Entrelazamiento multipartito

Entrelazamiento cuántico de más de 2 qubits

En el caso de sistemas compuestos por subsistemas, la clasificación de los estados entrelazados cuánticamente es más rica que en el caso bipartito. De hecho, en el entrelazamiento multipartito , además de los estados completamente separables y los estados completamente entrelazados , también existe la noción de estados parcialmente separables. ^[1] ${\displaystyle m>2}$

Separabilidad total y parcial

Las definiciones de estados multipartitos completamente separables y completamente enredados generalizan naturalmente las de estados separables y enredados en el caso bipartito, de la siguiente manera. ^[1]

Llenometro-separabilidad de las partes (metro-separabilidad) demetrosistemas

El estado de los subsistemas con espacio de Hilbert es completamente separable si y solo si puede escribirse en la forma ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$ ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{A_{1}\ldots A_{m}}={\mathcal {H}}_{A_{1}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}_{A_{m}}}$

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}\varrho _{A_{1}}^{i}\otimes \ldots \otimes \varrho _{A_{m}}^{i}.}$

En consecuencia, el estado está completamente enredado si no se puede escribir en la forma anterior. ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$

Al igual que en el caso bipartito, el conjunto de estados -separables es convexo y cerrado con respecto a la norma traza, y la separabilidad se preserva bajo operaciones -separables que son una generalización directa de las bipartitas: ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n}}$

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}\to {\frac {\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n}\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}(\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n})^{\dagger }}{\operatorname {Tr} [\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n}\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}(\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n})^{\dagger }]}}.}$^[1]

Sin embargo, como se mencionó anteriormente, en el entorno multipartito también tenemos diferentes nociones de separabilidad parcial. ^[1]

Separabilidad respecto a particiones

El estado de los subsistemas es separable con respecto a una partición dada , donde son subconjuntos disjuntos de los índices , si y solo si se puede escribir ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$ ${\displaystyle \;\{I_{1},\ldots ,I_{k}\}}$ ${\displaystyle \;I_{i}}$ ${\displaystyle \;I=\{1,\ldots ,m\},\cup _{j=1}^{k}I_{j}=I}$

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\varrho _{1}^{i}\otimes \ldots \otimes \varrho _{k}^{i}.}$^[1]

Semiseparabilidad

El estado es semiseparable si y sólo si es separable bajo todas las particiones, . ^[1] ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;1}$ ${\displaystyle \;(m-1)}$ ${\displaystyle \;{\big \{}I_{1}=\{k\},I_{2}=\{1,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,m\}{\big \}},1\leq k\leq m}$

a-productibilidad

Un sistema de -partículas es -producible si es una mezcla de estados tales que cada uno de ellos es separable con respecto a alguna partición , donde el tamaño de es como máximo ^{[2] [1]} Si un estado no es k -producible entonces está al menos entrelazado con -partículas. El entrelazamiento de s -partículas se ha detectado en varios experimentos con muchas partículas. A menudo se hace referencia a dichos experimentos como detección de la profundidad de entrelazamiento del estado cuántico. ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;k}$ ${\displaystyle \;\{I_{1},\ldots ,I_{L}\}}$ ${\displaystyle I_{l}}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle (k+1)}$

a-Estiramiento del enredo

Para un estado puro, que es k -producible, pero no -producible y es h -separable, pero no -separable, la estirabilidad es ^{[3] [4] [5]} La definición se puede extender a estados mixtos de la manera habitual. Se pueden definir más propiedades basadas en la división de partículas en grupos, que se han estudiado ampliamente. ^[6] ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle (h+1)}$ ${\displaystyle k-h.}$

Caracterización y criterios de separabilidad

Estados puros

Una definición equivalente a la separabilidad total de m-partitas se da de la siguiente manera: El estado puro de los subsistemas es completamente separable en m-partitas si y solo si puede escribirse ${\displaystyle |\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle }$ ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$ ${\displaystyle \;m}$

${\displaystyle \;|\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle =|\psi _{A_{1}}\rangle \otimes \ldots \otimes |\psi _{A_{m}}\rangle .}$^[1]

