Cardenal Erdős

En matemáticas , un cardinal de Erdős , también llamado cardinal de partición , es un cierto tipo de número cardinal grande introducido por Paul Erdős y András Hajnal  (1958).

Un cardinal se llama -Erdős si para cada función , hay un conjunto de tipo de orden que es homogéneo para . En la notación del cálculo de particiones , es -Erdős si ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f:\kappa ^{<\omega }\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\alpha )^{<\omega }}$.

La existencia del cero preciso implica que el universo construible satisface "para cada ordinal contable , existe un cardinal -Erdős". De hecho, para cada indiscernible , satisface "para cada ordinal , existe un cardinal -Erdős en " (el colapso de Lévy para hacerlo contable). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {Coll} (\omega ,\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Sin embargo, la existencia de un cardinal -Erdős implica la existencia de cero agudo . Si es la relación de satisfacción para (usando parámetros ordinales), entonces la existencia de cero agudo es equivalente a que exista un ordinal -Erdős con respecto a . Por lo tanto, la existencia de un cardinal -Erdős implica que el axioma de constructibilidad es falso. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

El cardinal menor de -Erdős no es débilmente compacto, ^{[1] p. 39.} ni tampoco es el cardinal menor de -Erdős. ^{[1] p. 39} ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Si es -Erdős, entonces es -Erdős en cada modelo transitivo que satisface " es contable". ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Véase también

• Lista de grandes propiedades cardinales

Referencias

• Baumgartner, James E. ; Galvin, Fred (1978). "Cardinales de Erdős generalizados y 0#". Anales de lógica matemática . 15 (3): 289–313. doi : 10.1016/0003-4843(78)90012-8 . ISSN  0003-4843. MR  0528659.
• Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardinales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Erdős, Paul; Hajnal, András (1958). "Sobre la estructura de los mapeos de conjuntos". Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae . 9 (1–2): 111–131. doi : 10.1007/BF02023868 . ISSN  0001-5954. SEÑOR  0095124. S2CID  18976050.
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.

Citas

1. F. Rowbottom, "Algunos axiomas fuertes de infinito incompatibles con el axioma de constructibilidad". Annals of Mathematical Logic vol. 3, no. 1 (1971).