la acción es estacionaria con respecto a variaciones de coordenadas que dejan fijos los puntos finales de la trayectoria. Por lo tanto, variando la coordenada , tenemos ${\displaystyle q_{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial S_{d}}{\partial q_{1}}}=0={\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2}\right).}$

Dada una condición inicial y una secuencia de veces, esto proporciona una relación que se puede resolver para . La solución es ${\displaystyle (q_{0},q_{1})}$ ${\displaystyle (t_{0},t_{1},t_{2})}$ ${\displaystyle q_{2}}$

${\displaystyle q_{2}=q_{1}+{\frac {t_{2}-t_{1}}{t_{1}-t_{0}}}(q_{1}-q_{0})-{\frac {(t_{2}-t_{0})(t_{2}-t_{1})}{2m}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).}$

Podemos escribir esto en una forma más simple si definimos los momentos discretos,

${\displaystyle p_{0}\equiv -{\frac {\partial }{\partial q_{0}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})}$

y

${\displaystyle p_{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}).}$

Dada una condición inicial , la condición de acción estacionaria es equivalente a resolver la primera de estas ecuaciones para , y luego determinar utilizando la segunda ecuación. Este esquema de evolución da ${\displaystyle (q_{0},p_{0})}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}}$

${\displaystyle q_{1}=q_{0}+{\frac {t_{1}-t_{0}}{m}}p_{0}-{\frac {(t_{1}-t_{0})^{2}}{2m}}{\frac {d}{dq_{0}}}V(q_{0})}$

y

${\displaystyle p_{1}=m{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}-{\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).}$

Este es un esquema de integración de salto para el sistema; dos pasos de esta evolución son equivalentes a la fórmula anterior para ${\displaystyle q_{2}}$

Véase también

• Integrador de grupo Lie

Referencias

• E. Hairer, C. Lubich y G. Wanner. Integración numérica geométrica . Springer, 2002.
• J. Marsden y M. West. Mecánica discreta e integradores variacionales . Acta Numerica, 2001, págs. 357–514.