Para comprobarlo, basta con calcular matrices de densidad reducida de subsistemas elementales y ver si son puras. Sin embargo, esto no se puede hacer tan fácilmente en el caso multipartito, ya que sólo en raras ocasiones los estados puros multipartitos admiten la descomposición Schmidt generalizada . Un estado multipartito admite la descomposición Schmidt generalizada si, trazando cualquier subsistema, el resto está en un estado completamente separable. Así, en general, el entrelazamiento de un estado puro se describe por los espectros de las matrices de densidad reducida de todas las particiones bipartitas: el estado está genuinamente entrelazado en -partitas si y sólo si todas las particiones bipartitas producen matrices de densidad reducida mixtas. ^[1] ${\displaystyle \;|\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle =\sum _{i=1}^{\min\{d_{A_{1}},\ldots ,d_{A_{m}}\}}a_{i}|e_{A_{1}}^{i}\rangle \otimes \ldots \otimes |e_{A_{m}}^{i}\rangle }$ ${\displaystyle \;m}$

Estados mixtos

En el caso multipartito no existe una condición simple necesaria y suficiente para la separabilidad como la dada por el criterio PPT para los casos y . Sin embargo, muchos criterios de separabilidad utilizados en el contexto bipartito pueden generalizarse al caso multipartito. ^[1] ${\displaystyle 2\otimes 2}$ ${\displaystyle 2\otimes 3}$

Mapas positivos pero no completamente positivos (PnCP) y testigos de entrelazamiento

La caracterización de la separabilidad en términos de mapas positivos pero no completamente positivos se puede generalizar naturalmente a partir del caso bipartito, de la siguiente manera. ^[1]

Cualquier mapa positivo pero no completamente positivo (PnCP) proporciona un criterio de separabilidad necesario no trivial en la forma: ${\displaystyle \;\Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{2}\ldots A_{m}})\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{1}})}$

${\displaystyle \;(I_{A_{1}}\otimes \Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}})[\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}]\geq 0,}$

donde es la identidad que actúa sobre el primer subsistema . El estado es separable si y solo si se cumple la condición anterior para todos los mapas PnCP . ^[1] ${\displaystyle \;I_{A_{1}}}$ ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{A_{1}}}$ ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;\Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{2}\ldots A_{m}})\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{1}})}$

La definición de testigos de entrelazamiento y el isomorfismo de Choi–Jamiołkowski que vincula los mapas PnCP con los testigos de entrelazamiento en el caso bipartito también se pueden generalizar al contexto multipartito. Por lo tanto, obtenemos una condición de separabilidad de los testigos de entrelazamiento para estados multipartitos: el estado es separable si tiene un valor medio no negativo para todos los testigos de entrelazamiento . En consecuencia, el entrelazamiento de es detectado por el testigo si y solo si . ^[1] ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Tr} (W\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})\geq 0}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;W}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Tr} (W\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})<0}$

La descripción anterior proporciona una caracterización completa de la separabilidad de los sistemas de partes. ^[1] ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;m}$

Criterio de rango

El "criterio de rango" también puede generalizarse inmediatamente del caso bipartito al multipartito. En el último caso, el rango de debe estar abarcado por los vectores , mientras que el rango de parcialmente transpuesto con respecto al subconjunto debe estar abarcado por los productos de estos vectores donde aquellos con índices son complejos conjugados. Si el estado es separable , entonces todas esas transposiciones parciales deben conducir a matrices con espectro no negativo, es decir, todas las matrices deben ser estados en sí mismas. ^[1] ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;\{|\phi _{A_{1}}\rangle ,\ldots ,|\phi _{A_{m}}\rangle \}}$ ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}^{T_{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}}}}$ ${\displaystyle \;\{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}\}\subset \{A_{1}\ldots A_{m}\}}$ ${\displaystyle \;k_{1},\ldots ,k_{l}}$ ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}^{T_{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}}}}$

