En la teoría cuántica de campos y la teoría estadística de campos , el teorema de Elitzur establece que en las teorías de gauge , los únicos operadores que pueden tener valores esperados no nulos son aquellos que son invariantes bajo transformaciones de gauge locales. Una implicación importante es que la simetría de gauge no puede romperse espontáneamente . El teorema fue demostrado por primera vez en 1975 por Shmuel Elitzur en la teoría de campos reticulares , [1] aunque se espera que el mismo resultado se mantenga en el límite continuo . El teorema muestra que la interpretación ingenua del mecanismo de Higgs como la ruptura espontánea de la simetría de gauge es incorrecta, aunque el fenómeno puede reformularse completamente en términos de cantidades invariantes de gauge en lo que se conoce como el mecanismo de Fröhlich-Morchio-Strocchi. [2]
Una teoría de campos admite diferentes tipos de simetrías , siendo las dos más comunes las simetrías globales y locales . Las simetrías globales son transformaciones de campos que actúan de la misma manera en todas partes, mientras que las simetrías locales actúan sobre los campos de manera dependiente de la posición. Estas últimas corresponden a redundancias en la descripción del sistema. Esto es una consecuencia del segundo teorema de Noether que establece que cada grado de libertad de simetría local corresponde a una relación entre las ecuaciones de Euler-Lagrange , lo que hace que el sistema sea subdeterminado . La subdeterminación requiere una fijación de calibre de los grados de libertad no propagadores de modo que las ecuaciones de movimiento admitan una solución única. [3]
La ruptura espontánea de la simetría ocurre cuando la acción de una teoría tiene una simetría pero el estado de vacío viola esta simetría. En ese caso existirá un operador local que no es invariante bajo la simetría, lo que le otorga un valor esperado de vacío distinto de cero. Estos operadores locales no invariantes siempre tienen valores esperados de vacío que se desvanecen para sistemas de tamaño finito, lo que impide la ruptura espontánea de la simetría. Esto ocurre porque en escalas de tiempo grandes, los sistemas finitos siempre transitan entre todos los estados fundamentales posibles, promediando el valor esperado del operador. [4]
Aunque la ruptura espontánea de la simetría puede ocurrir para simetrías globales, el teorema de Elitzur establece que no ocurre lo mismo con las simetrías de calibre; todos los valores esperados de vacío de los operadores no invariantes de calibre se desvanecen, incluso en sistemas de tamaño infinito. [5] En la red, esto se deduce del hecho de que la integración de observables no invariantes de calibre sobre una medida de grupo siempre produce cero para grupos de calibre compactos . [6] La positividad de la medida y la invariancia de calibre son suficientes para demostrar el teorema. [7] Esto también es una explicación de por qué las simetrías de calibre son meras redundancias en las teorías de campos de red, donde las ecuaciones de movimiento no necesitan definir un problema bien planteado ya que no necesitan ser resueltas. En cambio, el teorema de Elitzur muestra que cualquier observable que no sea invariante bajo la simetría tiene un valor esperado que se desvanece, lo que lo hace inobservable y, por lo tanto, redundante.
Para demostrar que un sistema admite la ruptura espontánea de la simetría es necesario introducir un campo de fuente externo débil que rompa la simetría y dé lugar a un estado fundamental preferido . A continuación, el sistema se lleva al límite termodinámico , tras lo cual se desactiva el campo de fuente externo. Si el valor esperado de vacío de los operadores no invariantes de simetría es distinto de cero en este límite, se produce una ruptura espontánea de la simetría. [8] Físicamente, esto significa que el sistema nunca abandona el estado fundamental original en el que fue colocado por el campo externo. En el caso de las simetrías globales, esto ocurre porque la barrera de energía entre los distintos estados fundamentales es proporcional al volumen, por lo que en el límite termodinámico diverge, bloqueando el sistema en el estado fundamental. Las simetrías locales evitan esta construcción porque la barrera de energía entre dos estados fundamentales depende únicamente de características locales, por lo que las transiciones a diferentes estados fundamentales relacionados con el calibre pueden producirse localmente y no requieren que el campo cambie en todas partes al mismo tiempo, como ocurre en el caso de las simetrías globales.
El teorema tiene varias limitaciones. En particular, se permite la ruptura espontánea de una simetría de calibración en un sistema con dimensiones espaciales infinitas o una simetría con un número infinito de variables, ya que en estos casos hay infinitas barreras de energía entre configuraciones relacionadas con la calibración. El teorema tampoco se aplica a los grados de libertad de calibración residuales [9] ni a las grandes transformaciones de calibración [10] , que en principio pueden romperse espontáneamente. Además, todas las pruebas actuales se basan en una formulación de teoría de campos reticulares, por lo que pueden ser inválidas en una teoría de campos continuos genuina. Por lo tanto, en principio es plausible que puedan existir teorías de continuos exóticas para las que las simetrías de calibración puedan romperse espontáneamente, aunque tal escenario sigue siendo improbable debido a la ausencia de ejemplos conocidos.
La clasificación de fases de Landau utiliza valores esperados de operadores locales para determinar la fase del sistema. Sin embargo, el teorema de Elitzur muestra que este enfoque es inadmisible en ciertos sistemas, como las teorías de Yang-Mills para las que ningún operador local puede actuar como operador de orden para el confinamiento . En cambio, para evitar el teorema se requiere construir operadores invariantes de calibre no locales, cuyos valores esperados no necesitan ser cero. Los más comunes son los bucles de Wilson y sus equivalentes térmicos, los bucles de Polyakov . Otro operador no local que actúa como operador de orden es el bucle de 't Hooft .
Dado que las simetrías de calibre no se pueden romper espontáneamente, esto pone en duda la validez del mecanismo de Higgs. En la presentación habitual, el campo de Higgs tiene un potencial que parece dar al campo de Higgs un valor esperado de vacío que no se desvanece. Sin embargo, esto es meramente una consecuencia de imponer una fijación de calibre, normalmente el calibre unitario . Cualquier valor del valor esperado de vacío se puede adquirir mediante una elección de fijación de calibre adecuada. Calcular el valor esperado de una forma invariante de calibre siempre da cero, de acuerdo con el teorema de Elitzur. Sin embargo, el mecanismo de Higgs se puede reformular completamente de una forma invariante de calibre en lo que se conoce como el mecanismo de Fröhlich-Morchio-Strocchi que no implica la ruptura espontánea de ninguna simetría. [11] Para los grupos de calibre no abelianos que tienen un subgrupo , este mecanismo concuerda con el mecanismo de Higgs, pero para otros grupos de calibre pueden aparecer discrepancias entre los dos enfoques.
El teorema de Elitzur también se puede generalizar a una noción más amplia de simetrías locales donde en un espacio de dimensión D, puede haber simetrías que actúen uniformemente en hiperplanos de dimensión D. En esta visión, las simetrías globales actúan en hiperplanos de dimensión D mientras que las simetrías locales actúan en los de dimensión 0. El teorema de Elitzur generalizado proporciona entonces límites en los valores esperados de vacío de los operadores que no son invariantes bajo tales simetrías de dimensión D. [12] Este teorema tiene numerosas aplicaciones en sistemas de materia condensada donde aparecen tales simetrías.
