En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un urelemento o ur-elemento (del prefijo alemán ur- , 'primordial') es un objeto que no es un conjunto (no tiene elementos), pero que puede ser un elemento de un conjunto. También se lo denomina átomo o individuo . Los ur-elementos tampoco son idénticos al conjunto vacío.
Hay varias formas diferentes, pero esencialmente equivalentes, de tratar los urelementos en una teoría de primer orden .
Una forma de hacerlo es trabajar en una teoría de primer orden con dos tipos, conjuntos y urelementos, con a ∈ b definido solo cuando b es un conjunto. En este caso, si U es un urelemento, no tiene sentido decir , aunque es perfectamente legítimo.
Otra forma es trabajar en una teoría de ordenación única con una relación unaria utilizada para distinguir conjuntos y urelementos. Como los conjuntos no vacíos contienen miembros mientras que los urelementos no, la relación unaria solo es necesaria para distinguir el conjunto vacío de los urelementos. Nótese que en este caso, el axioma de extensionalidad debe formularse para que se aplique solo a objetos que no son urelementos.
Esta situación es análoga a los tratamientos de las teorías de conjuntos y clases . De hecho, los urelementos son en cierto sentido duales con las clases propias : los urelementos no pueden tener miembros mientras que las clases propias no pueden ser miembros. Dicho de otra manera, los urelementos son objetos mínimos mientras que las clases propias son objetos máximos por la relación de pertenencia (que, por supuesto, no es una relación de orden, por lo que esta analogía no debe tomarse literalmente).
La teoría de conjuntos de Zermelo de 1908 incluía urelementos, y por lo tanto es una versión ahora llamada ZFA o ZFCA (es decir, ZFA con axioma de elección ). [1] Pronto se comprendió que en el contexto de esta y otras teorías de conjuntos axiomáticas estrechamente relacionadas , los urelementos no eran necesarios porque se pueden modelar fácilmente en una teoría de conjuntos sin urelementos. [2] Por lo tanto, las exposiciones estándar de las teorías de conjuntos axiomáticas canónicas ZF y ZFC no mencionan urelementos (para una excepción, véase Suppes [3] ). Las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos que sí invocan urelementos incluyen la teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelementos y la variante de la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel descrita por Mendelson. [4] En la teoría de tipos , un objeto de tipo 0 puede llamarse urelemento; de ahí el nombre "átomo".
Añadir urelementos al sistema New Foundations (NF) para producir NFU tiene consecuencias sorprendentes. En particular, Jensen demostró [5] la consistencia de NFU relativa a la aritmética de Peano ; mientras tanto, la consistencia de NF relativa a cualquier cosa sigue siendo un problema abierto, pendiente de la verificación de la prueba de Holmes de su consistencia relativa a ZF. Además, NFU sigue siendo relativamente consistente cuando se aumenta con un axioma de infinito y el axioma de elección . Mientras tanto, la negación del axioma de elección es, curiosamente, un teorema NF. Holmes (1998) toma estos hechos como evidencia de que NFU es una base más exitosa para las matemáticas que NF. Holmes argumenta además que la teoría de conjuntos es más natural con que sin urelementos, ya que podemos tomar como urelementos los objetos de cualquier teoría o del universo físico . [6] En la teoría de conjuntos finitista, los urelementos se asignan a los componentes de nivel más bajo del fenómeno objetivo, como los constituyentes atómicos de un objeto físico o los miembros de una organización.
Un enfoque alternativo a los urelementos es considerarlos, en lugar de como un tipo de objeto distinto de los conjuntos, como un tipo particular de conjunto. Los átomos de Quine (nombrados así por Willard Van Orman Quine ) son conjuntos que sólo se contienen a sí mismos, es decir, conjuntos que satisfacen la fórmula x = { x }. [7]
Los átomos de Quine no pueden existir en sistemas de teoría de conjuntos que incluyan el axioma de regularidad , pero sí pueden existir en teorías de conjuntos no bien fundadas . La teoría de conjuntos ZF sin el axioma de regularidad no puede probar que existan conjuntos no bien fundados (a menos que sea inconsistente, en cuyo caso probará cualquier enunciado arbitrario ), pero es compatible con la existencia de átomos de Quine. El axioma antifundamental de Aczel implica que existe un único átomo de Quine. Otras teorías no bien fundadas pueden admitir muchos átomos de Quine distintos; en el extremo opuesto del espectro se encuentra el axioma de superuniversalidad de Boffa , que implica que los átomos de Quine distintos forman una clase propia . [8]
Los átomos de Quine también aparecen en los Nuevos Fundamentos de Quine , lo que permite que exista más de un conjunto de este tipo. [9]
Los átomos de Quine son los únicos conjuntos llamados conjuntos reflexivos por Peter Aczel , [8] aunque otros autores, por ejemplo Jon Barwise y Lawrence Moss, utilizan el último término para denotar la clase más grande de conjuntos con la propiedad x ∈ x . [10]