Criterios de realineamiento

Los "criterios de realineación" del caso bipartito se generalizan a los criterios de permutación en el entorno multipartito: si el estado es separable, entonces la matriz , obtenida del estado original mediante la permutación de los índices de la matriz en base al producto, satisface . ^[1] ${\displaystyle \varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;[R_{\pi }(\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})]_{i_{1}j_{1},i_{2}j_{2},\ldots ,i_{n}j_{n}}\equiv \varrho _{\pi (i_{1}j_{1},i_{2}j_{2},\ldots ,i_{n}j_{n})}}$ ${\displaystyle \;\pi }$ ${\displaystyle \;||R_{\pi }(\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})]||_{\operatorname {Tr} }\leq 1}$

Criterio de contracción

Finalmente, el criterio de contracción se generaliza inmediatamente del caso bipartito al caso multipartito. ^[1]

Medidas de entrelazamiento multipartito

Muchas de las medidas de entrelazamiento axiomático para estados bipartitos, como la entropía relativa del entrelazamiento , la robustez del entrelazamiento y el entrelazamiento aplastado, se pueden generalizar al entorno multipartito. ^[1]

La entropía relativa del entrelazamiento, por ejemplo, se puede generalizar al caso multipartito tomando un conjunto adecuado en lugar del conjunto de estados separables bipartitos. Se puede tomar el conjunto de estados completamente separables, aunque con esta elección la medida no distinguirá entre el entrelazamiento verdaderamente multipartito y varias instancias de entrelazamiento bipartito, como . Para analizar el entrelazamiento verdaderamente multipartito, se debe considerar el conjunto de estados que no contienen más de un entrelazamiento de partículas. ^[1] ${\displaystyle \mathrm {EPR} _{AB}\otimes \mathrm {EPR} _{CD}}$ ${\displaystyle k}$

En el caso del entrelazamiento aplastado, su versión multipartita se puede obtener simplemente reemplazando la información mutua del sistema bipartito con su generalización para sistemas multipartitos, es decir . ^[1] ${\displaystyle I(A_{1}:\ldots :A_{N})=S(A_{1})+\ldots +S(A_{N})-S(A_{1}\ldots A_{N})}$

Sin embargo, en el entorno multipartito se necesitan muchos más parámetros para describir el entrelazamiento de los estados y, por lo tanto, se han construido muchas nuevas medidas de entrelazamiento, especialmente para estados multipartitos puros.

Medidas de entrelazamiento multipartito para estados puros

En el contexto multipartito, existen medidas de entrelazamiento que son simplemente funciones de sumas de medidas de entrelazamiento bipartitas, como, por ejemplo, el entrelazamiento global , que se obtiene mediante la suma de las concurrencias entre un qubit y todos los demás. Para estas medidas de entrelazamiento multipartitas, la monotonía bajo LOCC simplemente se hereda de las medidas bipartitas. Pero también existen medidas de entrelazamiento que se construyeron específicamente para estados multipartitos, como las siguientes: ^[1]

Enredo

La primera medida de entrelazamiento multipartito que no es ni una generalización directa ni una combinación fácil de medidas bipartitas fue introducida por Coffman et al. y llamada tangle. ^[1]

Definición:

${\displaystyle \;\tau (A:B:C)=\tau (A:BC)-\tau (AB)-\tau (AC),}$

donde los -enredos en el lado derecho son los cuadrados de concurrencia . ^[1] ${\displaystyle \;2}$

La medida del enredo es invariante permutacionalmente; se desvanece en todos los estados que son separables bajo cualquier corte; es distinta de cero, por ejemplo, en el estado GHZ; puede considerarse cero para los estados que están 3-enredados (es decir, que no son producto con respecto a ningún corte) como, por ejemplo, el estado W. Además, podría existir la posibilidad de obtener una buena generalización del enredo para sistemas multiqubit por medio del hiperdeterminante . ^[1]

Medida de Schmidt

Esta fue una de las primeras medidas de entrelazamiento construidas específicamente para estados multipartidistas. ^[1]

Definición:

El mínimo de , donde es el número de términos en una expansión del estado en base al producto. ^[1] ${\displaystyle \;\log r}$ ${\displaystyle \;r}$

