ley de bragg

Ley física relativa a los ángulos de dispersión de la radiación a través de un medio.

En muchas áreas de la ciencia, la ley de Bragg , la condición de Wulff -Bragg o la interferencia de Laue-Bragg son un caso especial de difracción de Laue , que proporciona los ángulos para la dispersión coherente de ondas de una gran red cristalina. Describe cómo la superposición de frentes de onda dispersos por planos de red conduce a una relación estricta entre la longitud de onda y el ángulo de dispersión. Esta ley se formuló inicialmente para los rayos X, pero también se aplica a todo tipo de ondas de materia , incluidas las ondas de neutrones y electrones si hay una gran cantidad de átomos, así como a la luz visible con redes periódicas artificiales a microescala.

Historia

Los rayos X interactúan con los átomos de un cristal .

La difracción de Bragg (también conocida como formulación de Bragg de la difracción de rayos X ) fue propuesta por primera vez por Lawrence Bragg y su padre, William Henry Bragg , en 1913 ^[1] después de su descubrimiento de que los sólidos cristalinos producían patrones sorprendentes de rayos X reflejados ( a diferencia de los producidos, por ejemplo, con un líquido). Descubrieron que estos cristales, en determinadas longitudes de onda y ángulos de incidencia específicos, producían picos intensos de radiación reflejada.

Según la desviación de 2 θ , el cambio de fase provoca interferencias constructivas (figura de la izquierda) o destructivas (figura de la derecha).

Lawrence Bragg explicó este resultado modelando el cristal como un conjunto de planos paralelos discretos separados por un parámetro constante d . Propuso que la radiación de rayos X incidente produciría un pico de Bragg si los reflejos de los distintos planos interfirieran de manera constructiva. La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fase entre la onda reflejada en diferentes planos atómicos es múltiplo de 2 π ; Esta condición (consulte la sección sobre la condición de Bragg a continuación) fue presentada por primera vez por Lawrence Bragg el 11 de noviembre de 1912 a la Sociedad Filosófica de Cambridge . ^[2] Aunque simple, la ley de Bragg confirmó la existencia de partículas reales a escala atómica, además de proporcionar una nueva y poderosa herramienta para estudiar los cristales . Lawrence Bragg y su padre, William Henry Bragg, recibieron el Premio Nobel de Física en 1915 por su trabajo en la determinación de estructuras cristalinas comenzando con NaCl , ZnS y diamante . ^[3] Son el único equipo de padre e hijo que gana conjuntamente.

El concepto de difracción de Bragg se aplica igualmente a la difracción de neutrones ^[4] y aproximadamente a la difracción de electrones . ^[5] En ambos casos las longitudes de onda son comparables con las distancias interatómicas (~ 150 pm). También se ha demostrado que muchos otros tipos de ondas de materia difractan, ^{[6] [7]} y también la luz de objetos con una estructura ordenada más grande, como los ópalos . ^[8]

condición de bragg

Difracción de Bragg ^{[9] : 16} Dos haces con idéntica longitud de onda y fase se acercan a un sólido cristalino y se dispersan en dos átomos diferentes dentro de él. La viga inferior recorre una longitud extra de 2 d sen θ . La interferencia constructiva ocurre cuando esta longitud es igual a un múltiplo entero de la longitud de onda de la radiación.

La difracción de Bragg ocurre cuando la radiación de una longitud de onda λ comparable a los espaciamientos atómicos se dispersa de forma especular (reflexión similar a un espejo) por planos de átomos en un material cristalino y sufre interferencia constructiva. ^[10] Cuando las ondas dispersas inciden en un ángulo específico, permanecen en fase e interfieren constructivamente . El ángulo de mirada θ (ver figura a la derecha, y tenga en cuenta que esto difiere de la convención de la ley de Snell donde θ se mide desde la superficie normal), la longitud de onda λ y la "constante de rejilla" d del cristal están conectados por el relación: ^{[11] : 1026}

$${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }$$

orden de difracción^{[10] : 221 [11] : 1028}θ^[12] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$

Un mapa de las intensidades de las ondas dispersadas en función de su ángulo se denomina patrón de difracción. Se obtienen fuertes intensidades conocidas como picos de Bragg en el patrón de difracción cuando los ángulos de dispersión satisfacen la condición de Bragg. Este es un caso especial de las ecuaciones de Laue más generales , y se puede demostrar que las ecuaciones de Laue se reducen a la condición de Bragg con suposiciones adicionales. ^[13]

Derivación heurística

Supongamos que una onda plana (de cualquier tipo) incide sobre planos de puntos de la red , con separación , en un ángulo como se muestra en la figura. Los puntos A y C están en un plano y B está en el plano inferior. Los puntos ABCC' forman un cuadrilátero . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$

