Teorema de Sharkovskii

Regla matemática

En matemáticas , el teorema de Sharkovskii (también escrito Sharkovsky , Sharkovskiy , Šarkovskii o Sarkovskii ), llamado así por Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky , quien lo publicó en 1964, es un resultado sobre sistemas dinámicos discretos . ^[1] Una de las implicaciones del teorema es que si un sistema dinámico discreto en la línea real tiene un punto periódico de período 3, entonces debe tener puntos periódicos de cada otro período.

Declaración

Para algún intervalo , supongamos que es una función continua . El número se denomina punto periódico de período si , donde denota la función iterada obtenida por composición de copias de . Se dice que el número tiene el menor período si, además, para todo . El teorema de Sharkovskii se refiere a los posibles períodos mínimos de los puntos periódicos de . Consideremos el siguiente ordenamiento de los números enteros positivos , a veces llamado ordenamiento de Sharkovskii: ^[2] ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f:I\to I}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f^{(m)}(x)=x}$ ${\displaystyle f^{(m)}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x)\neq x}$ ${\displaystyle 0<k<m}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}}$$

Se compone de:

• los números impares en orden creciente , ${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{0}}$
• 2 veces los números impares en orden creciente , ${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{1}}$
• 4 veces los números impares en orden creciente , ${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{2}}$
• 8 veces los números impares , ${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{3}}$
• etc. ${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{m}}$
• Finalmente, las potencias de dos en orden decreciente . ${\displaystyle =2^{n}}$

Este orden es un orden total : cada entero positivo aparece exactamente una vez en algún lugar de esta lista. Sin embargo, no es un buen orden . En un buen orden, cada subconjunto tendría un elemento más antiguo, pero en este orden no hay ninguna potencia de dos más antigua.

El teorema de Sharkovskii establece que si tiene un punto periódico de menor período , y precede en el orden anterior, entonces tiene también un punto periódico de menor período . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$

Una consecuencia es que si tiene sólo un número finito de puntos periódicos, entonces todos ellos deben tener períodos que sean potencias de dos. Además, si hay un punto periódico de período tres, entonces hay puntos periódicos de todos los demás períodos. ${\displaystyle f}$

El teorema de Sharkovskii no afirma que existan ciclos estables de esos períodos, sino que sólo los hay. En sistemas como el mapa logístico , el diagrama de bifurcación muestra un rango de valores de parámetros para los cuales aparentemente el único ciclo tiene período 3. De hecho, debe haber ciclos de todos los períodos allí, pero no son estables y, por lo tanto, no son visibles en la imagen generada por computadora.

El supuesto de continuidad es importante. Sin este supuesto, la función lineal discontinua por partes definida como: para la cual cada valor tiene período 3, sería un contraejemplo. De manera similar, es esencial el supuesto de que está definida en un intervalo. De lo contrario , , que está definida en números reales excepto el uno: y para la cual cada valor distinto de cero tiene período 3, sería un contraejemplo. ${\displaystyle f:[0,3)\to [0,3)}$ $${\displaystyle f:x\mapsto {\begin{cases}x+1&\mathrm {for\ } 0\leq x<2\\x-2&\mathrm {for\ } 2\leq x<3\end{cases}}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:x\mapsto (1-x)^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{1\},}$

Generalizaciones y resultados relacionados

Sharkovskii también demostró el teorema inverso: cada conjunto superior del orden anterior es el conjunto de períodos para alguna función continua desde un intervalo hasta sí mismo. De hecho, todos esos conjuntos de períodos se logran mediante la familia de funciones , ya que , excepto el conjunto vacío de períodos que se logra mediante , . ^{[3] [4]} ${\displaystyle T_{h}:[0,1]\to [0,1]}$ ${\displaystyle x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)}$ ${\displaystyle h\in [0,1]}$ ${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto x+1}$

Por otra parte, con información adicional sobre la estructura combinatoria de la función de intervalo que actúa sobre los puntos de una órbita periódica, un punto de periodo n puede forzar el periodo 3 (y, por lo tanto, todos los periodos). Es decir, si el tipo de órbita (la permutación cíclica generada por la función que actúa sobre los puntos de la órbita periódica) tiene un llamado par de estiramiento, entonces esto implica la existencia de un punto periódico de periodo 3. Se puede demostrar (en un sentido asintótico) que casi todas las permutaciones cíclicas admiten al menos un par de estiramiento y, por lo tanto, casi todos los tipos de órbita implican periodo 3. ^[5]

Tien-Yien Li y James A. Yorke demostraron en 1975 que la existencia de un ciclo de período 3 no sólo implica la existencia de ciclos de todos los períodos, sino que además implica la existencia de una infinitud incontable de puntos que nunca corresponden a ningún ciclo ( puntos caóticos ), una propiedad conocida como que el período tres implica caos . ^[6]

El teorema de Sharkovskii no se aplica inmediatamente a sistemas dinámicos en otros espacios topológicos. Es fácil encontrar una función circular con puntos periódicos de período 3 solamente: tomemos una rotación de 120 grados, por ejemplo. Pero son posibles algunas generalizaciones, que generalmente involucran el grupo de clases de funciones del espacio menos una órbita periódica. Por ejemplo, Peter Kloeden demostró que el teorema de Sharkovskii es válido para funciones triangulares, es decir, funciones para las cuales el componente f _i depende solamente de las primeras i componentes x ₁ ,..., x _i . ^[7]

Referencias

1. Sharkovskii, AN (1964). "Coexistencia de ciclos de una proyección continua de la línea en sí misma". Ukrainian Math. J. 16 : 61–71.
2. K. Burns, B. Hasselblatt, "El teorema de Sharkovsky: una demostración directa natural" (2008). Consultado el 3 de febrero de 2023.
3. Alsedà, L.; Llibre, J.; Misiurewicz, M. (2000). Dinámica combinatoria y entropía en dimensión uno . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-4053-0.
4. Burns, K.; Hasselblatt, B. (2011). "El teorema de Sharkovsky: una prueba directa natural". American Mathematical Monthly . 118 (3): 229–244. CiteSeerX 10.1.1.216.784 . doi :10.4169/amer.math.monthly.118.03.229. S2CID  15523008. 
5. Lundberg, Erik (2007). "Casi todos los tipos de órbitas implican período 3". Topología y sus aplicaciones . 154 (14): 2741–2744. doi : 10.1016/j.topol.2007.05.009 .
6. Li, TY; Yorke, JA (1975). "El período tres implica caos". American Mathematical Monthly . 82 (10): 985–992. Bibcode :1975AmMM...82..985L. doi :10.1080/00029890.1975.11994008. JSTOR  2318254.
7. Kloeden, PE (1979). "Sobre el ordenamiento de coexistencia de ciclos de Sharkovsky". Bull. Austral. Math. Soc . 20 (2): 171–178. doi : 10.1017/S0004972700010819 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Sharkovsky". MathWorld .
• Teorema de Sharkovskii en PlanetMath .
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Misiurewicz, Michal (noviembre de 1997). "Observaciones sobre el teorema de Sharkovsky". The American Mathematical Monthly . 104 (9): 846–847.
• Keith Burns y Boris Hasselblatt, El teorema de Sharkovsky: una demostración directa natural
• Scholarpedia: Ordenación de Sharkovsky por Aleksandr Nikolayevich Sharkovsky