Esta medida es cero si y sólo si el estado es completamente producto; por lo tanto, no puede distinguir entre entrelazamiento verdaderamente multipartito y entrelazamiento bipartito, pero sin embargo puede ser útil en muchos contextos. ^[1]

Medidas basadas en formas normales

Esta es una clase interesante de medidas de entrelazamiento multipartitas obtenidas en el contexto de la clasificación de estados. Es decir, se considera cualquier función homogénea del estado: si es invariante bajo operaciones SLOCC (LOCC estocástico) con determinante igual a 1, entonces es un entrelazamiento monótono en el sentido fuerte , es decir, satisface la condición de monotonía fuerte. ^[1]

Medidas basadas en hiperdeterminantes

Miyake demostró que los hiperdeterminantes son monótonos de entrelazamiento y describen un entrelazamiento verdaderamente multipartito en el sentido de que estados como los productos de s tienen entrelazamiento cero. En particular, la concurrencia y el enredo son casos especiales de hiperdeterminante. De hecho, para dos qubits, la concurrencia es simplemente el módulo del determinante, que es el hiperdeterminante de primer orden; mientras que el enredo es el hiperdeterminante de segundo orden, es decir, una función de tensores con tres índices. ^[1] ${\displaystyle EPR}$

Enredo geométrico

La medida geométrica del entrelazamiento ^[7] de es el mínimo de ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \|\psi -\phi \|_{2}}$

con respecto a todos los estados separables

${\displaystyle \phi =\bigotimes _{i=1}^{N}\phi _{i}.}$

Este enfoque funciona para partículas distinguibles o sistemas de espín. Para fermiones o bosones idénticos o indistinguibles, el espacio de Hilbert completo no es el producto tensorial de los de cada partícula individual. Por lo tanto, es necesaria una modificación simple. Por ejemplo, para fermiones idénticos, dado que la función de onda completa ahora es completamente antisimétrica, se requiere para . Esto significa que la función de onda determinante de Slater que se toma como aproximación debe ser una función de onda determinante de Slater . ^[8] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Enredo localizable

Esta medida de entrelazamiento es una generalización del entrelazamiento de asistencia y se construyó en el contexto de cadenas de espines. Es decir, se eligen dos espines y se realizan operaciones LOCC que apuntan a obtener el mayor entrelazamiento bipartito posible entre ellos (medido de acuerdo con una medida de entrelazamiento elegida para dos estados bipartitos). ^[1]

Fuentes y notas

1. "Enredo multipartito". Quantiki.org . 4 de enero de 2008.
2. Gühne, Otfried; Tóth, Géza; Briegel, Hans J (4 de noviembre de 2005). "Enredo multipartito en cadenas de espín". New Journal of Physics . 7 : 229. arXiv : quant-ph/0502160 . doi :10.1088/1367-2630/7/1/229.
3. Szalay, Szilárd (2 de diciembre de 2019). "k-estiramiento del entrelazamiento y la dualidad de k-separabilidad y k-producibilidad". Quantum . 3 : 204. arXiv : 1906.10798 . doi :10.22331/q-2019-12-02-204.
4. Tóth, Géza (27 de enero de 2020). "Extendiendo los límites del entrelazamiento de múltiples partículas". Quantum Views . 4 : 30. arXiv : 2212.00111 . doi :10.22331/qv-2020-01-27-30.
5. Ren, Zhihong; Li, Weidong; Smerzi, Augusto; Gessner, Manuel (25 de febrero de 2021). "Detección metrológica de entrelazamiento multipartito a partir de diagramas de Young". Physical Review Letters . 126 (8): 080502. arXiv : 2012.03862 . doi :10.1103/PhysRevLett.126.080502. PMID  33709723.
6. Szalay, Szilárd; Tóth, Géza (2024). "Alternativas de profundidad de entrelazamiento y criterios metrológicos de entrelazamiento". Arxiv . arXiv : 2408.15350 .
7. Wei, T.-C.; Goldbart, PM (2003). "Medida geométrica del entrelazamiento y aplicaciones a estados cuánticos bipartitos y multipartitos". Phys. Rev. A . 68 (4): 042307. arXiv : quant-ph/0307219 . Código Bibliográfico :2003PhRvA..68d2307W. doi :10.1103/PhysRevA.68.042307. S2CID  13667243.
8. Zhang, JM; Kollar, M. (2014). "Aproximación multiconfiguracional óptima de una función de onda de N-fermiones". Phys. Rev. A . 89 (1): 012504. arXiv : 1309.1848 . Código Bibliográfico :2014PhRvA..89a2504Z. doi :10.1103/PhysRevA.89.012504. S2CID  17241999.