Habrá una diferencia de trayectoria entre el rayo que se refleja a lo largo de AC' y el rayo que se transmite a lo largo de AB y luego se refleja a lo largo de BC . Esta diferencia de camino es

$${\displaystyle (AB+BC)-\left(AC'\right)\,.}$$

Las dos ondas separadas llegarán a un punto (infinitamente lejos de estos planos de la red) con la misma fase y, por lo tanto, sufrirán interferencia constructiva , si y sólo si esta diferencia de trayectoria es igual a cualquier valor entero de la longitud de onda , es decir

$${\displaystyle n\lambda =(AB+BC)-\left(AC'\right)}$$

donde y son un número entero y la longitud de onda de la onda incidente respectivamente. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$

Por lo tanto, desde la geometría

$${\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}{\text{ and }}AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,,}$$

de lo cual se deduce que

$${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta \,.}$$

Poniendo todo junto,

$${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$$

lo que simplifica a cuál es la ley de Bragg que se muestra arriba. ${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta \,,}$

Si sólo se difractaran dos planos de átomos, como se muestra en la figura, entonces la transición de la interferencia constructiva a la destructiva sería gradual en función del ángulo, con máximos suaves en los ángulos de Bragg. Sin embargo, dado que en la mayoría de los materiales reales participan muchos planos atómicos, los picos agudos son típicos. ^{[5] [13]}

Está disponible una derivación rigurosa de las ecuaciones de Laue más generales (consulte la página: Ecuaciones de Laue ).

Más allá de la ley de Bragg

Patrón típico de difracción de electrones en un área seleccionada. Cada punto corresponde a una dirección difractada diferente.

La condición de Bragg es correcta para cristales muy grandes. Debido a que la dispersión de rayos X y neutrones es relativamente débil, en muchos casos se utilizan cristales bastante grandes, con tamaños de 100 nm o más. Si bien puede haber efectos adicionales debido a defectos del cristal , estos suelen ser bastante pequeños. Por el contrario, los electrones interactúan miles de veces más fuertemente con los sólidos que con los rayos X ^[5] y además pierden energía ( dispersión inelástica ). ^[14] Por lo tanto, las muestras utilizadas en la difracción de electrones de transmisión son mucho más delgadas. Los patrones de difracción típicos, por ejemplo en la figura, muestran puntos en diferentes direcciones ( ondas planas ) de los electrones que salen de un cristal. Los ángulos que predice la ley de Bragg siguen siendo aproximadamente correctos, pero en general hay una red de puntos que están cerca de las proyecciones de la red recíproca que forma ángulos rectos con la dirección del haz de electrones. (Por el contrario, la ley de Bragg predice que sólo uno o quizás dos estarían presentes, no simultáneamente de decenas a cientos). Con la difracción de electrones de baja energía , donde las energías de los electrones son típicamente de 30 a 1000 electronvoltios , el resultado es similar con los electrones reflejados. atrás de una superficie. ^[15] También es similar la difracción de electrones de alta energía por reflexión , que normalmente conduce a anillos de puntos de difracción. ^[dieciséis]

Con los rayos X el efecto de tener cristales pequeños se describe mediante la ecuación de Scherrer . ^{[13] [17] [18]} Esto conduce a un ensanchamiento de los picos de Bragg que pueden usarse para estimar el tamaño de los cristales.

Dispersión de Bragg de la luz visible por coloides.

Un cristal coloidal es una matriz de partículas altamente ordenada que se forma en un largo rango (desde unos pocos milímetros hasta un centímetro de longitud); Los cristales coloidales tienen apariencia y propiedades más o menos análogas a sus homólogos atómicos o moleculares. ^[8] Se sabe desde hace muchos años que, debido a las interacciones repulsivas de Coulomb , las macromoléculas cargadas eléctricamente en un entorno acuoso pueden exhibir correlaciones cristalinas de largo alcance , siendo las distancias de separación entre partículas a menudo considerablemente mayores que el diámetro de las partículas individuales. Las series periódicas de partículas esféricas dan lugar a vacíos intersticiales (los espacios entre las partículas), que actúan como una rejilla de difracción natural para las ondas de luz visible , cuando el espacio intersticial es del mismo orden de magnitud que la onda de luz incidente . ^{[19] [20] [21]} En estos casos la iridiscencia brillante (o juego de colores) se atribuye a la difracción y a la interferencia constructiva de las ondas de luz visibles según la ley de Bragg, en una cuestión análoga a la dispersión de los rayos X en un sólido cristalino. . Los efectos ocurren en longitudes de onda visibles porque el espacio interplanar d es mucho mayor que el de los cristales verdaderos. El ópalo precioso es un ejemplo de cristal coloidal con efectos ópticos.

Rejillas de Bragg de volumen

Las rejillas de Bragg de volumen (VBG) o rejillas holográficas de volumen (VHG) consisten en un volumen donde hay un cambio periódico en el índice de refracción . Dependiendo de la orientación de la modulación del índice de refracción, VBG se puede utilizar para transmitir o reflejar un pequeño ancho de banda de longitudes de onda . ^[22] La ley de Bragg (adaptada para hologramas de volumen) dicta qué longitud de onda se difractará: ^[23]

$${\displaystyle 2\Lambda \sin(\theta +\varphi )=m\lambda _{B}\,,}$$

donde m es el orden de Bragg (un entero positivo), λ _B la longitud de onda difractada , Λ el espaciado marginal de la rejilla, θ el ángulo entre el haz incidente y la normal ( N ) de la superficie de entrada y φ el ángulo entre la normal y el vector de rejilla ( _KG ) . La radiación que no coincide con la ley de Bragg pasará a través del VBG sin difractarse. La longitud de onda de salida se puede ajustar en unos pocos cientos de nanómetros cambiando el ángulo de incidencia ( θ ). Los VBG se están utilizando para producir una fuente láser ampliamente sintonizable o realizar imágenes hiperespectrales globales (ver Fotón, etc. ). ^[23]

Reglas de selección y cristalografía práctica.

La medición de los ángulos se puede utilizar para determinar la estructura cristalina; consulte cristalografía de rayos X para obtener más detalles. ^{[5] [13]} Como ejemplo simple, la ley de Bragg, como se indicó anteriormente, se puede utilizar para obtener el espaciamiento de la red de un sistema cúbico particular a través de la siguiente relación:

$${\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}\,,}$$

donde está el espaciamiento de la red del cristal cúbico , y h , k y ℓ son los índices de Miller del plano de Bragg. Combinando esta relación con la ley de Bragg se obtiene: ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {\lambda }{2d}}\right)^{2}{\frac {1}{h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}$$

Se pueden derivar reglas de selección para los índices de Miller para diferentes redes cúbicas de Bravais , así como para muchas otras; en la siguiente tabla se dan algunas de las reglas de selección.

Estas reglas de selección se pueden utilizar para cualquier cristal con la estructura cristalina dada. KCl tiene una red de Bravais cúbica centrada en las caras . Sin embargo, el ion K ⁺ y Cl ⁻ tienen el mismo número de electrones y tienen un tamaño bastante similar, de modo que el patrón de difracción se vuelve esencialmente el mismo que para una estructura cúbica simple con la mitad del parámetro de red. Se puede hacer referencia a las reglas de selección para otras estructuras en otro lugar o derivarlas . El espaciado de la red para los otros sistemas cristalinos se puede encontrar aquí .

Ver también

• avión bragg
• Red cristalina
• Difracción
• Reflector Bragg distribuido
  • Rejilla de Bragg de fibra
• Teoría dinámica de la difracción.
• difracción de electrones
• Georg Wulff
• Límite de Henderson
• Condiciones de cola
• difracción de polvo
• Ángeles de radar
• factor de estructura
• Cristalografía de rayos X

Referencias

1. Bragg, WH ; Bragg, WL (1913). "El reflejo de los rayos X por los cristales". Proc. R. Soc. Londres. A . 88 (605): 428–38. Código bibliográfico : 1913RSPSA..88..428B. doi :10.1098/rspa.1913.0040. S2CID  13112732.
2. Hay algunas fuentes, como la Academic American Encyclopedia , que atribuyen el descubrimiento de la ley tanto a WL Bragg como a su padre WH Bragg, pero el sitio oficial del Premio Nobel y las biografías escritas sobre él ("Light Is a Messenger: The Life and Science of William Lawrence Bragg", Graeme K. Hunter, 2004 y "Great Solid State Physicists of the 20th Century", Julio Antonio Gonzalo, Carmen Aragó López) hacen una afirmación clara de que solo Lawrence Bragg derivó la ley.
3. "El Premio Nobel de Física 1915".
4. Shull, Clifford G. (1995). "Desarrollo temprano de la dispersión de neutrones". Reseñas de Física Moderna . 67 (4): 753–757. Código Bib : 1995RvMP...67..753S. doi :10.1103/revmodphys.67.753. ISSN  0034-6861.
5. John M. Cowley (1975) Física de difracción (Holanda Septentrional, Ámsterdam) ISBN 0-444-10791-6 . 
6. Estermann, yo; Popa, O. (1930). "Beugung von Molekularstrahlen". Zeitschrift für Physik (en alemán). 61 (1–2): 95–125. Código Bib : 1930ZPhy...61...95E. doi :10.1007/BF01340293. ISSN  1434-6001. S2CID  121757478.
7. Arndt, Markus; Nairz, Olaf; Vos-Andreae, Julián; Keller, Claudia; van der Zouw, Gerbrand; Zeilinger, Antón (1999). "Dualidad onda-partícula de moléculas C60". Naturaleza . 401 (6754): 680–682. doi :10.1038/44348. ISSN  0028-0836. PMID  18494170. S2CID  4424892.
8. Pieranski, P (1983). "Cristales coloidales". Física Contemporánea . 24 : 25–73. Código Bib : 1983ConPh..24...25P. doi : 10.1080/00107518308227471.
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Otras lecturas

• Neil W. Ashcroft y N. David Mermin, Física del estado sólido (Harcourt: Orlando, 1976).
• Bragg W (1913). "La difracción de ondas electromagnéticas cortas por un cristal". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 17 : 43–57.

enlaces externos

• Premio Nobel de Física – 1915
• https://web.archive.org/web/20110608141639/http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf
• Aprendizaje de cristalografía