Lectura adicional

• Horodecki, R. (1994). "Sistemas cuánticos informacionalmente coherentes". Physics Letters A . 187 (2): 145. Bibcode :1994PhLA..187..145H. doi :10.1016/0375-9601(94)90052-3.
• Coffman, V.; Kundu, Joydip; Wootters, William K. (2000). "Enredo distribuido". Physical Review A . 61 (5): 052306. arXiv : quant-ph/9907047 . Código Bibliográfico :2000PhRvA..61e2306C. doi :10.1103/PhysRevA.61.052306. S2CID  1781516.
• Barnum, H.; Linden, N. (2001). "Monótonos e invariantes para estados cuánticos de múltiples partículas". Journal of Physics A . 34 (35): 6787. arXiv : quant-ph/0103155 . Bibcode :2001JPhA...34.6787B. doi :10.1088/0305-4470/34/35/305. S2CID  16513918.
• Bourennane, M.; Karlsson, A.; Björk, G. (2001). "Distribución de claves cuánticas mediante codificación multinivel". Physical Review A . 64 (2): 022306. Bibcode :2001PhRvA..64a2306B. doi :10.1103/PhysRevA.64.012306.
• Meyer, DA; Wallach, NR (2001). "Enredo global en sistemas multipartículas". Journal of Mathematical Physics . 43 (9): 4273–4278. arXiv : quant-ph/0108104 . Código Bibliográfico :2002JMP....43.4273M. doi :10.1063/1.1497700. S2CID  5649658.
• Miyake, A. (2003). "Clasificación de estados entrelazados multipartitos mediante determinantes multidimensionales". Physical Review A . 67 (1): 012108. arXiv : quant-ph/0206111 . Código Bibliográfico :2003PhRvA..67a2108M. doi :10.1103/PhysRevA.67.012108. S2CID  119659352.
• Verstraete, F.; Dehaene, J.; De Moor, B. (2003). "Formas normales y medidas de entrelazamiento para estados cuánticos multipartitos". Physical Review A . 68 (1): 012103. arXiv : quant-ph/0105090 . Código Bibliográfico :2003PhRvA..68a2103V. doi :10.1103/PhysRevA.68.012103. S2CID  119020831.
• Boileau, J.-C.; Gottesman, D.; Laflamme, R.; Poulin, D.; Spekkens, R. (2004). "Distribución de clave cuántica basada en polarización robusta sobre un canal de ruido colectivo". Physical Review Letters . 92 (2): 027901. arXiv : quant-ph/0306199 . Código Bibliográfico :2004PhRvL..92a7901B. doi :10.1103/PhysRevLett.92.017901. PMID  14754020. S2CID  24770274.
• Miyake, A. (2004). "Enredo multipartito bajo operaciones locales estocásticas y comunicación clásica". Revista internacional de información cuántica . 2 : 65–77. arXiv : quant-ph/0401023 . Código Bibliográfico :2004quant.ph..1023M. doi :10.1142/s0219749904000080. S2CID  7084368.
• Horodecki, R.; Horodecki, P.; Horodecki, M.; Horodecki, K. (2009). "Enredo cuántico". Reseñas de Física Moderna . 81 (2): 865–942. arXiv : quant-ph/0702225 . Código Bibliográfico :2009RvMP...81..865H. doi :10.1103/RevModPhys.81.865. S2CID  59577352.
• Gühne, O.; Tóth, G. (2009). "Detección de entrelazamiento". Physics Reports . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Código Bibliográfico :2009PhR...474....1G. doi :10.1016/j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.